八上培优5半角模型.docx
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八上培优5半角模型.docx
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八上培优5半角模型
八上培优5半角模型方法:
截长补短
图形中,往往出现90°套45°的情况,或者120°套60°的情况。
还有
套
的情况。
求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是:
截长补短构造全等三角形。
旋转移位造全等,翻折分割构全等。
截长法,补短法。
勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第49页,新观察在第34页,新观察培优也有涉及,在第27页2两个例题,29页有习题。
这些题大同小异,只是图形略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
下面是新观察第34页1~4题
1.如图,四边形ABCD中,∠A=∠C=90゜,∠D=60゜,AB=BC,E、F,分别在AD、CD上,且∠EBF=60゜.求证:
EF=AE+CF.
2.如图2,在上题中,若E、F分别在AD、DC的延长线上,其余条件不变,求证:
AE=EF+CF.
3.如图,∠A=∠B=90°,CA=CB=4,∠ACB=120°,∠ECF=60°,AE=3,BF=2,求五边形ABCDE的面积.
4.如图1.在四边形ABCD中.AB=AD,∠B+∠D=180゜,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠BAD=2∠EAF.
(1)求证:
EF=BE+DF;
(2)在
(1)问中,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E、F分别运动到BC、CD延长线上时,如图2所示,试探究EF、BE、DF之间的数量关系.
3.如图3,在四边形ABDC中,∠B+∠C=180°,DB=DC,∠BDC=120°,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB、AC于E、F两点,连接EF,探索线段BE、CF、EF之间的数量关系,并加以证明.
勤学早第40页试题
1.
(1)如图,已知AB= AC,∠BAC=90°, ∠ MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N,过点B作BM 垂直AB交AM于点M,当∠MAN在∠BAC内部时,求证:
BM+CN =MN;
证明:
延长MB到点G,使BG=CN,连接AG,证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG=,∠NAC.L∵∠GAM=∠GAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=45°=L∠MAN,
证△AMN≌△AMG(SAS),'∴MN=MG=BM+BG=BM十NC.
证明二:
(此证明方法见新观察培优第27页例3)
(2)如图,在
(1)的条件下,当AM和AN在AB两侧时,
(1)的结论是否成立?
请说明理由.
解:
不成立,结论是:
MN=CN一BM,
证明略.
基本模型二120°套60°
2.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,E为AB上一点,∠DCE=60°,∠DAE=120°,
求证:
DE=BE
证明:
(补短法)延长EB至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF≌△CAD,
△CED≌△CEF,.DE-AD=EF-BF=BE.
3.如图,△ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,点E为AB上一点,∠DCE=∠DAE=60°,
求证:
AD+DE=BE.
证明:
(截长法)在BE上截取BF=AD,连接CF,易证△CBF≌△CAD,
△CED≌ACEF,DE=EF,AD+DE=BF+EF=BE.
比较:
新观察培优版27页
例4如图,△ABC是边长为1的等边三角形,△BDC是顶角,∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角,角的两边分别交AB、AC于M、N,连结MN,试求△AMN的周长.
分析:
由于∠MDN=60°,∠BDC=120°,所以∠BDM十∠CDN=60°,注意到DB=DC,考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起,寻找全等三角形。
另一方面,△AMN的周长AM+AN+MN=AB+AC+MN-BM-CN.猜想MN=BM+CN,证三角形全等解决.
新观察培优68页例5如图,点A、B(2,0)在x轴上原点两侧,C在y轴正半轴上,OC平分∠ACB.
(1)求A点坐标;
(2)如图1,AQ在∠CAB内部,P是AQ上一点,满足∠ACB=∠AQB,AP=BQ.试判断△CPQ的形状,并予以证明;
(3)如图2.BD⊥BC交y轴负半轴于D.∠BDO=60°,F为线段AC上一动点,E在CB延长线上,满足∠CFD+∠E=180°.当F在AC上移动时,结论:
①CE+CF值不变;②CE-CF值不变,其中只有一个正确结论,请选出正确结论并求其值.
分析:
(1)由∠A0C≌△BOC得AO=BO=2,A(-2,0).
(2)由△ACP≌△BCQ得CP=CQ.
(3)由BD⊥BC,∠BDO=60°,可证得等边△ABC.由角平分线和DB_⊥BC的条件,运用对称性知DA⊥AC,连结DA,加上条件∠CFD+∠E=180°,可证得△ADF
△BDE,于是CE+CF=2AC=2AB=8.
基本模型三2
°套
°
4.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,求证:
EF=BE+DF;
(2)如图2,在
(1)的条件下,若将△AEF绕点A逆时针旋转,当点E,F分别运动到BC,CD延长线上时,
则EF,BE,DF之间的数量关系是EF=BE-DF
解:
(1)EF=BE+DF,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
证△ABE≌△ADG(SAS),..∴AE=AG,
∠BAE=∠DAG,∵∠EAF=
∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,∴∠'EAF=∠GAF,
证△AEF≌△GAF(SAS),.∴EF=FG,∵FG=DG+DF=BE+DF,∴EF=BE+DF;
(2)EF=BEDF.
外地试题:
4.探究:
如图①,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连结EF,求证:
EF=BE+DF.
应用:
如图②,在四边形ABCD中,点E、F分别在BC、CD上,AB=AD,∠B+∠D=90°,∠EAF=
∠BAD,若EF=3,BE=2,则DF=.
5.通过类比联想、引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例,请补充完整.
原题:
如图1,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,连接EF,求证:
EF=BE+DF.
(1)思路梳理
∵AB=AD,∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合.
∵∠ADG=∠B=90°,∴∠FDG=∠ADG+∠ADC=180°,则点F、D、G共线.
根据SAS,易证△AFG≌AFE,从而得EF=BE+DF;
(2)类比引申
如图2,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上,∠EAF=45°.若∠B、∠D都不是直角,但当∠B与∠D满足等量关系∠B+∠D=180°时,仍有EF=BE+DF,请给出证明;
(3)联想拓展
如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E均在边BC上,且∠DAE=45°,猜想BD、DE、EC应满足的等量关系,并写出推理过程.
7.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且AE=AF,∠EAF=
∠BAD.现有三种添加辅助线的方式:
①延长EB至G,使BG=BE,连接AG;②延长FD至G,使DG=BE,连接AG;③过点A作AG⊥EF,垂足为G;选择其中一种方法添加辅助线,求证:
EF=BE+FD;
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,若∠B+∠D=180°,∠EAF=
∠BAD,证明
(1)中结论是否还成立?
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
8.
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD.求证:
EF=BE+FD.
(2)如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E、F分别是边BC、CD上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系,并证明.
(3)如图3,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且∠EAF=
∠BAD,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系,并证明.
半角模型问题放到平面直角坐标系中是什么样子?
1.如图1,在平面直角坐标系中,△AOB为等腰直角三角形,A(4,4)
(1)求B点坐标;
(2)如图2,若C为x正半轴上一动点,以AC为直角边作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,连接OD,求∠AOD的度数;
(3)如图3,过点A作y轴的垂线交y轴于E,F为x轴负半轴上一点,G在EF的延长线上,以EG为直角边作等腰Rt△EGH,过A作x轴垂线交EH于点M,连FM,等式AM=FM+OF是否成立?
若成立,请说明;若不成立,说明理由.
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