第三讲截长补短.docx
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第三讲截长补短
三角形全等之截长补短(讲义)
一、知识点睛
截长补短:
题目中出现__________________________时,考虑截长补短;截长补短的作用是__________________________________
二、精讲精练
1.已知:
如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C.
求证:
AC=AB+BD.
2.已知:
如图,在正方形ABCD中,AD=AB,
∠D=∠ABC=∠BAD=90°,E,F分别为DC,BC边上的点,且∠EAF=45°,连接EF.求证:
EF=BF+DE.
3.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC=60º,△ABC的角平分线AD,CE交于点O.求证:
AC=AE+CD.
4.
已知:
如图,在△ABC中,∠A=90º,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证:
CE=
BD.
5.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE⊥AB于E,△BDC为等腰直角三角形,∠BDC=90°,BD=CD,CE与BD交于F,连接AF.求证:
CF=AB+AF.
【参考答案】
【知识点睛】
线段间的和差倍分;
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.
【精讲精练】
1.证明略
提示:
方法一:
在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,然后再证明CE=BD;
方法二:
延长AB到E,使BE=BD,证明△ADE≌△ADC
2.证明略
提示:
延长FB到G,使BG=DE,连接AG,证明
△ABG≌△ADE,再证明△AFG≌△AFE)
3.证明略
提示:
在AC上截取AF=AE,连接OF,证明△AEO≌△AFO,∠AOC=120°,再证明△COF≌△COD)
4.证明略
提示:
延长CE交BA的延长线于点F,证明△BEF≌△BEC,得EC=EF,再证明△ACF≌△ABD,得CF=BD)
5.证明略
提示:
方法一:
延长BA交CD的延长线交于点H,证明
△BDH≌△CDF,得DH=DF,BH=CF,再证明
△ADH≌△ADF,得AH=AF;
方法二:
在CF上截取CH=AB,连接DH,证明
△DHC≌△DAB,得DH=DA,CH=BA,∠HDF=∠ADF=45°,再证明△ADF≌△HDF,得AF=HF)
三角形全等之截长补短(每日一题)姓名_________
1.在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.
求证:
CD=AB+BD.
2.如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点.
求证:
AB-AC>PB-PC.
3.已知:
如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,∠A+∠C=180°.
求证:
BD=AB+CD.
4.在正方形ABCD中,点E在CB延长线上,点F在DC延长线上,
EAF=45°.
求证:
DF=EF+BE.
5.如图,在正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分∠DAE.
求证:
AE=BE+DF.
【参考答案】
1.证明:
如图,在线段DC上截取DE,使DE=BD,连接AE.
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴∠B=∠1,AB=AE
∵∠B=2∠C
∴∠1=2∠C
∵∠1是△AEC的一个外角
∴∠1=∠C+∠2
∴∠C=∠2
∴AE=CE
∵CD=CE+ED
∴CD=AE+BD
∴CD=AB+BD
(如果延长DB到点F,使BF=AB,连接AF也可进行证明)
2.
证明:
如图,在线段AB上截取AE=AC,连接PE.
则AB-AC=AB-AE=EB
在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ACP(SAS)
∴PE=PC
在△PEB中,PB-PE ∴PB-PC 即AB-AC>PB-PC (延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,也可证明结论) 3.证明: 如图,在BC上截取BE=BA,连接PE. 在△ABP和△EBP中 ∴△ABP≌△EBP(SAS) ∴∠A=∠3 ∵∠A+∠C=180°,∠3+∠4=180° ∴∠4=∠C ∵PD⊥BC ∴∠PDE=∠PDC=90° 在△PDE和△PDC中 ∴△PDE≌△PDC(AAS) ∴DE=DC ∴BD=BE+ED ∴BD=AB+CD(过点P作PF⊥BA于F,也可进行证明) 4.证明: 如图,在DF上截取DG=BE,连接AG. ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠D=∠BAD=∠ABC=90°,AB=AD ∴∠ABE=∠D=90° 在△ABE和△ADG中 ∴△ABE≌△ADG(SAS) ∴AG=AE,∠1=∠2 ∵ EAF=45°, ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° ∴∠GAF=45°=∠EAF 在△EAF和△GAF中 ∴△EAF≌△GAF(SAS) ∴EF=GF ∵DF=GF+DG ∴DF=EF+BE 5.证明: 如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG. ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠BAD=90° ∴∠ABG=∠D=90° 在△ABG和△ADF中 ∴△ABG≌△ADF(SAS) ∴∠1=∠2,∠5=∠G ∵AF平分∠DAE ∴∠1=∠3 ∵∠1+∠5=90° ∴∠3+∠G=90° ∵∠1+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠3+∠4=90° ∴∠2+∠4=∠G ∴AE=EG=BE+BG ∴AE=BE+DF 三角形全等之截长补短随堂测试题姓名________ 6. 已知: 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠DAB的平分线AE交CD于E,连接BE,且BE平分∠ABC. 求证: AB=AD+BC. 【参考答案】 证明略 提示 方法一: 在AB上截取AF=AD,连接EF,证明△ADE≌△AFE,再证明△BFE≌△BCE; 方法二: 延长AE交BC的延长线于点F,证明△ABE≌△FBE,再证明△ADE≌△FCE) 三角形全等之截长补短(作业) 1.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=80°,AD是∠BAC的平分线.求证: AC=AB+BD. 2.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°. 求证: AE=AD+BE. 3. 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD.求证: BC=AB+CE. 4.如图,在等边三角形ABC中,点E,F分别在AB,AC上, EDF=60°,DB=DC, BDC=120°. 求证: EF=BE+CF. 5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE=ED=DC,∠1=∠2,则: ①AD是△ABC的边_________上的高,也是________的边BD上的高,还是△ABE的边___________上的高; ②AD既是_________的边_______上的中线,又是_______边上的高,还是_________的角平分线. 6. 已知: 如图,AD∥EF,BF∥DG,∠A=∠B=∠G=35°. 求∠EFG的度数. 【参考答案】 1.证明略 提示: 方法一: 在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,再证明CE=BD; 方法二: 延长AB到E,使BE=BD,证明△ADE≌△ADC 2.证明略 提示: 在AE上截取AF=AD,证明△CDA≌△CFA,再证明BE=FE 3.证明略 提示: 在BC上截取BF=BA,连接DF,证明△ABD≌△FBD,再证明△DFC≌△DEC 4.证明略 提示: 延长FC到G,使CG=BE,证明△BED≌△CGD,得ED=GD,∠BDE=∠CDG,再证明△EFD≌△GFD,得EF=GF 5.5;16x4,±16x,-4,-16x2; 6.①BC,△ABD,BE;②△AEC,EC,EC,∠EAC 7.略; 8. (1)-2a2+2b2; (2)
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