同济大学高数第10章--重积分Word文件下载.doc
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处的面密度近似代替区域上各点处的面密度(如图10.1.3),从而求得小薄片的质量的近似值
;
整个薄片质量的近似值为
.
将薄片无限细分,当所有小区域的最大直径时,若上述和式的极限存在,这个极限值就是所求平面薄片的质量,
即.
定义10.1.1设f(x,y)是定义在有界闭区域上的有界函数,将任意分割为n小区域,…,…,,其中记号表示第个小闭区域,也表示其面积;
在每个小区域上任取一点,作乘积,并作和式
如果将区域无限细分,当各小区域直径的最大值时,该和式的极限存在,且极限值与区域的分法及点的取法无关,则称此极限值为函数在区
域上的二重积分,记为,即
其中称为被积函数,称为被积表达式,dσ称为面积元素,与称为积分变量,区域称为积分区域,称为积分和.
尽管上面两个问题的实际意义不同,但解决问题的方法是一样的,而且最终都归结为求二元函数的某种特定和式的极限.在数学上加以抽象,便得到二重积分的概念.
根据二重积分的定义可知,例10.1.1中曲顶柱体的体积是其曲顶函数在底面区域上的二重积分,即
例10.1.2中平面薄片的质量M是其面密度函数在其所占闭区域上的二重积分,即
关于二重积分的几点说明.
(1)如果函数在区域上的二重积分存在,则称函数在上可积.如果函数在有界闭区域上连续,则在上可积.
(2)当在有界闭区域上可积时,积分值与区域的分法及点的取法无关.
(3)二重积分只与被积函数和积分区域有关.
二重积分的几何意义.
(1)若在闭区域上,二重积分表示曲顶柱体的体积;
(2)若在闭区域上,二重积分表示曲顶柱体体积的负值;
(3)若在闭区域上有正有负,二重积分表示各个部分区域上曲顶柱体体积的代数和.
10.1.2二重积分的性质
性质2有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和,即
性质1被积函数中的常数因子可以提到积分符号的外面,即
,其中k为常数.
二重积分有与定积分完全类似的性质,这里我们只列举这些性质,而将证明略去.
性质7(二重积分的中值定理)如果函数在有界闭区域上连续,σ为积分区域的面积,则在上至少存在一点,使得
.
性质6设M与m分别是函数在有界闭区域上的最大值与最小值,则有
,
其中,σ为积分区域的面积.
性质5如果在区域上,则有
由于-||≤≤||,由性质5可得.
性质4设在区域上≡1,σ为的面积,则有
因为从几何上看,高为1的平顶柱体的体积在数值上等于其底的面积.
性质3若用连续曲线将区域分成两个子区域与,即,则
.
即二重积分对积分区域具有可加性.
例10.1.1比较与的大小,其中是由直线及所围成的闭区域.
解由于对任意的,有,故有,因此
例10.1.2估计的值,其中为矩形区域,,.
解被积函数在区域上的最大值与最小值分别为4和1,的面积为2,于是
习题10.1
1.使用二重积分的几何意义说明与的之间关系,其中D1是矩形域-1≤x≤1,-1≤y≤1,D2是矩形域0≤x≤1,0≤y≤1.
2.比较下列积分的大小.
(1)与,其中由轴、轴及直线所围成;
(2)与,其中.
3.估计下列积分值的大小.
(1),其中D:
0≤x≤2,0≤y≤2;
(2),其中D:
4.一薄片(不考虑其厚度)位于xOy平面上,占有区域D,薄片上分布有面密度为u=u(x,y)的电荷,且u(x,y)在D上连续,使用二重积分表示薄片的全部电荷Q.
10.2二重积分的计算
10.2.1直角坐标系下二重积分的计算
我们知道,如果函数在有界闭区域上连续,则在区域上的二重积分存在,且它的值与区域的分法和各小区域上点的选取无关,故可采用一种便于计算的划分方式,即在直角坐标系下用两族平行于坐标轴的直线将区域分割成若干个小区域.则除去靠区域边界的不规则的小区域外,其余的小区域全部是小矩形区域.图10.2.1
设小矩形区域的边长分别为和(如图10.2.1),则小矩形区域的面积为.因此,在直角坐标系下,可以把面积元素记为.则在直角坐标系下,二重积分可表示成
下面我们将利用平行截面法来求曲顶柱体的体积,以获得利用直角坐标系计算二重积分的方法.
设曲顶柱体的顶是曲面(),底是平面上的闭区域(如图10.2.2),即区域可用不等式组表示为
其中函数在区域上连续,函数在区间[a,b]上连续,该区域的特点是:
穿过区域内部且垂直于x轴的直线与的边界的交点不多于两点.
图10.2.2
用过区间[a,b]上任意一点x且垂直于x轴的平面去截曲顶柱体,所得到的截面是一个以为底,以为曲边的曲边梯形(如图10.2.3),其面积为
.
再利用平行截面面积为已知的立体的体积公式,便得到曲顶柱体的体积为
.图10.2.3
根据二重积分的几何意义可知,这个体积也就是所求二重积
或.
分的值,从而有
上式右端称为先对后对的二次积分.由此看到,二重积分的计算可化成计算两次单积分来进行,这种方法称为累次积分法.对积分时,把看作常数,把只看作的函数,并对从到进行定积分;
然后把算得的结果(关于的函数)再对在区间[a,b]上进行定积分.
在上述过程中,我们假定,但实际上公式并不受此条件的限制.
类似地,如果积分区域如图10.2.4所示,则区域可表示为
其中函数在区间[c,d]上连续,该区域的特点是:
穿过区域内部且垂直于轴的直线与的边界的交点不多于两点.
图10.2.4
或.
这时则有以下公式:
上式右端称为先对后对的二次积分.如果积分区域不属于上述两种类型,如图10.2.5所示.即平行于轴或轴的直线与的边界的交点多于两点,这时可以用平行于轴或平行于轴的直线把分成若干个小区域,使每个小区域都属于上述类型之一,则可利用性质3,将上的积分化成每个小区域上积分的和.
图10.2.5图10.2.6
例10.2.1计算,其中区域:
,.
解作区域的图形(如图10.2.6),这是矩形区域.化成累次积分时,积分上下限均为常数.如果先对积分,则把看作常数,得
如果先对积分,则有
.
例10.2.2计算,其中由抛物线及直线所围成.
解画的图形(如图10.2.7a).解方程组,得交点坐标为(1,-1),(4,2).
图10.2.7a图10.2.7b
若选择先对积分,这时可表示为
从而
.
若先对y积分后对积分,由于下方边界曲线在区间[0,1]与[1,4]上的表达式不一致,这时就必须用直线将区域分成和两部分(如图10.2.7b).则和可分别表示为
由此得
显然,计算起来要比先对后对积分麻烦,所以恰当地选择积分次序是化二重积分为二次积分的关键.选择积分次序与积分区域的形状及被积函数的特点有关.
例10.2.3求由两个圆柱面和相交所形成的立体的体积.
解根据对称性,所求体积V是图10.2.8a所画出的第一卦限中体积的8倍.第一卦限的立体为一曲顶柱体,它以圆柱面为顶,底为xOy面上的四分之一圆(如图10.2.8b),用不等式组表示为
所求体积为
.
图10.2.8a图10.2.8b
以上我们采用的是先对后对的积分次序,如果先对后对积分,则有
虽然也能得到相同的结果,但计算要复杂的多.
例10.2.4计算二重积分.
解积分区域如图10.2.9所示,直接计算显然不行,因为不能表示为初等函数.但被积函数与无关,因此我们考虑交换积分次序后再计算.
.图10.2.9
10.2.2极坐标系下二重积分的计算
前面讨论了在直角坐标系下计算二重积分的方法.但有些二重积分,其被积函数和积分区域(如圆形、扇形、环形域等)用极坐标系表示时比较简单,这时可考虑利用极坐标计算二重积分.下面介绍在极坐标系下二重积分的计算方法.
因为二重积分与积分区域的分法无关,所以可用极坐标系下以极点为中心的一族同心圆常数以及从极点发出的一族射线常数来分割区域.不失一般性,我们考虑极径由变到和极角由变到所得到的区域(如图10.2.10).该小区域可近似地看作边长分别为和的小矩形,于是极坐标下的面积元素.再用坐标变换,代替被积函数中的和,于是得到二重积分在极坐标系下的表达式
图10.2.10图10.2.11
实际计算时,与直角坐标情况类似,还是化二重积分为累次积分来进行计算,这里仅介绍先后的积分次序,积分的上下限则要根据极点与区域的位置而定.下面分三种情况说明在极坐标系下,如何化二重积分为累次积分.
(1)极点在积分区域之外(如图10.2.11).
此时区域D界于射线和之间(﴿,这两条射线与的边界的交点把区域边界曲线分为内边界曲线和外边界曲线两个部分,则
(2)极点在积分区域之内(如图10.2.12).
此时极角从变到,如果的边界曲线方程是,则
(3)极点在积分区域的边界上(如图10.2.13)
此时极角从变到,设区域的边界曲线方程是,则
图10.2.12图10.2.13
特别地,当时,为区域的面积),即
当时,
即为在定积分应用中用极坐标计算曲边扇形面积的公式.
一般情况下,当二重积分的被积函数中自变量以,,,等形式出现且积分区域由圆弧与射线组成(如以原点为中心的圆域、扇形域、圆环域,以及过原点而中心在坐标轴上的圆域等),利用极坐标计算往往更加简便.用极坐标计算二重积分时,需画出积分区域的图形,并根据极点与区域的位置关系,选用上述公式.
例10.2.5将二重积分化为极坐标系下的累次积分,其中表示为
解画出的图形(如图10.2.14),在极坐标系下,可表示为
于是可得
图10.2.14图10.2.15
例10.2.6计算,其中是圆盘在第一象限的部分.
解画出的图形(如图10.2.15),在极坐标系下,可表示为
例10.2.7求由球面与圆柱面所围且含于柱面内的立体体积.
图10.2.16a图10.2.16b
解如图10.2.16a所示,由于这个立体关于面与面对称,所以只要计算它在第一卦限的部分.这是以球面为顶,以曲线与轴所围成的半圆为底(如图10.2.16b)的曲顶柱体,其体积为
.
在极坐标下,,于是得到
.
习题10.2
1.画出积分区域并计算下列二重积分.
(1),;
(2)其中是矩形闭区域:
(3)其中是顶点分别为和的三角形闭区域.;
(4),.
2.将二重积分化为二次积分,其中积分区域D是:
(1)以(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域;
(2)由直线及双曲线所围成的区域.
3.交换下列二次积分的积分次序.
(1);
(2);
(3);
(4).
4.画出下列积分区域,并把二重积分化成极坐标系下的二次积分.
(1)D:
(2)D:
.
5.将积分化成极坐标形式.
6.利用极坐标计算下列积分.
(1),D:
(2),D:
(3),D:
7.选择适当的坐标系计算下列积分.
(1),D由所围成;
(2);
D:
,;
8.求圆锥面与平面z=x,x=0所围成的立体体积.
9.求由平面,,,及所围成的立体的体积.
10.3三重积分
定义10.3.1设函数是空间有界闭域上的有界函数.将任意
分割成个小闭区域
,…,
其中表示第个小闭区域,也表示它的体积.在每个上任取一点,
作乘积(),并作和.
记,若极限总存在,则称此极限为函数
在闭区域上的三重积分.记作,即
(10.3.1)
其中叫做体积微元
10.3.1三重积分的概念
将二重积分的概念推广,就得到三重积分的概念.
在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分,那么除了包含的边界点的一些不规则小闭区域外,得到的小闭区域为长方体.设长方体小闭区域的边长为、、,则.因此在直角坐标系中,有时也把体积微元记作,而把三重积分记作
其中叫做直角坐标系中的体积微元.
当函数在闭区域上连续时,(10.3.1)式右端的和的极限必定存在,也就是函数在闭区域上的三重积分必定存在.以后我们总假定函数在闭区域上是连续的.关于二重积分的一些术语,例如,被积函数、积分区域等,也可相应地用到三重积分上.三重积分的性质也与二重积分的性质类似,这里不再重复了.
如果表示某物体在点处的密度,是该物体所占有的空间闭区域,在上连续,则是该物体的质量的近似值,这个和当时的极限就是该物体的质量,所以
当时,积分值就等于积分区域的体积.
10.3.2在直角坐标系下三重积分的计算
1先一后二法
设函数在空间有界闭区域上连续.设区域在面上的投影区域为,如果平行于轴且穿过区域的直线与的边界曲面的交点不超过两个,此区域表示为
即过区域在面上的投影区域内任一点,做平行于轴的直线,穿进的点总在曲面:
上,穿出的点总在曲面:
上,且(如图10.3.1).此时三重积分可化为
即先对积分再计算在上的二重积分(先一后二法).
图10.3.1
假如闭区域
.(10.3.2)
把这个二重积分化为二次积分,于是得到三重积分的计算公式
即把三重积分化为先对,再对,最后对的三次积分
如果平行于轴或轴且穿过闭区域内部的直线与的边界曲面相交不多于两点,也可把闭区域投影到面上或面上,这样便可以把三重积分化为按其他顺序的三次积分.因此,在直角坐标系下的三重积分可能有6种不同顺序的三次积分.
如果平行于坐标轴且穿过闭区域内部的直线与边界曲面的交点多于两个,也可像处理二重积分那样,把分成若干部分,使上的三重积分化为各部分闭区域上的三重积分的和.
例10.3.1计算三重积分,其中积分区域为平面及三个坐标面所围成的闭区域.
解积分区域是如图10.3.2所示的四面体,
将投影在面,投影区域为
图10.3.2
在内任取一点,过此点作平行于轴的直线,该直线通过平面穿入内,然后通过平面穿出外,所以,积分区域表示为
,.
于是,由公式(10.3.2)得
例10.3.2计算三重积分,其中积分区域为椭圆抛物面及抛物柱面所围成的闭区域.
解积分区域如图10.3.3所示,在坐标面上的投影区域为
积分区域表示为
于是
图10.3.3
2先二后一法
有时,我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分.
设空间区域如图10.3.4所示,则,,过点作轴的垂面,与区域的截面为,则
即先计算在上的二重积分,再对积分(先二后一法).
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