江苏省2021届九年级数学一轮复习—函数专题训练-Word文件下载.docx
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18.如图,直线AD:
y1=k1x+b1过点A(0,4),D(4,0),直线BC:
y2=k2x+b2过点C(﹣2,0),且与直线AD交于点B,且点B的横坐标为a.
(1)当a=1时,求直线BC的解析式;
(2)在
(1)的条件下,请直接写出k1x+b1>k2x+b2时,对应的x的取值范围;
(3)设的面积为S,用含a的代数式表示S,并求出当直线CB把的面积分为1:
2的两部分时,对应a的值.
19.在平面直角坐标系xOy中,直线与x轴、y轴分别交于点A、B(如图).抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A.
(1)求线段AB的长;
(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且,求这条抛物线的表达式;
(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内,则a的取值范围是____.
20.已知点为二次函数图象的顶点,直线分别交轴正半轴,轴于点,.
(1)判断顶点是否在直线上,并说明理由.
(2)如图1,二次函数图象与直线相交于,两点,若时,,求点的坐标;
(3)如图2,点坐标为,点在内,若点,都在二次函数图象上,请直接写出的取值范围,并结合的取值范围确定与大小关系.
21.在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式,x满足什么值时y﹤0?
(2)点p是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP面积最大?
若存在,求出点P的坐标;
若不存在,说明理由
(3)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,直接写出点Q的坐标;
若不存在,说明理由.
22.抛物线与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于C(0,2)
(1)分别求直线AC及抛物线的解析式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)若点G是抛物线上的动点,点F在x轴上,且以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形,试直接写出所有满足条件的F点坐标.
21/27
参考答案
1.A
【详解】
设直线的函数表达式为,
把点代入得,解得,
则直线对应的函数表达式为,
故选:
A.
2.C
解:
∵
∴对称轴为x=h
∵抛物线与线段恰有两个交点
∴1<h<4
当在函数图像上时,则有:
,解得h=或h=(舍);
,解得h=5(舍)或h=3;
∴当时,抛物线与线段恰有两个交点.
故答案为:
C.
3.C
过点P作PD⊥MN,连接PM,如图所示:
∵⊙P与y轴交于M(0,−4),N(0,−10)两点,
∴OM=4,ON=10,
∴MN=6,
∵PD⊥MN,
∴DM=DN=MN=3,
∴OD=7,
∵点P的横坐标为−4,即PD=4,
∴PM===5,
即⊙P的半径为5,
4.A
∵点
∴k=2×
(-3)=-6
∴只有A选项:
-1.5×
4=-6.
故答案为A.
5.C
A、y=4x是正比例函数;
B、=3,可以化为y=3x,是正比例函数;
C、y=﹣是反比例函数;
D、y=x2﹣1是二次函数;
6.C
如图,过点A作AH⊥y轴于H,过点C作CE⊥AH于E,
则四边形CEHO是矩形,
∴OH=CE=4,
∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°
,
∴∠ABH+∠HAB=90°
,∠HAB+∠EAC=90°
∴∠ABH=∠EAC,
∴△AHB∽△CEA,
∴,即
∴AE=2BH,
设BH=x,则AE=2x,
∵A(2,4),
∴OC=HE=2+2x,OB=4﹣x,
∴B(0,4﹣x),C(2+2x,0),
∵M为BC的中点,
∴BM=CM,
∴M(1+x,),
∵P(1,0),
∴PM=,
∴当时,PM有最小值为=,
7.C
∵当x=0时,y=ax2-2x=0,即抛物线y=ax2-2x经过原点,故A错误;
∵反比例函数y=的图象在第一、三象限,
∴ab>0,即a、b同号,
当a<0时,抛物线y=ax2-2x的对称轴x=<0,对称轴在y轴左边,故D错误;
当a>0时,b>0,直线y=bx+a经过第一、二、三象限,故B错误;
C正确.
故选C.
8.D
A.平移后,得y=(x+1)2,图象经过A点,故A不符合题意;
B.平移后,得y=(x−3)2,图象经过A点,故B不符合题意;
C.平移后,得y=x2+3,图象经过A点,故C不符合题意;
D.平移后,得y=x2−1图象不经过A点,故D符合题意;
故选D.
9.D
①抛物线的顶点坐标为(,),当m=3时,特征数为[2,4-6],可求得顶点坐标为(-1,-8),所以①正确.②函数图像与x轴交点坐标为(),特征数为[m-1,1+m,-2m]的函数与x轴交点坐标分别为(1,0)、(,0),所以截得x轴所得的线段长为1-=1+,当m>
1时,1+>
3,所以②正确.③函数对称轴为x==,当m<
0时,对称轴x=<
,a=m-1<
0,所以函数抛物线图像开口向下,当x>
时y随x的增大而减小,又因为x=<
,所以当m<
0时,函数在x>
时,y随x的增大而减小,③正确.④不论m取何值,函数图象经过两个定点(1,0)和(-2,-6),所以④正确.故选D
10.B
因为点C在上,故假设,,
∴OB的中点坐标为,
∵,∴AC中点与OB中点相同,
故根据中点坐标公式可得:
将点A代入可得:
.
根据中点坐标公式可得:
将点D代入可得:
故.
B.
11.10
由题意得:
两式相加得:
10.
12.下
设一般式y=ax2+bx+c,
解得
由<0,则该函数图像开口向下.
下.
13.4
∵的对称轴为直线,
当分别取两个不同的值时,函数值相等,
∴,
∴当取时,,
14.2
∵抛物线y=-2x2+bx+c顶点C到x轴的距离为6,
∴化二次函数解析式为顶点式为:
∴令,得,
解得:
,,
∵抛物线y=-2x2+bx+c与x轴交于A,B两点,
∴,,
∴;
故答案是.
15.y=(x-2)2+3.
抛物线y=(x-3)2+1先向上平移2个单位,再向左平移1个单位后,得到的抛物线解析式为y=(x-3+1)2+1+2=(x-2)2+3,
即:
y=(x-2)2+3.
16.,
二次函数的对称轴为直线
因此方程为
所以可得
故答案为,.
17.16
过E作EF⊥AB于F,由三角形中位线定理可得AD=2EF,设点D的横坐标为m,D点坐标为(m,),得出AD=,即可得出EF=,根据图象上的坐标特征得出E的横坐标为2m,继而得出AB=2m,然后根据矩形的面积公式即可求得.
详解:
过E作EF⊥AB于F,
∵点E是矩形ABCD对角线的交点,
∴AE=CE,
∴EF是△ABC的中位线,
∴AD=2EF,
设点D的横坐标为m,且点D在反比例函数y=(x>0)上,
∴D点坐标为(m,),
∴AD=,
∴EF=,
∴E(2m,),
∴AF=m,
∴AB=2m,
∴矩形ABCD的面积=2m•=16,
故答案为16.
18.
(1)y=x+2
(2)x<1(3)a=或.
(1)由题意得:
直线AD过点A(0,4),D(4,0),直线AD为y1=k1x+b1
∴
∴直线AD的解析式为y1=−x+4
又因为点B在AD上,且B点的横坐标为a=1,所以纵坐标为3,即B(1,3)
由题意的直线BC过点B(1,3),C(−2,0),直线BC为y2=k2x+b2
∴直线BC的解析式为y2=x+2
(2)因为直线AD与直线BC相交于点B(1,3)
由图象得:
k1x+b1>k2x+b2时x的取值范围为x<1.
(3)△ABC的面积计算有三种形式,分别为点B在点A上方、在AD中间、在点D下方.
①点B在点A上方,即a≤0时:
S△ABC=S△BCO+S△BAO−S△ACO
∴S=×
2×
(−a+4)+×
4×
(−a)−×
4=−3a
②当点B在点A和点D中间,即0<a<4时,:
S△ABC=S△ACD−S△BCD
6×
4−×
(−a+4)=3a
③当点B在点D下方,即a≥4时,:
S△ABC=S△ACD+S△BCD
4+×
(−(−a+4))=3a
综上所述得:
S=
当直线CB把△ACD的面积分为1:
2两部分时,即B点在点A和点D中间时.
此时S△ABC=3a,S△ACD=12.
当S△ABC:
S△ACD=1:
3时,即3a:
12=1:
3,
∴a=;
S△ACD=2:
12=2:
∴a=.
19.
(1);
(2);
(3)
(1)∵A,B是一次函数与x轴,y轴的交点,
∴.
(2)设点,
∵,∴,
∵,∴,∴,
∵点在线段上,∴,∴,
将点,代入抛物线中,
得到抛物线为.
(3)∵点在抛物线中,
得,∴,
∴抛物线的解析式为,
∴抛物线的顶点坐标为,
将代入中,得,
∵顶点位于内,∴,
20.
(1)在,理由见解析;
(2)M(1,5);
(3)当-1<b≤-时,y1≥y2;
当-<b<时,y1<y2.
(1)在,理由如下:
∴点M为二次函数图象的顶点
∴M的坐标是(b+1,4b+5)。
把x=b+1代入y=4x+1,得y=4b+5.
∴点M在直线y=4x+1上;
(2)如图1,二次函数图象与直线相交于C,D两点,
当-x2+2(b+1)x-b2+2b+4>
mx+5时,<
x<
2.
∴C的横坐标为,D的横坐标为2.
将x=、x=2分别代入-x2+2(b+1)x-b2+2b+4=mx+5整理得:
①×
4-②得,3b2-6b=0,
解得b=0或b=2(舍)
∴M(1,5);
(3)如图2.∵直线y=mx+5交y轴于点B,
∴B点坐标为(0,5),
∵A(5,0),
∴直线AB为y=-x+5,
∵顶点M(b+1,4b+5)在△AOB内部,
∴解得:
-1<
b<
-
由
(1)可知对称轴为x=b+1
∵点,都在二次函数图象上
∴当0<b+1≤时,即-1<b≤-,y1≥y2;
当<b+1≤时,即-<b<时,y1<y2.
21.
(1),或;
(2)P;
(1)将A(﹣3,0),B(1,0)两点带入y=ax2+bx+2可得:
∴二次函数解析式为.
由图像可知,当或时y﹤0;
综上:
二次函数解析式为,当或时y﹤0;
(2)设点P坐标为,如图连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.
PM=,PN=,AO=3.
当时,,所以OC=2
∴函数有最大值,
当时,有最大值,
此时;
所以存在点,使△ACP面积最大.
(3)存在,
假设存在点Q使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形
①若CM平行于x轴,如下图,有符合要求的两个点此时=
∵CM∥x轴,
∴点M、点C(0,2)关于对称轴对称,
∴M(﹣2,2),
∴CM=2.
由=;
②若CM不平行于x轴,如下图,过点M作MG⊥x轴于点G,
易证△MGQ≌△COA,得QG=OA=3,MG=OC=2,即.
设M(x,﹣2),则有,解得:
.
又QG=3,∴,
综上所述,存在点P使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形,
Q点坐标为:
22.
(1),;
(3)F(-1,0)或(-5,0)或,0)或F(,0).
(1)将点A(-3,0),B(1,0),C(0,2)代入,
化解得:
抛物线的解析式为:
设直线AC的解析式为:
(k≠0,k、b是常数),
将点A(-3,0),C(0,2)代入,
直线AC的解析式为:
;
(2)如图1所示,P是线段AC上的一个动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于E点,
设P点的横坐标为x(),
则P(x,),E(x,),
E点在P点的上方,
PE=,
=,
当时,;
(3)若点G是抛物线上的动点,点F在x轴上,且以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形,则有:
(ⅰ)
如图2所示,AFGC,
G点的纵坐标与C点相同,yG=2,
又G点在抛物线上,
xG=-2,
G(-2,2),
ACFG是平行四边形,当F在线段AB内,AFGC,GC=2,
AF=2,
又点A(-3,0),
点F(-1,0);
(ⅱ)
如图3所示,AFGC,
ACFG是平行四边形,当F在线段AB外,AFGC,GC=2,
点F(-5,0);
(ⅲ)
如图4所示,
ACFG是平行四边形,AF为一条对角线,AC=GF,AG=CF,
△AFG≌△FAC(SSS),
此时点C,G两点的纵坐标互为相反数,C点的纵坐标为2,
G点的纵坐标为-2,
又G点在抛物线上,且在x负半轴,
xG1=(舍去),xG2=,
G(,-2),
ACGF,直线AC的解析式为:
设直线GF的解析式为:
,点G在直线GF上,
直线GF与x轴的交点F的坐标为(,0);
(ⅳ)
如图5所示,同(ⅲ)可得,
又G点在抛物线上,且在x正半轴,
xG1=,xG2=(舍去),
综上所述:
F(-1,0)或(-5,0)或,0)或F(,0).
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