高考理科数学通用版二轮专题复习教学案第二部分 板块二 系统热门考点以点带面 解析Word格式文档下载.docx
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0,设x1<
2<
x2,则x2<
4-x1,所以f(x2)<
f(4-x1).又因为f(4-x1)=-f(x1),所以f(x2)<
-f(x1),即f(x1)+f(x2)<
0.
2.已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<
b<
cB.a<
c<
b
C.c<
a<
bD.c<
a
选C 由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数可知,m=0,故f(x)=2|x|-1.当x>
0时,f(x)为增函数,log0.53=-log23,∴log25>
|-log0.53|>
∴b=f(log25)>
a=f(log0.53)>
c=f(2m).
3.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f
(1)=1.若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=________.
由题意得g(-1)=f(-1)+2.又f(-1)+(-1)2=-[f
(1)+12]=-2,所以f(-1)=-3.
故f(-1)+2=-3+2=-1,即g(-1)=-1.
答案:
-1
4.函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时,f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则实数a的取值范围是________.
由f(x+2)=f(x),得函数的周期是2.
由ax+2a-f(x)=0,
得f(x)=ax+2A.
设y=f(x),则y=ax+2a,作出函数y=f(x),y=ax+2a的图象,如图.
要使方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根,则直线y=ax+2a=a(x+2)的斜率满足kAH<
kAG,
由题意可知,G(1,2),H(3,2),A(-2,0),
所以kAH=,kAG=,所以<
.
[常用结论——记一番]
1.函数的单调性
在公共定义域内:
(1)若函数f(x)是增函数,函数g(x)是增函数,则f(x)+g(x)是增函数;
(2)若函数f(x)是减函数,函数g(x)是减函数,则f(x)+g(x)是减函数;
(3)若函数f(x)是增函数,函数g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是增函数;
(4)若函数f(x)是减函数,函数g(x)是增函数,则f(x)-g(x)是减函数.
[提示] 在利用函数单调性解不等式时,易忽略函数定义域这一限制条件.
2.函数的奇偶性
(1)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:
f(x)±
f(-x)=0,=±
1;
(2)设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:
奇+奇=奇,奇×
奇=偶,偶+偶=偶,偶×
偶=偶,奇×
偶=奇.
3.有关函数f(x)周期性的常用结论:
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数f(x)的周期为2|a|;
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数f(x)的周期为2|a|;
(3)若f(x+a)=,则函数f(x)的周期为2|a|;
(4)若f(x+a)=-,则函数f(x)的周期为2|a|.
(二)最值函数 大显身手
最值函数的定义:
设a,b为实数,则min{a,b}=max{a,b}=解有些求最值问题时,巧妙借助以下性质,可如虎添翼.
(1)min{a,b}≤≤max{a,b};
(2){a,b}≤≤{a,b}.
[例1] 对于任意x∈R,函数f(x)表示y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3中的最大者,则f(x)的最小值是( )
A.2 B.3
C.8D.-1
[解析] 选A 如图,分别画出函数y=-x+3,y=x+,y=x2-4x+3的图象,
得到三个交点A(0,3),B(1,2),C(5,8).
由图象可得函数f(x)的表达式为
f(x)=
所以f(x)的图象是图中的实线部分,图象的最低点是B(1,2),所以函数f(x)的最小值是2.
[例2] 已知函数f(x)=x2-x+m-,g(x)=-log2x,min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>
0),则当函数h(x)有三个零点时,实数m的取值范围为( )
A. B.
C.D.
[解析] 选C 在同一直角坐标系中,作出函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示.
当两函数图象交于点A(1,0)时,即有1-1+m-=0,解得m=,
所以当函数h(x)有三个零点时,
即为点A和y=f(x)与x轴的两个交点,
若满足条件,则需
解得<
m<
所以实数m的取值范围是.
1.设a,b为平面向量,则( )
A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|}
B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|}
C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2
D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2
选D max{|a+b|2,|a-b|2}≥=|a|2+|b|2,故选D.
2.(2017·
兰州模拟)记max{a,b}=,已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a·
b=0,c=λa+μb(λ≥0,μ≥0,且λ+μ=1),则当max{c·
a,c·
b}取最小值时,|c|=( )
A.B.
C.1D.
选A 如图,设=a,=b,
则a=(1,0),b=(0,2),
∵λ≥0,μ≥0,λ+μ=1,∴0≤λ≤1.
又c=λa+μb,
∴c·
a=(λa+b-λb)·
a=λ;
c·
b=(λa+b-λb)·
b=4-4λ.
由λ=4-4λ,得λ=.
∴max{c·
b}=
令f(λ)=
则f(λ)∈.
∴f(λ)min=,此时λ=,μ=,
∴c=a+b=.
∴|c|==.
3.设x,y为实数,且5x2+4y2=10x,则x2+y2的最大值为________.
法一:
5x2+4y2=10x⇒4y2=10x-5x2≥0⇒0≤x≤2.
4(x2+y2)=10x-x2=25-(5-x)2≤25-9=16⇒x2+y2≤4.
法二:
5x2-4y2=10x⇒(x-1)2+y2=1,
令x-1=sinθ,y=cosθ,θ∈[0,2π],
则x2+y2=(sinθ+1)2+2
=-(sinθ-4)2+4,
∵-1≤sinθ≤1,∴当sinθ=1时,x2+y2取得最大值,即(x2+y2)max=4.
4
(三)应用导数 开阔思路
1.函数的单调性与导数的关系
①f′(x)>
0⇒f(x)为增函数;
②f′(x)<
0⇒f(x)为减函数;
③f′(x)=0⇒f(x)为常数函数.
2.求函数f(x)极值的方法
求函数的极值应先确定函数的定义域,解方程f′(x)=0,再判断f′(x)=0的根是否是极值点,可通过列表的形式进行分析,若遇极值点含参数不能比较大小时,则需分类讨论.
[例1] 若函数f(x)=2sinx(x∈[0,π))的图象在切点P处的切线平行于函数g(x)=2的图象在切点Q处的切线,则直线PQ的斜率为( )
A. B.2
[解析] 选A 由题意得f′(x)=2cosx,g′(x)=x+x-.设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2)),
又f′(x1)=g′(x2),即2cosx1=x2+x-2,
故4cos2x1=x2+x+2,
所以-4+4cos2x1=x2+x-2,
即-4sin2x1=(x2-x-2)2,
所以sinx1=0,x1=0,x2=x-2,x2=1,
故P(0,0),Q,故kPQ=.
[技法领悟]
求曲线的切线方程时,要注意是在点P处的切线还是过点P的切线,前者点P为切点,后者点P不一定为切点.
[例2] 已知函数f(x)(x∈R)满足f
(1)=1,且f(x)的导数f′(x)<
,则不等式f(x2)<
+的解集为________.
[解析] 设F(x)=f(x)-x,∴F′(x)=f′(x)-,∵f′(x)<
,∴F′(x)=f′(x)-<
0,即函数F(x)在R上单调递减.∵f(x2)<
+,∴f(x2)-<
f
(1)-,∴F(x2)<
F
(1),而函数F(x)在R上单调递减,∴x2>
1,即x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).
[答案] (-∞,-1)∪(1,+∞)
[例3] 已知函数f(x)=(ax+b)lnx-bx+3在(1,f
(1))处的切线方程为y=2.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若g(x)=f(x)+kx在(1,3)上是单调函数,求k的取值范围.
[解]
(1)因为f
(1)=-b+3=2,所以b=1.
又f′(x)=+alnx+a-b=+alnx+a-1,
而函数f(x)在(1,f
(1))处的切线方程为y=2,
所以f′
(1)=1+a-1=0,所以a=0.
(2)由
(1)得f(x)=lnx-x+3,f′(x)=-1(x>
0).
令f′(x)=0,得x=1.
当0<
x<
1时,f′(x)>
0;
当x>
1时,f′(x)<
0,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
故f(x)的极大值为f
(1)=2,无极小值.
(3)由g(x)=f(x)+kx,得g(x)=lnx+(k-1)x+3(x>
0),g′(x)=+k-1,
又g(x)在x∈(1,3)上是单调函数,
若g(x)为增函数,有g′(x)≥0,
即g′(x)=+k-1≥0,即k≥1-在x∈(1,3)上恒成立.
又1-∈,所以k≥.
若g(x)为减函数,有g′(x)≤0,
即g′(x)=+k-1≤0,即k≤1-在x∈(1,3)上恒成立,
又1-∈,所以k≤0.
综上,k的取值范围为(-∞,0]∪.
破解此类问题需注意两点:
(1)求函数的单调区间时应优先考虑函数的定义域;
(2)求得函数在多个区间单调性相同时,区间之间用“,”分割,或用“和”相连,一般不用“∪”.
1.f(x)=x(2016+lnx),若f′(x0)=2017,则x0=( )
A.e2B.1
C.ln2D.e
选B f′(x)=2016+lnx+x·
=2017+lnx,由f′(x0)=2017,得2017+lnx0=2017,所以lnx0=0,解得x0=1.
2.定义:
如果函数f(x)在[m,n]上存在x1,x2(m<
x1<
x2<
n)满足f′(x1)=,f′(x2)=.则称函数f(x)是[m,n]上的“双中值函数”,已知函数f(x)=x3-x2+a是[0,a]上的“双中值函数”,则实数a的取值范围是( )
选C 因为f(x)=x3-x2+a,所以f′(x)=3x2-2x在区间[0,a]上存在x1,x2(0<
a),满足f′(x1)=f′(x2)==a2-a,所以方程3x2-2x=a2-a在区间(0,a)上有两个不相等的实根.
令g(x)=3x2-2x-a2+a(0<
a),
则解得<
1,
所以实数a的取值范围是.
3.已知函数f(x)=-x2+ax+1(a>
0,b>
0),则函数g(x)=alnx+在点(b,g(b))处的切线斜率的最小值是________.
因为f′(x)=x2-bx+a,
所以g(x)=alnx++1.
所以g′(x)=+(x>
0),
因为a>
0,则g′(b)=+=+≥2,当且仅当a=b=1时取“=”,
所以斜率的最小值为2.
2
4.已知函数f(x)=(x+1)2ln(x+1)-x,φ(x)=mx2.
(1)当m=时,求函数g(x)=f(x)-φ(x)的极值;
(2)当m=1且x≥0时,证明:
f(x)≥φ(x);
(3)若x≥0,f(x)≥φ(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解:
(1)当m=时,
g(x)=f(x)-φ(x)=(x+1)2·
ln(x+1)-x-,x>
-1,
所以g′(x)=2(x+1)ln(x+1)+(x+1)2·
-1-x=2(x+1)ln(x+1).
由解得x=0,
当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:
x
(-1,0)
(0,+∞)
g′(x)
-
+
g(x)
极小值
所以函数g(x)的极小值为g(0)=0,无极大值.
(2)证明:
当m=1时,令p(x)=f(x)-φ(x)=(x+1)2·
ln(x+1)-x-x2(x≥0),
所以p′(x)=2(x+1)ln(x+1)+(x+1)2·
-1-2x=2(x+1)ln(x+1)-x.
设p′(x)=G(x),则G′(x)=2ln(x+1)+1>
所以函数p′(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以p′(x)≥p′(0)=0,
所以函数p(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以p(x)≥p(0)=0.
所以f(x)≥φ(x).
(3)设h(x)=(x+1)2ln(x+1)-x-mx2(x≥0),
所以h′(x)=2(x+1)ln(x+1)+x-2mx.
由
(2)知当x≥0时,(x+1)2ln(x+1)≥x2+x=x(x+1),
所以(x+1)ln(x+1)≥x,所以h′(x)≥3x-2mx.
①当3-2m≥0,即m≤时,h′(x)≥0,
所以h(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以h(x)≥h(0)=0,满足题意.
②当3-2m<
0,即m>
时,
设H(x)=h′(x)=2(x+1)ln(x+1)+(1-2m)x,
则H′(x)=2ln(x+1)+3-2m,
令H′(x)=0,得x0=e-1>
故h′(x)在[0,x0)上单调递减,在[x0,+∞)上单调递增.
当x∈[0,x0)时,h′(x)<
h′(0)=0,
所以h(x)在[0,x0)上单调递减,
所以h(x)<
h(0)=0,不满足题意.
综上,实数m的取值范围为.
1.函数极值的判别的易错点
(1)可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,如函数f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点.
(2)极值点不是一个点,而是一个数x0,当x=x0时,函数取得极值.在x0处有f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件.
2.函数最值的判别方法
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上最值的关键是求出f′(x)=0的根的函数值,再与f(a),f(b)作比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
(2)求函数f(x)在非闭区间上的最值,只需利用导数法判断函数f(x)的单调性,即可得结论.
(四)三角问题 重在三变
[例1] 对于锐角α,若sin=,则cos=( )
A. B.
C.D.-
[解析] 选D 由α为锐角,且sin=,
可得cos=,
所以cos=sin
=sin=-2sincos
=-2×
×
=-.
[例2] 若sin2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是( )
C.或D.或
[解析] 选A 因为α∈,所以2α∈,
又sin2α=,故2α∈,α∈,
所以cos2α=-.
又β∈,故β-α∈,
于是cos(β-α)=-,
所以cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]
=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)
=-×
-×
=,
且α+β∈,故α+β=.
1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边在直线y=2x上,则sin的值为( )
A.-B.
C.-D.
选D 由题意可得tanθ=2,cosθ=±
,
所以tan2θ==-,cos2θ=2cos2θ-1=-,
所以sin2θ=cos2θ·
tan2θ=,
所以sin=(sin2θ+cos2θ)=×
=.
沈阳质检)已知f(x)=2sin2x+2sinxcosx,则f(x)的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )
A.2π,B.π,
C.2π,D.π,
选B ∵f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=sin+1,∴T==π,由+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),令k=0得f(x)在上单调递减.
3.已知α为锐角,若sin=,则cos=________.
cos=cos=sin=sin=2sincos,因为α为锐角,sin=<
,所以<
α+<
,故cos=,所以cos=2×
4.若0<
α<
,0<
β<
,sin=,cos=,则cos的值为________.
由题易知-<
-α<
,-<
-<
-,所以cos==,sin=-=-,所以cos=cos=×
+×
三角公式中常用的变形:
(1)对于含有sinα±
cosα,sinαcosα的问题,利用(sinα±
cosα)2=1±
2sinαcosα,建立sinα±
cosα与sinαcosα的关系.
(2)对于含有sinα,cosα的齐次式
,利用tanα=转化为含tanα的式子.
(3)对于形如cos2α+sinα与cos2α+sinαcosα的变形,前者用平方关系sin2α+cos2α=1化为二次型函数,而后者用降幂公式化为一个角的三角函数.
(4)含tanα+tanβ与tanαtanβ时考虑tan(α+β)=.
(五)正弦余弦 相得益彰
三角函数求值的解题策略
(1)寻求角与角关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,熟练准确地应用公式;
(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用;
(3)对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的关系,寻找解题的突破口,对于很难入手的问题,可利用分析法.
(4)求角的大小,应注意角的范围.
[例1] (2017·
福州质检)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ctanC=(acosB+bcosA).
(1)求角C;
(2)若c=2,求△ABC面积的最大值.
[解]
(1)∵ctanC=(acosB+bcosA),
∴sinCtanC=(sinAcosB+sinBcosA),
∴sinCtanC=sin(A+B)=sinC,
∵0<
C<
π,∴sinC≠0,
∴tanC=,∴C=60°
(2)∵c=2,C=60°
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,
得12=a2+b2-ab≥2ab-ab,
∴ab≤12,∴S△ABC=absinC≤3,
当且仅当a=b=2时取“=”,
所以△ABC的面积的最大值为3.
[例2] 已知向量m=(2sinωx,cos2ωx-sin2ωx),n=(cosωx,1),其中ω>
0,x∈R.函数f(x)=m·
n的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)在△ABC中,若f(B)=-2,BC=,sinB=sinA,求·
的值.
[解]
(1)f(x)=m·
n=2sinωxcosωx+cos2ωx-sin2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin.
因为f(x)的最小正周期为π,所以T==π.
因为ω>
0,所以ω=1.
(2)设△ABC中内角A,B,C所对的边分别是a,b,C.
因为f(B)=-2,所以2sin=-2,
即sin=-1,得B=.
因为BC=,所以a=.
因为sinB=sinA,所以b=a,得b=3.
由正弦定理有=,解得sinA=.
因为0<
A<
,所以A=.
得C=,c=a=.
所以·
=cacosB=×
cos=-.
1.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
选A 因为=,由正弦定理得=,所以sin2A=sin2B.由=,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0,π),所以2A=180°
-2B,即A+B=90°
,所以C=90°
,于是△ABC是直角三角形.故选A.
2.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC+ccosA=2bsinA,则A的值为( )
C.D.或
选D 由acosC+ccosA=2bsinA结合正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBsinA,即sin(A+C)=2sinBsinA,故sinB=2sinBsinA.又sinB≠0,可得sinA=,故A=或.
3.非直角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知c=1,C=.若sinC+sin(A-B)=3sin2B,则△ABC的面积为( )
C.或D.
选D
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