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(3)搭100个这样的正方形需多少根火柴棒?
你是怎样得到的?
(4)若用x表示所搭正方形的个数,那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
与同伴进行交流。
(5)根据你的计算,搭200个这样的正方形要多少根火柴棒?
在搭2个、3个、10个正方形时,学生们可能会具体数一数火柴棒的根数,但当搭100个时,学生就需要探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的关系,发现火柴棒根数的变化规律。
规律是一般性的,需要用字母表示,用代数式表示是由特殊到一般的过程,而由代数式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程,可以进一步帮助学生体会字母表示数。
通过学生自主探索、合作交流,使数学归纳思想得到合理运用,在“做数学”过程中学会解决问题。
2、引导学生自主学习
联合国教科文组织指出:
“人的最大宝藏是学会学习,学会学习是最大的智慧之源”。
学生自主学习是其终身可持续发展的根本途径。
从认知心理学的角度来说,学生理解、掌握数学知识,不是取决于教师的反复讲解,而是取决于学生思维的展开程度和学生自主求知活动的质量,数学知识必须经过学生的认识加工、思维消化,通过学生自身的“再创造”活动才能被学生所接受,并纳入其认知结构中。
学生自主求知活动应是中学数学课堂教学活动的主体,对抽象性、理论性较强的知识,教师可作适度点拨;
对实践性、操作性较强的数学知识、应放开让学生参与知识的形成、发生、发展的探索过程,让其动手、动脑、实验、操作、交流、质疑,从中体会原理、领会实质,自觉构建认知结构和操作模式。
因此,课堂上要树立以学生自主发展为目的的教育观,提倡学习自主化,鼓励自主学习、自我探索、自我发现、自我获取知识。
为学生提供动手、动脑,施展才华的舞台,让学生成为自主探究问题的人。
如通过一组探索题可解决一类问题的方法,使学生领会化归与类比在数学问题探索中的作用,从而体会到“发现”的真正乐趣。
教师决不能越俎代疱。
探索例:
如图1能作一条直线将其分成面积相等的两部分吗?
通过设置悬念,拨动学生探索新知的心理,展开想象,寻求解决方法与途径,但不可避免地会产生认知冲突,于是通过后面一组问题进行化归与类比。
以掌握这类题型的解法和要点。
AD
N
GF
BCEM
图1图2
问题1:
如图2在⊙0中能用一直线将其面积分成相等的两部分吗?
此题意在让学生找出平分圆面积的直径所在直线,而直径过圆的对称中心——圆心。
问题2:
如图3在ΔABC中能作一直线将其分成面积相等的两部分吗?
此题旨在让学生探求出平分三角形面积的是三角形的任一条中线,因为中线把ΔABC分成等底等高的两个三角形。
AAD
D
BCBC
图3图4
问题3:
如图4在□ABCD中能作一直线将其分成面积相等的两部分吗?
学生通过讨论,探索得出□ABCD的任一条对角线,连结平行四边形对边中点的直线均可把它分成面积相等的两部分,此时这些直线均过对称中心。
通过恰当提问、引导学生进一步探索又可得出过对角线交点O任意画一条直线,都能把平行四边形面积等分,再进一步探索归纳得出:
经过平行四边形对称中心的任意一条直线都可以把它分成两个全等形,面积肯定相等,从而化归为其它一些中心对称图形,如矩形、菱形、正方形都是中心对称图形,过其对称中心的任意一直线都可将其面积两等分。
从以上问题中可类比在一梯形中,从而进一步探索出图1的分割法(如图5)。
AD
GFGFGF
BCEBCEBCE
图5(图1之分割法)
这类问题的探索,提高了学生的观察力,归纳推理能力、探索能力,也培养了思维的深刻性,也说明学生学会自主学习的重要性。
3、养成大胆质疑的习惯
“学起于思”。
思考是数学学习方法的核心,解决数学问题时,首先要观察、分析、思考。
思考往往能发现问题的特点,找出解决问题的突破口。
而独立思考的能力,首先表现在怀疑的精神上。
质疑是对习以为常的看似没有问题的地方产生疑问。
疑是学习的需要,是思维的开端,是求知的基础,是探索的起点。
南宋教育家陆九渊告诫说:
“学贵质疑,小疑则小进,大疑则大进,疑者觉悟之机,一番觉悟,一番长进。
”在教学中教师要积极保护学生的好奇心和求知欲,想方设法解决他们心中的疑问。
及时地对学生的问题作出积极的评价,以强化学生的质疑意识。
质疑来自于问题,在课堂教学中教师应重视“问题教学法”,要有意识地以问题为起点,以思维训练为核心来组织教学。
把精力放在创设情境、设计启发问题上,让学生在教师的启发下去寻找疑点,鼓励学生敢于质疑,创造一个开放性的课堂气氛,允许和鼓励学生对现有的答案和结论提出疑问,敢于提出与教材、教师不同的看法和观点,在教学中多提几个为什么?
为什么要这样?
不能那样?
形成不唯书、不唯师的创造性人格。
如“正切和余切”的引入教学中教师可通过循序渐进的一组问题引导学生主动质疑解答。
教师问题1:
如图6Rt△ABC中∠C=900,在学习了正弦和余弦后,请指出∠A的正弦和余弦分别是什么?
(此问学生很快回答sinA=
∠A的对边/斜边=a/c式①,B
cosA=∠A的邻边/斜边=b/c式②。
)
对斜边c
学习了∠A的正弦和余弦后,
边aA
有无疑问需要提出来让同学们思考?
C邻边b
如果学生自己缺少设计问题的经历图6
或设计问题中遇到困难,教师可适当启发。
几分钟后班中肯定有学生会发言提出问题:
图6中ΔABC的三条边,还可以组成其他一些比,这些比又是什么呢?
当学生提出这么好的一个问题后可及时表扬、鼓励,并提出:
你能说说还能组成哪些比吗?
当学生回答:
斜边/∠A的对边=c/a式③,斜边/∠A的邻边=c/b式④,∠A的对边/∠A的邻边=a/b式⑤,∠A的邻边/∠A的对边=b/a式⑥后,教师应再次表扬学生大胆探索的精神,并说明式③和式④分别叫做∠A的余割和正割,但初中不做研究,同时式⑤和式⑥分别分别叫做∠A的正切和余切,从而引入课题。
又如:
在平行四边形的判定定理学习后,启发学生有没有其它的判定方法?
能否修改条件?
它们都正确吗?
学生们通过积极思维,在讨论探索中得到了以下几个新问题:
一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形吗?
思考:
不一定,例如等腰梯形。
一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗?
不一定。
如图7,作出△ABC,使AB=AC,在BC上取一点E使BE≠CE,再作∠EAD=∠AEC,AD=EC,这样△EAD≌△AEC,得到∠B=∠C=∠D,AD=EC≠BE,AB=AC=DE。
即在四边形ABED中,一组对边相等AB=DE,一组对角相等∠B=∠D,但另一组对边不相等BE≠AD。
因此四边形ABED不是平行四边形。
一组对边相等,一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形吗?
如图8,矩形ABCD的两条对角线AC、BD交于O,以C为圆心,CD长为半径作弧,交BD于点E,连结CE、AE,这样在四边形ABCE中,AB=CE,AO=CO,但不是平行四边形。
DB
AAD
AC
BECBCD
图7图8图9
问题4:
一组对角相等,一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形吗?
①一组对角相等,且连结这组对角顶点的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形吗?
②一组对角相等,且连结这组对角顶点的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形吗?
对于①的回答是否定的。
如图9,在线段AC的中垂线上取两点B、D,使BO≠DO,那么有∠BAD=∠BCD,AO=CO,但ABCD不是平行四边形。
对于②的回答是肯定的。
在猜想、怀疑、论证、肯定或否定的过程中,学生的思维得到了激活,能力得到了进一步的提高。
4、学会两面思维形成联想学习能力
文学家雨果道:
“天才与凡人不同之处就是天才都具有双重反光。
这种双重反光现象……成为从正反两个方面去观察一切事物的那种至高无上的才能。
”现实生活中的事物和现象都有正反两方面。
因此,无论从功能性、结构性,还是因果关系都能反过来看问题。
同时,形成对立统一思想,有意地将对立面联系起来,转换思维视角,变化思维方向,使问题从对立、矛盾中相互转化。
联想学习能力,是在联想中发出的创新学习能力。
联想是由一种事物想到另一种事物的学习能力,可谓他山之石可以攻玉。
联想学习能力一般分为三种:
一是相似联想学习能力,即由一个事物联想到与其相象,形状相似的另一事物的学习能力;
二是接近联想学习能力,即由一个事物联想另一个在时间、空间上与它相近或接近的联想学习能力;
三是类比联想学习能力,即由一个事物联想到另一个与它相对立或相反的事物的学习能力。
如通过下面一组题的探索,可发现中点四边形的特点。
连结一般四边形各边中点的四边形是一个什么图形?
(此四边形对角线没明确特点,探索发现一般四边形的中点四边形为平行四边形。
连结矩形各边中点的四边形是什么图形?
(矩形的对角线相等,探索发现矩形的中点四边形为菱形。
连结菱形各边中点的四边形是什么图形?
(菱形对角线互相垂直,探索发现菱形的中点四边形为矩形。
连结等腰梯形各边中点的四边形是什么图形?
(等腰梯形的对角线也相等,探索发现等腰梯形的中点四边形也为菱形。
问题5:
只要是对角线相等类的四边形的中点四边形又是什么图形?
(联想、类比并可证明对角线相等类的四边形的中点四边形均为菱形。
同理由问题3也可联想类比并证得结果:
对角线互相垂直类的四边形的中点四边形均为矩形。
因此,学会联想就可以触类旁通、举一反三。
5、养成捕捉生活中数学信息的习惯
“生活处处皆数学”,社会上的数学应用、市场上的经济实例远远地走在数学教学的前面,因此,走出校门,深入生活,将所学的知识与广阔的社会实践联系起来,不仅可给学生提供大量动手实践、自主探索的机会,还可以发展学生的数学思维能力,学会用数学的眼光看世界。
平时可鼓励学生挖掘生活中的数学问题,一旦捕捉到了信息便可激发学生去大胆思考、探求。
在每个单元教学结束的时候,我都布置学生一个特殊任务:
深入生活,寻找用已学过的知识能解决实际生活的例子,谈谈它们为我们的生活带来哪些方便?
如在学过“二元一次方程”这一内容后,有几个学生在生活中捕捉到:
电力局对居民实行了峰谷分时电价和普通电价两种收费方式的例子。
此时教师可鼓动学生给自己家或亲戚家算一算,是否用峰谷电合算?
据了解,普通收费方式电价为每千瓦时0.53元,按峰谷分时收费,峰时段电价为每千瓦时0.56元,谷时电价为每千瓦时0.28元,每日6:
00时至22:
00时(16小时)为峰时段,22:
00时至次日6:
00时(8小时)为谷时段,班中肯定有不少同学会跃跃一试,去探求解法,在学生思路受阻时,教师可稍作点拨,在学生解答的基础上,教师最后引导学生小结、谈收获(本题解答略)。
这样学生会从生活中感受、发现数学的应用机会,使学生意识到数学离他们并不遥远,由此克服对数学的畏怯心理,感觉数学很有兴趣。
6、学会“略做”与“详做”
在学习时,对不同的数学问题应采取不同的解决方法,对于综合题,应“略做”,明确已知、未知,在什么知识范围内,重点是寻求解法,分析题目类型,然后用一种又一种方法来试解,明确了思路,就在草稿上稍稍算几下,把关键性的几步写下来,演算过程可以略去,从而达到节省时间、提高学习效率、广见各类问题的目的。
对基础题、典型题则应“详做”,一步步解答。
例如:
有两条铁路交叉成直角,某时刻正南50公里和正东40公里处各有一列火车,向交叉点的方向行驶,速度分别是每小时36公里和48公里。
问两列火车之间的距离什么AB
时候最小?
最小的距离是什么?
初看这道题时,感到棘手。
但理解
了题意后,知道这是属于求极值的典型
题,关键是建立一个二次函数关系式。
C
根据示意图,设两列火车间最短距离为S,图10
根据勾股定理,建立S2=(50-36t)2+(40-48t)2的关系式,问题就迎刃而解。
以下是二次函数求极值的基础题计算,就省略了,直接写出结果。
此题不仅运用了函数思想,同时运用了以简驭繁的数学方法策略,不仅提高了解决问题能力,还节省了时间,提高了学习效率。
对综合题的“略做”是建立在基础题的“详做”、牢固掌握基本概念的基础上,熟悉定义、定理、公式又是做好“综合题”的基础,因此,“详做”基础题非常重要,同时,书上和老师选讲的例题是有代表性的,抓住典型题的规律就可以解决一批习题,因此那些典型题的“详做”,不仅能将学到的基础知识融会贯通,而且有助于提高解决问题能力,从而避免陷入“题海”。
7、学会反思
“学而不思则罔,思而不学则殆。
”学生学习,如果缺乏题后反思,往往印象很浅,思维的深刻性及批判性得不到发展。
有些典型习题,共同研究出解法后经常问学生有何感悟:
哪些地方不容易想到?
哪些地方印象很深?
还有其他解法吗?
如果换个题设还能得到这个结论吗?
题设不变,还能得到什么结论?
题目中运用了哪些知识、方法?
关键在哪里?
悟出了哪些道理、“窍门”?
……因此,回忆自己问题解决的结果和过程,找出出错之处,明确正确的解决问题思路和方法;
分析解决问题过程中出现错误的原因,提出改进措施,防止以后类似问题的再次发生;
思考还有没有更简、更佳的问题解决方法,或思考变换问题条件,将如何影响问题的解决;
反思自己是否通过问题解决学到了什么新的东西。
这是反思总结过程的最为核心的内容。
如图11在ΔABC中AB=AC,直线EF分别交BC、AB于点D、E,交AC的延长线于点F,且DE=DF,求证:
BE=CF。
学生通过探索发现:
要证BE=CF(不在同一个三角形中ΔBDE与ΔCDF也不全等),只能寻找第三个量,做“中介”。
因此,可设法构造ΔHDE≌ΔCDF,得到与CF相等的线段HE,然后证明BE=HE即可,为此可作辅助线EH使EH//CF(本题解答略)。
AA
EE
CC
BDBHD
F图11F
本题可通过以下几个问题对学生进行反思与变式探究训练:
①本题是否还有其他证明方法呢?
(经过学生探究,还有其它五种方法,此处略。
)②通过条件与结论的互换或者改变条件可以得到以下变式:
变式1:
如图11左图,在ΔABC中,AB=AC,直线EF分别交BC、AB于点D、E,交AC的延长线于点F,且BE=CF,求证:
DE=DF。
变式2:
已知如图11左图,在ΔABC中,直线EF分别交BC、AB于点D、E,交AC的延长线于点F,且BE=CF、DE=DF,求证:
AB=AC。
变式3:
如果本题中DE≠DF,而其余的条件不变,那么BE与CF是否相等?
线段DE、DF、BE、CF之间有何关系?
这样,通过对题目解题思路的分析,提高了学生分析问题的能力,又反思了解决问题的思路,拓宽了学生解决问题的视野,通过对问题的变式探究,学生又解决了一类相关问题,加深了对问题本身的理解,产生了很好的教学效果。
数学学习方法还有很多,每个学生由于基础的不同,也需要找出适合自己的、科学的学习方法,才能在学习中百战百胜。
因此,我们在教学中除了一些普遍适用的学法培养外,也要因人而异、恰当指导,使每个学生都有适合自己的数学学习方法——给学生一把金钥匙。
这样才能激发学生的学习兴趣,提高他们的学习效率和解决问题的能力,最终使他们走向成功的彼岸。
参考文献
1、汤文卿《新课标理念下的中学数学课堂教学》《中学数学教育》2004.3
2、刘益军《我教学生“跳四步”》《时代数学学习》2005.5~6
3、日新《数学学习法》新世界出版社2001
4、刘克庆《一次有益的教学尝试——探索》《中学数学教育》2005.4
5、韦国清《物理教学中培养学生创新思维的途径》《中学特级教师教学思想与方法(物理)》东南大学出版社2002
6、沈秋伟、方丽华《挖掘数学教材的内涵搭建自主探究的舞台》《中学数学教育》2005.6
7、史佩明《激活学生思维培养学习能力》《中学数学教育》2005.6
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