高等代数北大版课件2.8Laplace定理 行列式的乘法规则PPT文档格式.ppt
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4n级行列式的性质,8Laplace定理行列式乘法法则,3n级行列式,2排列,1引言,5行列式的计算,7Cramer法则,6行列式按行(列)展开,第二章行列式,一、k级子式余子式代数余子式,二、拉普拉斯(Laplace)定理,2.8拉普拉斯定理行列式乘法法则,三、行列式乘法法则,一、k级子式与余子式、代数余子式,定义,在一个n级行列式D中任意选定k行k列,按照原来次序组成一个k级行列式M,称为行列,(),位于这些行和列的交叉点上的个元素,式D的一个k级子式;@#@在D中划去这k行k列后,式,称为k级子式M的余子式;@#@,余下的元素按照原来的次序组成的级行列,若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是,,则在M的余子式前,余子式,记为.,注:
@#@,k级子式不是唯一的.,(任一n级行列式有个k级子式),时,D本身为一个n级子式,二、拉普拉斯(Laplace)定理,引理,行列式D的任一子式M与它的代数余子式,A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中,的一项,而且符号也一致,Laplace定理,由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的,设在行列式D中任意取k()行,,代数余子式的乘积和等于D即,若D中取定k行后,由这k行得到的k级子式,则.,时,,即为行列式D按某行展开;@#@,注:
@#@,为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果,例1:
@#@计算行列式,解:
@#@,它们的代数余子式为,三、行列式乘法法则,设有两个n级行列式,其中,则,证:
@#@,作一个2n级的行列式,由拉普拉斯定理,又对D作初等行变换:
@#@,可得,这里,从而,例2:
@#@证明齐次性方程组,只有零解其中不全为0,证:
@#@,系数行列式,由不全为0,有,即,故方程组只有零解,
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