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(1)t1
x1)c2v
(t2?
2x2)t2
c
t1?
0由题意t2
则t2?
故v?
c
2
(x2?
x1)c2
t2?
t1c
1.5?
108m?
s?
1
x2?
x12
(x1?
vt1),x2?
(x2?
vt2)
(2)由洛仑兹变换x1
x1?
5.2?
10m代入数值,x2
5-7一门宽为a,今有一固有长度l0(l0>a)的水平细杆,在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门,则该杆相对于
门的运动速率u至少为多少?
门外观测者测得杆长为运动长度,l?
l0?
(),当l?
a时,可认为能被拉进门,
uc
则
l?
a
解得杆的运动速率至少为:
u?
c?
(
a2
)l0
5-8在s系中有一静止的正方形,其面积为100m,观察者s?
以0.8c的速度沿正方形的对角线运动,s?
测得的该面积是多少?
解设正方形在s系中每边长为l,
,因为相对运动,沿着运动方向的对角线缩短,垂直于运动方向的对角线长度不变。
固在s?
系观测的面积为
s?
l2?
60m2
5-9观测者a测得与他相对静止的x-y平面上某圆面积为12cm,另一观察者b相对于a以0.8c的速率平行于x-y平面做匀速圆周运动,则b测得这一图形的面积是多少?
(答案:
7.2cm2)
将静系s固联于观测者a所在的xoy平面,动系s?
固联于观测者b上,在观测的时刻t,令s和s?
系的x(x?
)重合。
则在动系上观测,圆的直径在运动方向收缩,在垂直于运动方向的直径不变,因此,观测者a观测的圆,b测得为一椭圆。
该椭圆的长轴为
a?
d/2
13
短轴为
b?
d
210
面积为s?
ab?
(d/2)?
由题意?
()?
12?
10由此得到s?
33
d?
d21020
d
2?
4
d2?
4?
10?
7.2?
4m2?
7.2(cm)22020
5-10一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行.如果宇航员希望把这路程缩短为3光
年,则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
因为
l
3?
3
5
∴v?
94c?
c255
8
8
5-11某种介子静止时的寿命是10s。
如它在实验室中的速率为2?
10s,在它的一生中能飞行多少米?
解:
介子静止时的寿命是固有时间,由于它相对于实验室运动,从而实验室观测的寿命是非固有时间。
在实验室观测的介子寿命为:
1.342s?
所以介子一生中能飞行距离为:
2.68m
5-12两个惯性系中的观察者o和o?
以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近,如果o测得两者的初始距离是20m,则o?
测得两者经过多少时间相遇?
解o?
测得的是固有时间?
,o测得相遇时间为?
t,又
所以o?
测得的固有时间?
为
l020?
v0.6c
l0?
2
∴?
v
t
20?
0.8
8.89?
8s,
0.6c
此题也可用长度收缩效应来解。
o测得长度为固有长度,o?
测得长度为非固有长度,设用l表示,则
l?
0.8l0,
由?
l有v
0.8l00.8?
20?
10s8
0.6c0.6?
3.0?
10
5-13一米尺静止在s系中,长度为l0,并与x轴成30角。
若在s系中测得该米尺与x轴成45角,则s相对于s系的速度为多大?
s系中测得该米尺的长度是多少?
在s中观察,米尺在运动方向(x轴方向)长度收缩,在y轴方向长度不变,因此
lx?
l0cos300
ly?
l0y?
l0sin30由题意:
lylx
tg450
0所以tg
450
解之得s相对于s系的速度为:
u=0.816cu?
0.816c(m/s)s系中测得该米尺的长度为:
0.707l0m
5-14
(1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c,须对它作多少功?
(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c,又须对它作多少功?
(1)对电子作的功,等于电子动能的增量,得
ek?
0?
mc2?
m0c2?
m0c2(?
1)?
m0c21)
9.1?
31?
(3?
108)2(
0.1
1)
4.12?
16j=2.57?
103ev
(2)同理
(m2c2?
m0c2)?
(m1c2?
m0c2)?
ek
21
m2c2?
m1c2?
m0c2(
222
11?
vc
212
))
32?
1016(
0.9
)
5.14?
14j?
3.21?
105ev
5-15两飞船,在自己的静止参考系中侧的各自的长度均为l0m,飞船甲上仪器测得飞船甲的前端驶完飞船乙的全长需?
ts,求两飞船的相对运动速度。
l0m是固有长度,
解由运动的相对性可知,乙船全长驶过甲船前端所需要时间为?
ts,由甲船上来观测,乙船的长度收缩为l?
l,u即为两飞船的相对运动速度,由题
意有:
u2
所以l(1?
2)?
u2?
t2
20
由此得到:
5-16一物体的速度使其质量增加了10%,试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?
设静止质量为m0,运动质量为m,由题设
m?
m0
0.10m0
m0?
而m?
由此二式得
1?
0.10
【篇二:
(2)说明x=0时波动方程的意义,并作图表示.[解答(]1)与标准波动方程y?
acos(?
x
且传播方向为x轴正方向.
(2)当x=0时波动方程就成为该处质点的振动方程:
-2-2
[解答]
(1)简谐波的波动方程为:
y?
acos[?
(t?
即y?
0.03cos[4?
)(m).试求:
(1)简谐波的波动方程;
(2)x
x?
xa
)?
];
u
0.05?
5.3已知平面波波源的振动表达式为y0?
6.0?
10sin
t(m).求距波源5m处质点
[解答]振动方程为:
-1
x
(t?
)?
0.06sin(?
5?
),2u24
(1)此平面波的波动方程;
y?
0.03cos[50?
(2)与波源相距x=0.01m处质点的振动方程为:
5.5一列简谐波沿x轴正向传播,在t1=0s,t2=0.25s时刻的波形如图所示.试求:
(1)p点的振动表达式;
(2)波动方程;
(3)画出o点的振动曲线.
[解答]
(1)设p点的振动方程为
xp?
0.2cos[2?
]
0.2cos(2?
(3)在x=0处的振动方程为
(1)写出该波的波动方程;
[解答]
(1)设此波的波动方程为:
tx
acos[2?
],
t?
acos(2?
10?
).32
当t=t/4时的波形方程为:
asin(2?
).?
2?
tx?
).t?
tt?
acos2?
,tt
ya?
);
t2
t
yb?
).
波线上a和b两点的位相差
tx与标准方程y?
]比较
,
当k=0时的波峰离原点最近,最近为:
x=0.4(m).
取同一整数k值,波峰的位置不同.当k=-8时的波峰离原点最近,最近为x=0.4m.
(2)写出波的表达式;
(3)画出t=1s时刻的波形曲线.
(1)设x=0处的质点的振动方程为
图5.8
在0时刻的曲线上作一切线,可知该时刻的速度小于零,因此
(2)波的表达式为:
cos[(t?
x)?
].
23
(3)t=1s时刻的波形方程为
5?
cos(x?
),
26
波形曲线如图所示.
[解答]设波动方程为:
(那么a和b两点的振动方程分别为:
],t?
tt
xa
xb
],)?
].xb
两点之间的位相差为:
6
(1)如以a点为坐标原点,写出波动方程;
(2)如以距a点5m处的b点为坐标原点,写出波动方程;
(3)写出传播方向上b,c,d点的振动方程.[解答]
(1)以a点为坐标原点,波动方程为图5.10
xy?
3cos4?
3cos(4?
u5
(2)以b点为坐标原点,波动方程为
).u5
(3)以a点为坐标原点,则xb=-5m、xc=-13m、xd=9m,各点的振动方程为
),ux3?
yc?
c)?
u5x9?
yd?
d)?
[注意]以b点为坐标原点,求出各点坐标,也能求出各点的振动方程.
(1)该波的平均能流密度;
1
i
=93.4(db).i0
[解答]取声速的方向为正,多谱勒频率公式可统一表示为
u?
ub
s,u?
us
其中vs表示声源的频率,u表示声速,ub表示观察者的速度,us表示声源的速度,vb表示观察者接收的频率.
u330
600=660(hz).u?
us330?
30u330
600=550(hz).u?
30u?
ub330?
600=680(hz).u?
600=533(hz).u?
30
[注意]这类题目涉及声速、声源的速度和观察者的速度,规定方向之后将公式统一起来,很容易判别速度方向,给计算带来了方便.
(1)声源在空气中发出的声音的波长;
(2)反射回的声音的频率和波长.
=(331+30)/1080=0.3343(m).
(2)反射面接收到的频率为
ub331?
65
1080u?
331?
=1421(hz).
u331?
1`?
1421=1768(hz).
【篇三:
大学物理第5章习题解答】
>
5-1一远洋货轮,质量为m?
104t,浮在水面对其水平截面积为s?
103m2。
设在水面附近货轮的截面积与货轮高度无关,试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动,并求其自由振动的周期。
取固定坐标xoy,坐标原点o在水面上(图题所示)
合力f?
mg?
g(a?
y)?
gy.又f?
ma?
m
dydt
22
习题5-1图
故m
gy?
gm
故作简谐振动?
g
ms?
34
9.8
6.35(s)
5-2重物a的质量m=1kg,放在倾角?
30的光滑斜面上,并用绳跨过定滑轮与劲度系数
k?
49n?
的轻弹簧连接,如习题5-2图所示,将物体由弹簧未形变的位置静止释放,
并开始计时,试求:
(1)不计滑轮质量,物体a的运动方程;
(2)滑轮为质量m,半轻r的均质圆盘,物体a的运动方程。
取物体a为研究对象,建立坐标ox轴沿斜面向下,原点取在平衡位置处,即在初始位置斜下方距离l0处,此时:
mgsin?
k
0.1(m)
(1)
(1)a物体共受三力;
重mg,支持力n,张力t.不计滑轮质量时,有t=kx
列出a在任一位置x处的牛顿方程式
mgsin?
k(l0?
dxdt
将
(1)式代入上式,整理后得
km
故物体a的运动是简谐振动,且?
7(rad/s)
x0?
0.1m
求得?
故物体a的运动方程为由初始条件?
v?
(2)当考虑滑轮质量时,两段绳子中张力数值不等,如图所示,分别为t1、t2,则对a列出任一位置x处的牛顿方程式为:
(2)出
转
动
方
对滑轮列程为:
习题5-2图
1dx?
(3)t1r?
t2r?
j?
mr?
mr2
2dt?
r
式中,t2=k(l0+x)(4)由式(3)、(4)知t1?
12mdxdt
代入
(2)式知
dx
m?
dt
又由
(1)式知mgsin?
kl0
12
故(m?
m)
kx?
即
dx
m2
km2?
可见,物体a仍作简谐振动,此时圆频率为:
5.7(rad/s)
由于初始条件:
l0,v0?
可知,a、?
不变,故物体a的运动方程为:
0.1cos(5.7t?
)m
由以上可知:
弹簧在斜面上的运动,仍为简谐振动,但平衡位置发生了变化,滑轮的质量改变了系统的振动频率.
5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示,试根据图得出该质点的振动表达式。
简谐振动的振动表达式:
)
由题图可知,a?
2m,当t=0时,将x?
2m代入简谐振动表达式,得:
cos?
asin(?
),当t=0时,?
asin?
由图可知,?
0,即sin?
0,故由cos?
又因:
t=1s时,x?
10得
取?
习题5-3图
m,将其入代简谐振动表达式,
4cos?
由t=1s时,?
?
,?
0知,sin?
0,取?
333?
3?
3s
即?
质点作简谐振动的振动表达式为
3
5-4在一个电量为q,半径为r的均匀带电球中,沿某一直径挖一条隧道,另一质量为m
,
电量为-q的微粒在这个隧道中运动,试求证该微粒的运动是简谐振动,并求出振动周期(设带电球体介电常数为?
0)。
以该球的球心为原点,假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为r,由高斯定理可
知e?
qr4?
0r
则微粒在此处受电场力为:
f?
qq4?
式中,负号表明电场f的方向与r的正方向相反,指向球心.由上式及牛顿定律,得:
f?
r?
drdt
0rm
m
0mr
令?
r?
故微粒作简谐振动,平衡点在球心处.由t?
4?
0mrqq
知:
5-5如习题5-5图所示,有一轻质弹簧,其劲度系数k=500n?
,上端固定,下端悬挂一
质量m=4.0kg的物体a,在物体a的正下方h=0.6m处,以初速度v01?
4.0m?
s的速度向
上抛出一质量m=1.0kg的油灰团b,击中a并附着于a上。
(1)证明a与b作简谐振动;
(2)写出它们共同作简谐振动的振动表达式;
(3)弹簧所受的最大拉力是多少?
(取g?
10m?
s于o点)
(1)取弹簧原长所在位置为o?
点.当弹簧挂上物体a时,处于静止位置p点,有:
mg?
ko?
p
/
,弹簧未挂重物时,其下端端点位
将a与b粘合后,挂在弹簧下端,静止平衡所在位置o点,取o点为原坐标原点如图题5-5所示,则有:
o?
(m?
m)g
设当b与a粘在一起后,在其运动过程的任一位置,弹簧形变量oo?
x,则a、b系统所受合力为:
m)g?
k(o?
kx
即(m?
m)可见a与b作简谐和振动.
(2)由上式知,?
km?
10(rad/s)
以b与a相碰点为计时起点,此时a与b在p点,由图题5-5可知
op?
p?
mk
g?
mgk
mgk
习题5.5图
则t=0时,x0?
op?
0.02m(负号表p点在o点上方)
又b与a为非弹性碰撞,碰撞前b的速度为:
0101?
2gh?
2m/s
碰撞后,a、b的共同速度为:
0.02m
则t=0时,?
0.4m/s?
01m?
0.4m/s(方向向上)
可求得:
0.0447(m)
arctan?
0.65?
可知a与b振动系统的振动表达式为:
0.0447cos(10t?
)m(3)弹簧所受的最大拉力,应是弹簧最大形变时的弹力,最大形变为:
0.1447m
则最大拉力fmax?
k?
72.4n
5-6一物体竖直悬挂在劲度系数k的弹簧上简谐振动,设振幅a=0.24m,周期t=4.0s,开始时在平衡位置下方0.12m处向上运动。
求:
(1)物体作简谐振动的振动表达式
;
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- 大学物理 第五 答案