高中数学必修5知识点总结史上最全版.docx
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高中数学必修5知识点总结史上最全版
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咼中数学必修5知识点
三角形三角关系:
A+B+C=180
三角形三边关系*a+b>c;a-b 三角形中的基本关系: sin(A 第一章 ;C=180-(A+B); B)sinCtcos(A 解三角形 B) cosC,tan(AB) tanC, sincos,cos 22 4、正弦定理: 在- tan 2 接圆的半径,则有 sin 2 C中,壬_u、角 bc cot 2 2 c的对边,R为 C的外 sinsin sinC 5、正弦定理的变形公式: ①化角为边: 8 2Rsin b2Rsin ②化边为角: sin a sin 2R : sin : sinC;④ c2RsinC 2R sin 6、两类正弦定理解三角形的问题: 1已知两角和任意一边,求其他的两边及一角 2已知两角和其中一边的对角,求其他边角 注意解的情况(一解、两解、三解) sinC sin 2R sinCsinsin sinC .(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要 7、余弦定理: 在 C中, 2cos be 2222COS bacac b b 2 a 8S余定的论 弦理推・• (余弦定理主要解决的问题: 1•已知两边和夹角, 求其余的量。 2.已矢| 9、余弦定理主要解决的问题: ①已知两边和夹角,求其余的量。 ②已知三i 10、如何判断三角形的形状: 判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边 成边的形式或角的形式设Jb、c是 C的角 的对边, 90°;②若J ③若2 注: 正余弦定理的综合应用: 如图所示: 隔河看两目标 ZBCD=45f ZADC=30 °.ZADB=453A、B、C.D在同一平面内),求两目标A.B之间的距离。 (4题解答过程略)- 11、三角形面积公式: 12.三角形的四心: 垂心一一三角形的三边上的高相交于一点 重心一一三角形三条中线的相交于一点(重心到顶点距离与到对边距离之比为2: 1) 外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点(外心到三顶点距离相等) 内心一一三角形三内角的平分线相交于一点(内心到三边距离相等) 13、请同学仆』自躺俐的固弓角函卿I】诱导公式及辅助角公式(和差角、倍角等)。 0* 30° 455 90。 120c 135° 15Cd ISO' 270° 360® “的! M度 0 X 6 T 4 JR 3 3 4 5x 6 T sina 0 1 2 返 返 ■ 1 1 2 0 -1 0 COSa 1 L03 y 1 0 1 *«■» 2 -1 0 1 tana 0 L J? 3 1 •品 -1 J7 3 0 0 第二章数列 1、数列: 按照一定顺序排列着的一列数• 2、数列的项: 数列中的每一个数• 3、有穷数列: 项数有限的数列• 4、无穷数列: 项数无限的数列• 5、递增数列: 从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列(即: an+1>an). 6、递减数列: 从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列(即: a肿R. 7、常数列: 各项相等的数列(即.•an+i=aj■ 8、摆动数列: 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列• 9、数列的通项公式: 表示数列a的第n项与序号n之间的关系的公式. n 10、数列的递推公式: 表示任一项a与它的前一项a(或前几项)间的关系的公式 11、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称 等差数列有以下三种方法: d(n2d为常数)②2%anqanq(n2)③%knb(r\k为常数 14、通项公式的变形: Cl) r~m2a na 叭若a是等差数列,且若an是等差数列,且2n 他等差数列的前n项和的公式: ① Sa SSnd—萤— 偶奇, Sa偶 s奇 na 1 s n 偶 n q(注: ①等比数列中不 为等比数列,这个常数称为等比数列的公比•符号表示: 会出现值为o的项;②同号位上的值同号) 注: 看数列是不是等比数列有以下四种方法: 2 ①ananiq(n2,q为常数且0)②11 aa(n2,巧劣丨务〔0) nn 3%cq(lq为非零常数). 4正数列{£}成等比的充要条件是数列{logxan}(x1)成等比数列. 19、在a与b中间插入一个数G,使jG,b成等比数列,贝IJG称为a与b的等比中项.若 G ab,则称G为a与 b的等比中项• (注: 由 由a 2 G,b 1,G ab) 20、 若等比数列a的首项是「公比是q,则 n1 nm 21、 通项公式的变形: ① aaq ;② nm a qr \mn・ a m 22、 若a是等比数列, n 且mnp q(m、n、 若 a是等比数列,且 2npq(n、 p、 Gab不能得出a,G,b成等比, n1 aaq・ n1 n S;④ aaq;③ q1 1n a 1 p、 q),则… mn aa; pq 2 q ). ,贝9aaa・ 23、等比数列a的前n项和的公式: ① s aqn aaq •② n n q1 1 1 1 n 1q 1q 24、对任意的数列{ (2) a}的前n项和S“与通项%的关系: [注]: ①ana.n1dnda.d(d可迦零也可不为零一为等差数列充要条件(即常 可以为零也可不为零一为等差 2 的充要条件一若d为零,则是等差数列的充分条件;若d不为零,则是等差数列的充分条件 ③非•零•常数列既可为等比数列,也可为等差数列•(不是非零,即不可能有等比数列)附: 几种常见的数列的思想方法: 1•等差数列的前n项和为S,在d0时,有最大值.如何确定使D取最大值时的n值,有 j-rqlx d d利用—次函数的性质求 疋求便知0; 10,成乂的n值/一疋由 a龙二Q]+(刃-l)d=h+(dj一禺)n n 1 2 n的值. 2数列通项公式、 n-1金1刀 %=a\q=——Q 求和公式与函数屜关系如下: y= d今 数列 通项公式对应函数 等差数列 n(n-1),d2孑d、 內=沁1+2吐=J+⑷一2“ ”加严阿次函数) I1 等比数列 1-纟1-? 1-0 y=aqK+b (指数型函数) 两种方法: 数列 前n项和公式 对应函数 于n的函数,为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。 n的一次函数, )三点共线, 分析: 因为是等差数列,所以是关于 —次函数图像是一条直线,则(n,m),(m,n),(m+n, n-m 所以利用每两点形成直线斜率相等,即m+-m,得。 朋衲=o(图像如上),这 里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系,并结合图像,直观、简洁。 例题: 2、等差数列中,円=2? 前n项和为氷若旳=引,.为何值时令最大? d2 分析: 等差数列前n项和f可以看成关于n的二次函数汎2 /\_F+(a[-_)k ⑷勺丿是抛物线」皿丿=2-上的离散点,根据题意, 则因为欲求1”最大值,故其对应二次函数图像开口向下,并且对称轴为即当«=13时,心最大。 例题: 3递增数列bJ,对任意正整数n,址"'+血恒成立,求几 分析: 『构造—次函数由数列递增得到: G■务>°对于—切处犷恒成立, gp2«+14-2>0恒成立,所以几>-(2力+1)对—切»ey*恒成立,*S)=+1) 则只需求出的最大值即可,显然有最大值~3,所以几的取值范围是: 2°构造二次函数,务二"+加看成函数=+,它的定义域是 沪},因为是递增数列,即函数斗'h为递增函数,单调增区间为 二-3 卩'*°),抛物线对称轴2,因为函数f(x)为离散函数,要函数单调递增,就看动轴与 已知区间的位置。 从对应图像上看,对称轴 A3 ——<— 为此时B点比A点高。 于是,Z",得 4•如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积 求此数列前n项和可依 1 照等比数列前n项和的推倒导方法: 错位相减求和.例如: 一 11 ! ••• 1<3 2 I,…(2n1) n 4 2 5-两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差d]jd的最小公倍数. 6.判断和证明数列是等塞T等比)数列常有三种方法: ⑴定义法: 对于nA2的任意自然 务*2)nN者$成立。 a<0,d>0时,满 含绝对值的数列最值题时,注意转化思想的应用。 附: 数列求和的常用方法 2裂项相消法: 适用于其中{a}是各项芜o的等差数列,c为常数部分无理 数列、含阶乘的数列等。 例题: 已知数列2J的通项为an=,求这个数列的前n项和S. n(n1) 解: 观察后現an= 1 11 1 1 (1) () () 2 23 nn n1 3•错位相减法: 适用于anbn其中{%}是等差数列,bn是各项希0的等比数列。 n s 例题: 已知数列2d的通项公式为an2,求这个数列的前n项之和n° n 解: 由题设得: 把①式两边同乘 2后得 2 2s=1222 用①•②,即: 2sn= 2(1 (1n)2 s(n1)2 5•常用结论 1): 1+2+3+...+n= n(n 1) 1+3+5+...+(2n-1)= 1) 5) n(n 4) (% n q pqqPPq ※附加: 重点归纳 等差数列和等比数列(表中m,n,p,qN) kab是等差数列 ba是等比数列( 单调性 d0,常数列 q1为常数列;q0为摆动数列 2 2 yaxbxc yaxbxc \jy/ — I2 \1 \/ yax/bxc a(xixi)(xxo) \/ 二次函数 V: {「 \/ V °XI 2 ybxc ox■二xaz ax 1 但0)的图象 丿——了入八 有两相异实根 有甲相等实根 2 bx J b无实根 ax c *,X2(X[X X 0 v2)1 22a a…・ 的根 2 bxc0 b ax XXx,或XX XX R 0) 2 2a bxc0 0)的解集 1•—元二次不等式先化标准形式(a化正)2•常用因式分解法、求根公式法求解一 元二次不等式。 V 口诀: 在二次项系数为正的前提下: “大于取两边,小于取中间” 三、均值不等式 厂——厂…“ 1、设8、b是两个正数,贝IJ称为正数8、b的算术平均数,3b称为正数8、b的 2 几何平均数• 2、基本不等式(也称均值不等式): 章弋。 均值不等式: 如藁亦至正数,那么 ab__ 9b2ab即甜(当且仅当ab时取…号). 2 注意: 使用均值不等式的条件: 一正、二定、三相等 3、平均不等式: a、b为正数),即 2 (当泸b时取等) 4、常用的基本不等式: ①222 ab abab 2 22 ③ ab ab ab a 2 0,b0;④ 2 R;② 2 ab abafbR 2 ab a,bR. 2 5、极值定理: 役、y都为正数,则有: ⑴若xy S(和为定值),则骂 y时,积xy取得最大值 2 —•⑵若xyp(积为定 4 值),则骂 y时,和xy取得最小值2p.厂 四、含有绝对值的不等式 1•纟色对值的几意义: |X|是指数轴上点X到原点的距离; |xx|是指数轴上X),X2两点 12 间的距离 ;代数意义: aa0 |a|0a0 aa0 2、如果乞 、0,则不等式: Ix|ax a或xa;Ix|a Xa或xa |x|aa xa;|x|a axa 4、解含有绝对值不等式的主要方法: 解含绝对值的不等式的基本思走捱險瞬 五、其他常见不等式形式籍 1分式不等式的解法: 先移项通分标准化,则 f).fX)f)t» (X): 'J。 (xg x(X)g(g(x) g(x)o o g( 2指数不等式: 转化为代数不等式 af(X)aafxgxt()a9(x)afxgx g(x)x (1)()();a(01)()() 3对数不等式: 转化为代数不等式 f(x)0 logf(x)logg(x)(a1)g(x)0 aa f(x)g(x) o logf(x)logag(x)(0a1)g(x)0 a f(x)g(x) 六、不等式证明的常用方法: 作差法、作商法 1的不等式 x和y的取值构成有序数对 七、线性规划 1、二元一次不等式: 含有两个未知数,并且未知数的次数是 2、二元一次不等式组: 由几个二元一次不等式组成的不等式组• 3、二元一次不等式(组)的解集: 满足二元一次不等式组的 x,y,所有这样的有序数对 x,y构成的集合. 4、在平面直角坐标系中, 已知直线X y C0, 坐标平面内的点xy ①若0,x0y0 C0,则点 by。 在直线 0»0 xyco的上方• ②若0,x0y0 C0,则点 by。 在直线 xyco的下方• 5、在平面直角坐标系中, 已知直线x y C0. (—)由B确定: ①若0,则xy C0表示直线 X yc o上方的区域;XyC C 0表 xy 示直线 0上方的区域• (三)确定不等式组所表示区域的步骤: 1画线: 画出不等式所对应的方程所表示的直线 2定测: 由上面 (一) (二)来确定 3求交: 取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。 2xy50 例题: 画出不等式组y3x5 所表示的平面区域。 2yx50 x,y的线性约束条 6、线性约束条件: 由x,y的不等式(或方程)组成的不等式组,是 件. 目标函数: 欲达到最大值或最小值所涉及的变量X,y的解析式. 线性目标函数: 目标函数为x,y的一次解析式. 线性规划问题: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题• 可行解: 满足线性约束条件的解x.y• 可行域: 所有可行解组成的集合• 最优解: 使目标函数取得最大值或最小值的可行解• 附加: 1二元一次不等式(组)表示的平面区域 直线l: AxByC0(或0): 直线定界,特殊点定域。 注意: AxByC0(或0)不包括边界;AxByC0(0)包括边界 2.线性规划 我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。 解决这类问题的基本步骤是: 注意: 仁线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得; 2.线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数个。
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