排列数与组合数的性质与运算.docx
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排列数与组合数的性质与运算
第92课时排列数与组合数的性质与运算
【教学目标】
1理解排列与组合数的概念;
2•能将排列与组合实际问题按排列的定义进行抽象,运用框图进行概括;
3•能运用乘法原理推导排列与组合公式;
4•掌握排列与组合数公式,运用排列与组合公式解决简单的排列问题。
【教学重点】理解排列与组合的概念及排列与组合公式的推导与运用。
【教学难点】能用排列与组合的定义正确地鉴定实际问题是否为排列与组合问题。
【教学过程】
一.知识整理
1.排列数定义:
从n个不同元素中,每次取出m(mn)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号Pnm表示;当m=n时,叫做n个元素的全排列数,用符号P;表示,也可以用符号Pn表示。
2.排列数公式:
pmn(n1)(n2)(nm1)(其中n,mN且mn)
注意:
从公式的特点分析,右边第一个因数最大n,后面的每次因数都比它前面一个因
数少1(递减),最后一个因数为n-m+1,共有m个因数(连续自然数)相乘。
(公式的特征)
(1)全排列数:
Pnn(n1)(n2)321n!
(n个连续的自然数的乘积,常用记号n!
表示,读作n阶乘)。
(2)排列数公式:
(解决了一般性的计算问题,介绍计算器的使用)
nI
pn"—(规定:
o!
=1)
(nm)!
说明:
排列数有二个公式:
m个数
Pnmn(n1)(n2)(nm1)常用于计算。
n|
pn—常用于有关恒等式证明,解方程时。
(nm)!
3.组合数的公式:
(1)组合数的概念:
从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数•用符号CT表示.
(2)组合数公式的推导:
cm
pt
n(n1)(n2)(nm1)或
n!
m!
(nm)!
(n,m
N,且mn)”
(3)组合数的性质
①Cnn=C1n-m
2c;1cncs
3rCnr=n•Gr-1
4G°+G1+…+Gn=2n
5G°-Cn1+…+(-1)nGn=0
0—2—4_1_3n-1
即Cn+G+G+・・・=G+C+…=2
•例题精析
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,中档题,解决问题能力
【题目】解方程:
C131c!
3x3;
【解答】由原方程得x12x3或x12x313,二x4或x5,
1x113
又由12x313得2x8且xN••原方程的解为x4或x5•
xN
上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x4和x5代入检验,这样运算量小得
多。
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,证明题,中档题,逻辑推理能力。
【题目】求证:
PnmmPnm1Pnm1。
【解答】
mm1
证一:
PnmFn
n(n1)
(nm1)mn(n1)(nm11)
n(n1)(nm2)[(nm1)m]
(n1)n(n1)
(n1m1)
mm1
证一:
PnmR
n!
(nm)!
mn!
(nm1)!
(n
n!
m)!
[1
n!
n1(n1)!
(nm)!
nm1(n1m)!
Pnm1.
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,中档题,分析问题能力。
【题目】从5个男生和4个女生中选出4名学生参加一次会议,要求至少有2名男生和1
名女生参加,有多少种选法
【解答】问题可以分成2类:
第一类2名男生和2名女生参加,有C:
C:
60中选法;
第二类3名男生和1名女生参加,有Cfc440中选法*
依据分类计数原理,共有100种选法+
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,难题,分析问题与解决问题能力,逻辑思维能力。
【题目】设an=1+q+q+…+q(n€N,q工±1),An=Ga1+Ga2+…+Gan
An
2n
(1)求An(用n和q表示)
(2)当-3<9<1,且qz-1时,求lim
n
【解答】
(1)
1
an=
1
A=^[Cn1(1-q)+Cn2(1-q2)+…+Gn(1-qn)]
1q
|1+C』+…+Cn【(CJq+c/q+…+Cq)]
1
—[(2
1q
-1)-(1+q)
n
+1]=
”+q)1
An
n
(2)lim
2n1
limJ
n
亠]
2
•/-3
2
.lim纬=丄
2n1q
三•课堂反馈
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,选择题,易题,分析能力
【题目】式子C常2G?
m(mN)的值的个数为()
A•1B•2C•3D•4
【解答】A
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,填空题,易题,分析能力
【题目】化简:
cm需1cm•
【解答】o
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,填空题,易题,分析能力
【题目】从6个同学中,挑选3人分别担任正组长,副组长和干事,问共有种不同的选法.
【解答】P3654120
【题目】要安排五名工人分别当车工、钳工、刨工、铳工和油漆工,已知工人甲不能当钳
工和油漆工,问共有多少种安排工作的方法
【解答】P3P43432172(种)
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,中档题,计算能力
【题目】若直线方程Ax+By=O的系数AB、C可以0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示的不同直线有多少条
【解答】氏222
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,难题,分析能力
【题目】4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组,问组成方法
共有多少种
【解答】解法一:
(直接法)小组构成有三种情形:
3男,2男1女,1男2女,分别有C:
C:
C6,
C4C6,所以,一共有cj+c:
C6+C4C6=100种方法.
解法二:
(间接法)C30c3100+
4.课堂小结(课堂小结主要为方法总结及解题注意事项)
1.条件限制的排列与组合问题,这里所说的限制表现为:
某个位置上不能排某个元素,或某个元素只能排在某个位置上,及某些元素和位置具有特殊的要求。
2.解决实际问题时首先要看是否与顺序有关,从而确定是排列问题还是组合问题,必要时要利用分类和分步计数原理・
(1)确定该题是否是排列、还是组合问题;
(2)正确地找出元素n,位置m
(3)准确地运用乘法还是加法原理。
5.课后作业
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,填空题,中档题,分析能力
【题目】若C;,则C;。
的值为
【解答】190
【题目】某段铁路上有12个车站,共需要准备多少种普通客票
【解答】如何确定一张车票起点与终点,相当于框图中的两个位置。
需要准备的车票的种数就是从12个车站中任取2个的排列数,即:
P21211132(种)。
答:
共需要准备132种普通客票。
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,填空题,中档题,分析能力
【题目】10个人走进放有一排6把椅子的屋子,若每把椅子必须且只能坐1人,
问有种不同的坐法
【解答】
因为问题实际上就是从10个人中任取6个人的排列数,即:
r61098765151200(种)。
答:
有151200种不同的坐法。
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,中档题,计算能力
【题目】计算c52的值。
【解答】C15C52c;8C54181716竺空2247
32121
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,易题,逻辑思维能力。
【题目】在1,2,3,…,8,9这9个不同数字中,任意取3个不同数字构成一个三位数,问共有多少个不同的三位数
【解答】P93987504,答:
共有504个不同的三位数。
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算,解答题,中档题,分析能力
【题目】有6位团员坐成一排照相,6个座位平均分成两排,若甲、乙不能在同一排,有多少种不同的坐法
【解答】甲随意坐,P1;乙另一排选一座位,P31,因此p6P3P4432。
【题目】解方程:
c:
2
X3
Cx2
10PX3
【解答】原方程可化为c:
;
3职3,
(X3)!
5!
(x2)!
(x3)!
10x!
1
1
120(x2)!
10x(x1)(x2)!
'
135
10Px33,即CX
证明题,中档题,分析问题
二x2x120,解得x4或x3,
Cm
Cm
经检验:
x4是原方程的解
【题目】求证:
C;
C;
C:
cm1c21
mm1
【解答】
左边
C0
C;
C3
C:
Cm1C0
c3
C3
C;
m1
Cm
C;
C:
C:
m1
Cm
C0
【属性】高三复习,排列数与组合数的性质与运算
m2
m1
m1
Cm1
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- 排列 组合 性质 运算