安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)有答案.doc
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2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.i为虚数单位,若复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,则实数m=( )
A.1 B.﹣1 C. D.2
2.已知A=[1,+∞),,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B. C. D.(1,+∞)
3.已知变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x﹣2y的最小值为( )
A.﹣1 B.1 C.3 D.7
4.若输入n=4,执行如图所示的程序框图,输出的s=( )
A.10 B.16 C.20 D.35
5.若中心在原点,焦点在y轴上的双曲线离心率为,则此双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B. C. D.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,S6=3,则S10=( )
A. B.0 C.﹣10 D.﹣15
7.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C.28 D.
8.对函数f(x),如果存在x0≠0使得f(x0)=﹣f(﹣x0),则称(x0,f(x0))与(﹣x0,f(﹣x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=ex﹣a(e为自然数的底数)存在奇对称点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,1) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D.[1,+∞)
9.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条
10.已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则Eξ=( )
A.3 B. C. D.4
11.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,若,则b2+c2的取值范围是( )
A.(5,6] B.(3,5) C.(3,6] D.[5,6]
12.已知函数f(x)=xlnx﹣aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A. B.(0,e) C. D.(﹣∞,e)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.等比数列{an}满足an>0,且a2a8=4,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9= .
14.不共线向量,满足,且,则与的夹角为 .
15.在的展开式中,常数项为 .
16.已知关于x的方程(t+1)cosx﹣tsinx=t+2在(0,π)上有实根.则实数t的最大值是 .
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知,,函数f(x)=.
(Ⅰ)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(Ⅱ)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1﹣x2)的值.
18.某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程,为确保工作的顺利实施,先按性别进行分层抽样,抽取了180名学生对社会科学类,自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有105人.在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人.
(Ⅰ)分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率,并以统计的频率作为概率,估计实际选课中选择社会科学类学生数;
(Ⅱ)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关?
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
女生
合计
附:
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.如图1,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点E为AD中点,沿BE将△ABE折起至△PBE,如图2所示,点P在面BCDE的射影O落在BE上.
(Ⅰ)求证:
BP⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
20.如图,抛物线E:
y2=2px(p>0)与圆O:
x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
21.已知f(x)=ln(x+m)﹣mx.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m>1,x1,x2为函数f(x)的两个零点,求证:
x1+x2<0.
[选修4-4:
坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)求出圆C的直角坐标方程;
(2)已知圆C与x轴相交于A,B两点,直线l:
y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l'.若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.
[选修4-5:
不等式选讲]
23.已知函数.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若当x∈[0,1]时,不等式f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.
2017年安徽省合肥市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.i为虚数单位,若复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,则实数m=( )
A.1 B.﹣1 C. D.2
【考点】复数的基本概念.
【分析】先求出(1+mi)(i+2)=2﹣m+(2m+1)i,再由复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,能求出实数m.
【解答】解:
i为虚数单位,
(1+mi)(i+2)=2﹣m+(2m+1)i,
∵复数(1+mi)(i+2)是纯虚数,
∴,
∴实数m=2.
故选:
D.
2.已知A=[1,+∞),,若A∩B≠∅,则实数a的取值范围是( )
A.[1,+∞) B. C. D.(1,+∞)
【考点】交集及其运算.
【分析】根据A与B的交集不为空集,求出a的范围即可.
【解答】解:
A=[1,+∞),,且A∩B≠∅,
∴2a﹣1≥1,
∴a≥1,
故选:
A.
3.已知变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x﹣2y的最小值为( )
A.﹣1 B.1 C.3 D.7
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.
【解答】解:
画出不等式组件,表示的可行域,由图可知,
当直线y=x﹣,过A点(3,1)时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为3﹣2×1=1.
故选:
B.
4.若输入n=4,执行如图所示的程序框图,输出的s=( )
A.10 B.16 C.20 D.35
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,i的值,当i=5时不满足条件i≤n,退出循环,输出S的值.
【解答】解:
模拟执行程序框图,可得
S=4,i=2,
满足条件i=2≤4,S=10,i=3,
满足条件i=3≤4,S=16,i=4,
满足条件i=4≤4,S=20,i=5
不满足条件i=5≤5,输出S=20,
故选:
C.
5.若中心在原点,焦点在y轴上的双曲线离心率为,则此双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±x B. C. D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的离心率可得c=a,进而结合双曲线的几何性质可得b=a,再结合焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程可得答案.
【解答】解:
根据题意,该双曲线的离心率为,即e==,
则有c=a,
进而b==a,
又由该双曲线的焦点在y轴上,则其渐近线方程为y=±x;
故选:
B.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,S6=3,则S10=( )
A. B.0 C.﹣10 D.﹣15
【考点】等差数列的前n项和.
【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出S10的值.
【解答】解:
∵等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,S6=3,
∴,
解得a1=3,d=﹣1,
∴S10=10×3+=﹣15.
故选:
D.
7.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B. C.28 D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由题意,几何体为棱台,上底面为直角边长为2的等腰直角三角形,下底面为直角边长为4的等腰直角三角形,高为2,即可求出体积.
【解答】解:
由题意,几何体为棱台,上底面为直角边长为2的等腰直角三角形,下底面为直角边长为4的等腰直角三角形,高为2,体积为=,
故选A.
8.对函数f(x),如果存在x0≠0使得f(x0)=﹣f(﹣x0),则称(x0,f(x0))与(﹣x0,f(﹣x0))为函数图象的一组奇对称点.若f(x)=ex﹣a(e为自然数的底数)存在奇对称点,则实数a的取值范围是( )
A.(﹣∞,1) B.(1,+∞) C.(e,+∞) D.[1,+∞)
【考点】函数与方程的综合运用.
【分析】由方程f(x)=﹣f(﹣x)有非零解可得e2x﹣2aex+1=0有非零解,令ex=t,则关于t的方程t2﹣2at+1=0有不等于1的正数解,利用二次函数的性质列出不等式组解出a的范围.
【解答】解:
∵f(x)=ex﹣a存在奇对称点,
∴f(x)=﹣f(﹣x)有非零解,
即ex﹣a=a﹣e﹣x有非零解,∴e2x﹣2aex+1=0有非零解.
设ex=t,则关于t的方程t2﹣2at+1=0在(0,1)∪(1,+∞)上有解;
∴,解得a≥1.
若t=1为方程t2﹣2at+1=0的解,则2﹣2a=0,即a=1,此时方程只有一解t=1,不符合题意;
∴a≠1.
综上,a>1.
故选B.
9.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.1条或2条
【考点】直线与平面平行的判定.
【分析】利用已知条件,通过直线与平面平行的性质、判定定理,证明CD∥平面EFGH,AB∥平面EFGH,得到结果.
【解答】解:
如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GF,
∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,
∴EF∥平面BCD,
∵EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,
∴EF∥CD,∴CD∥平面EFGH,
同理AB∥平面EFGH,
故选C.
10.已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测的次数为ξ,则Eξ=( )
A.3 B. C. D.4
【考点】离散型随机变量的期望与方差.
【分析】由题意知ξ的可能取值为2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出Eξ.
【解答】解:
由题意知ξ的可能取值为2,3,4,
P(ξ=2)==,
P(ξ=3)=()×=,
P(ξ=4)=1﹣P(ξ=2)﹣P(ξ=3)=1﹣=,
∴Eξ==.
故选:
C.
11.锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,若,则b2+c2的取值范围是( )
A.(5,6] B.(3,5) C.(3,6] D.[5,6]
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】由已知利用正弦定理可得b2+c2﹣a2=bc.再利用余弦定理可得cosA,进而可求A,利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得b2+c2=4+2sin(2B﹣),利用B的范围,可求2B﹣的范围,利用正弦函数的图象和性质可求其范围.
【解答】解:
∵(a﹣b)(sinA+sinB)=(c﹣b)sinC,由正弦定理可得:
(a﹣b)(a+b)=(c﹣b)c,化为b2+c2﹣a2=bc.
由余弦定理可得:
cosA===,
∴A为锐角,可得A=,
∵,
∴由正弦定理可得:
,
∴可得:
b2+c2=(2sinB)2+[2sin(﹣B)]2=3+2sin2B+sin2B=4+2sin(2B﹣),
∵B∈(,),可得:
2B﹣∈(,),
∴sin(2B﹣)∈(,1],可得:
b2+c2=4+2sin(2B﹣)∈(5,6].
故选:
A.
12.已知函数f(x)=xlnx﹣aex(e为自然对数的底数)有两个极值点,则实数a的取值范围是( )
A. B.(0,e) C. D.(﹣∞,e)
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】求出函数的导数,问题转化为y=a和g(x)=在(0,+∞)2个交点,根据函数的单调性求出g(x)的范围,从而求出a的范围即可.
【解答】解:
f′(x)=lnx﹣aex+1,
若函数f(x)=xlnx﹣aex有两个极值点,
则y=a和g(x)=在(0,+∞)有2个交点,
g′(x)=,(x>0),
令h(x)=﹣lnx﹣1,则h′(x)=﹣﹣<0,
h(x)在(0,+∞)递减,而h
(1)=0,
故x∈(0,1)时,h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)递增,
x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即g′(x)<0,g(x)递减,
故g(x)max=g
(1)=,
而x→0时,g(x)→﹣∞,x→+∞时,g(x)→0,
若y=a和g(x)在(0,+∞)有2个交点,
只需0<a<,
故选:
A.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.等比数列{an}满足an>0,且a2a8=4,则log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9= 9 .
【考点】数列的求和.
【分析】根据题意,由等比数列{an}的性质可得a1•a9=a2•a8=a3•a7=a4•a6=a52=4,同时可得a5=2,再利用对数的运算法则有log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1•a2•…•a9)=log2(29),计算即可得答案.
【解答】解:
根据题意,等比数列{an}的各项都是正数,a1•a9=a2•a8=a3•a7=a4•a6=a52=4,
则a5=2,
则log2a1+log2a2+…+log2a9=log2(a1•a2•…•a9)=log2(29)=9,
故答案为:
9.
14.不共线向量,满足,且,则与的夹角为 .
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】设与的夹角为θ,利用两个向量垂直的性质,两个向量数量积的定义,求得cosθ的值,可得θ的值.
【解答】解:
设与的夹角为θ,∵不共线向量,满足,且,则θ∈(0,π),
∴(﹣2)=﹣2=﹣2||•||cosθ=﹣2cosθ=0,∴cosθ=,∴θ=,
故答案为:
.
15.在的展开式中,常数项为 ﹣5 .
【考点】二项式定理的应用.
【分析】的展开式中的通项公式:
Tr+1=(﹣1)4﹣r(r=0,1,2,3,4).的通项公式:
Tk+1==(﹣1)kxr﹣2k,令r﹣2k=0,即r=2k.进而得出.
【解答】解:
的展开式中的通项公式:
Tr+1=(﹣1)4﹣r(r=0,1,2,3,4).
∵的通项公式:
Tk+1==(﹣1)kxr﹣2k,
令r﹣2k=0,即r=2k.
r=0,k=0;r=2,k=1;r=4,k=2.
∴常数项=1﹣×+×1=﹣5.
故答案为:
﹣5.
16.已知关于x的方程(t+1)cosx﹣tsinx=t+2在(0,π)上有实根.则实数t的最大值是 ﹣1 .
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】分离参数可得t=,利用导数判断右侧函数的单调性求出最大值即可.
【解答】解:
∵(t+1)cosx﹣tsinx=t+2,
∴t=,
令f(x)=,
则f′(x)==,
令g(x)=sinx+2cosx﹣1,则g′(x)=cosx﹣2sinx,
∴当x=arctan时,g′(x)=0,当0<x<arctan时,g′(x)>0,当arctan<x<π时,g′(x)<0,
∴g(x)在(0,arctan)上单调递增,在(arctan,π)上单调递减,
又g(0)=1,g(π)=﹣3,
∴g(x)在(0,π)上只有一个零点,又g′()=0,
∴当0<x<时,g(x)>0,当<x<π时,g(x)<0,
∴当0<x<时,f′(x)>0,当<x<π时,f′(x)<0
∴f(x)在(0,)上单调递增,在(,0)上单调递减,
∴当x=时,f(x)取得最大值f()=﹣1.
∴t的最大值为﹣1.
故答案为﹣1.
三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知,,函数f(x)=.
(Ⅰ)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;
(Ⅱ)若方程f(x)=在(0,π)上的解为x1,x2,求cos(x1﹣x2)的值.
【考点】两角和与差的余弦函数;平面向量数量积的运算.
【分析】(Ⅰ)由已知利用平面向量数量积的运算,三角函数恒等变换的应用化简可得函数解析式为f(x)=sin(2x﹣),利用正弦函数的对称性即可得解.
(Ⅱ)由条件知,且,可求,利用诱导公式即可化简求值得解.
【解答】解:
(Ⅰ)
=,
令,得,
即y=f(x)的对称轴方程为,(k∈Z).
(Ⅱ)由条件知,且,
易知(x1,f(x1))与(x2,f(x2))关于对称,则,
∴.
18.某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程,为确保工作的顺利实施,先按性别进行分层抽样,抽取了180名学生对社会科学类,自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查,其中男生有105人.在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人.
(Ⅰ)分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率,并以统计的频率作为概率,估计实际选课中选择社会科学类学生数;
(Ⅱ)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关?
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
附:
,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【考点】独立性检验.
【分析】(Ⅰ)计算抽取的男生与女生人数,根据分层抽样原理求出对应男生、女生人数;
(Ⅱ)根据统计数据,填写列联表,计算观测值,比较临界值得出结论.
【解答】解:
(Ⅰ)由条件知,抽取的男生为105人,女生为180﹣105=75人;
男生选择社会科学类的频率为,女生选择社会科学类的频率为;
由题意,男生总数为人,
女生总数为人,
所以,估计选择社会科学的人数为人;
(Ⅱ)根据统计数据,可得列联表如下:
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
计算观测值,
所以,在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.
19.如图1,矩形ABCD中,AB=1,AD=2,点E为AD中点,沿BE将△ABE折起至△PBE,如图2所示,点P在面BCDE的射影O落在BE上.
(Ⅰ)求证:
BP⊥CE;
(Ⅱ)求二面角B﹣PC﹣D的余弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质.
【分析】(Ⅰ)点P在平面BCDE的射影O落在BE上,证明CE⊥平面PBE,推出PB⊥CE.
(Ⅱ)以O为坐标原点,以过点O且平行于CD的直线为x轴,过点O且平行于BC的直线为y轴,直线PO为z轴,建立如图所示直角坐标系.求出平面PCD的法向量,平面PBC的法向量利用空间向量的数量积求解二面角B﹣PC﹣D的余弦值即可.
【解答】解:
(Ⅰ)由条件,点P在平面BCDE的射影O落在BE上,
∴平面PBE⊥平面BCDE,易知BE⊥CE,
∴CE⊥平面PBE,而BP⊂平面PBE,
∴PB⊥CE.
(Ⅱ)以O为坐标原点,以过点O且平行于CD的直线为x轴,过点O且平行于BC的直线为y轴,直线PO为z轴,建立如图所示直角坐标系.
则,,,
设平面PCD的法向量为
则,即,令,可得
设平面PBC的法向量为
则,即,令,可得∴
考虑到二面角B﹣PC﹣D为钝二面角,则二面角B﹣PC﹣D的余弦值为.
20.如图,抛物线E:
y2=2px(p>0)与圆O:
x2+y2=8相交于A,B两点,且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0,y0)作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的切线l1,l2,l1与l2相交于点M.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求动点M的轨迹方程.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程.
【分析】(Ⅰ)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),代入y2=2px,解p.
(Ⅱ)设,,y1≠0,y2≠0.切线l1:
,代入y2=2x,求出,得到l1方程为,同理l2方程为,联立直线方程组,求出M,利用CD方程为x0x+y0y=8,联立方程利用韦达定理,代入可知M(x,y)满足,求出动点M的轨迹方程.
【解答】解:
(Ⅰ)由点A的横坐标为2,可得点A的坐标为(2,2),
代入y2=2px,解得p=1,
(Ⅱ)设,,y1≠0,y2≠0.
切线l1:
,
代入y2=2x得,由△=0解得,
∴l1方程为,同理l2方程为,
联立,解得,
∵CD方程为x0x+y0y=8,其中x0,y0满足,,
联立方程得,则,
代入可知M(x,y)满足,
代入得,
考虑到,知.
∴动点M的轨迹方程为,.
21.已知f(x)=ln(x+m)﹣mx.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m>1,x1,x2为函数f(x)的两个零点,求证:
x1+x2<0.
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理.
【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)构造函数g(x)=emx﹣x,g(x)=emx﹣x与y=m图象两交点的横坐标为x1,x2,问题转化为证明令,根据函数的单调性证明即可.
【解答】解:
(Ⅰ)∵f(x)=ln(x+m)﹣mx,∴,
当m≤0时,∴,
即f(x)的单调递增区间为(﹣m,+∞),无减区间;
当m>0时,∴,
由f'(x)=0,得,
时,f'(x)>0,
时,f'(x)<0,
∴m>0时,易知f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
不妨设﹣m<x1<x2,由条件知,即,
构造函数g(x)=emx﹣x,g(x)=emx﹣x与y=m图象两交点的横坐标为x1,x2,
由g'(x)=emx
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