校级联考河南省新乡市辉县学年八年级上期末数学试题.docx
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校级联考河南省新乡市辉县学年八年级上期末数学试题
【校级联考】河南省新乡市辉县2020-2021学年八年级(上)期末数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.下列说法正确的是( )
A.﹣3是﹣9的立方根B.2的平方根是
C.(﹣1)2的平方根是±1D.
的平方根是±4
2.如图,在数轴上表示实数
的点可能是()
A.点
B.点
C.点
D.点
3.下列计算正确的是( )
A.a+a=a2B.b3•b3=2b3C.a3÷a=a2D.(a5)2=a7
4.如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图2所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是( )
A.72B.52C.80D.76
5.一个班有40名学生,在期末体育考核中,达到优秀的有18人,合格(但没达到优秀)的有17人,则这次体育考核中,不合格人数的频率是( )
A.0.125B.0.45C.0.425D.1.25
6.如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F,若AE=1,CF=3,则AB的长为( )
A.
B.10C.3D.
7.下列命题中,是假命题的是( )
A.等腰三角形是轴对称图形
B.两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等
C.有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形
D.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
8.已知
的三边长分别为
,且满足
,则
的形状为()
A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形
9.如图,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是BC边的中点,分别以B,C为圆心,大于线段BC长度一半的长为半径画圆弧,两弧在直线BC上方的交点为P,直线PD交AC于点E,连结BE,AB=5cm,△AEB的周长为18cm,则△ABC的周长是( )cm.
A.36B.23C.18D.30
二、填空题
10.因式分解:
﹣3ma2+12ma﹣12m=_____.
11.已知
是一个完全平方式,则k的值是______.
12.如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为________
13.如图,已知在△ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=6,DE=2,则△BCE的面积等于_____.
14.如图,△ABC中,∠B与∠C的平分线交于点O,过O作EF∥BC交AB、AC于E、F,若△ABC的周长比△AEF的周长大12cm,O到AB的距离为4cm,△OBC的面积_____cm2.
15.我们假设把两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形.如果Rt△ABC是奇异三角形,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,其中,a=2,那么b=_____.
三、解答题
16.
(1)计算
①(﹣2a2b2)2•(6ab)÷(﹣3b2)
②|2﹣
|﹣
+
+
③用简便方法计算:
20082﹣4016×2007+20072
(2)因式分解:
n2(m﹣2)+4(2﹣m)
17.先化简,再求值:
[(m+3n)(m﹣3n)+(2n﹣m)2+5n2(1﹣m)﹣2m2]÷mn,其中m=3,n=2.
18.如图,已知△ABC为等边三角形,点D、E分别在BC、AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:
△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
19.小明同学用四张长为x、宽为y的长方形卡片,拼出如图所示的包含两个正方形的图(任两张相邻的卡片之间没有重叠,没有空隙)
(1)图中小正方形的边长是 .
(2)通过计算小正方形面积,可推出(x+y)2,xy,(x﹣y)2三者之间的等量关系式为 .
(3)运用
(2)中的结论,当x+y=10,xy=16时,求小正方形的边长.
20.“低碳生活,绿色出行”是我们倡导的一种生活方式,有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式,绘制了如下统计图:
(1)样本中的总人数为 ,开私家车的人数m= ,扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为 度;
(2)补全条形统计图;
(3)该单位共有1000人,积极践行这种生活方式,越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车.若步行、坐公交车上下班的人数保持不变,问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车,才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数?
21.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为点E.
(1)求证:
AE=AC;
(2)若AB=13,AC=5,求△ADC的面积.
22.
(1)问题发现
如图①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,且AE⊥BC,连接BE.填空:
①∠ABE的度数为 ;②线段AD,AE,AB之间的数量关系为 .
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,连接BE,请判断∠AEB的度数及线段AC2,AE2,AD2之间的数量关系,并说明理由.
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
根据立方根、平方根的定义解答即可.
【详解】
解:
A、∵(-3)3=-27,∴-27的立方根是-3.故本选项错误;
B、2的平方根是±
,故本选项错误;
C、(-1)2的平方根是±1,故本选项正确;
D、
的平方根是±2,故本选项错误;
故选C.
【点睛】
本题考查立方根、平方根的定义.解题关键是注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
2.C
【分析】
先针对
进行估算,再确定
是在哪两个相邻的整数之间,然后进一步得出答案即可.
【详解】
∵
,
∴
,
即:
,
∴
在3与4之间,
故数轴上的点为点M,
故选:
C.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的估算,熟练掌握相关方法是解题关键.
3.C
【解析】
【分析】
利用合并同类项对A进行判断;根据同底数幂的乘法法则对B进行判断;根据同底数幂的除法法则对C进行判断;根据幂的乘方对D进行判断.
【详解】
解:
a+a=2a,b3•b3=b6,a3÷a=a2.(a5)2=a10.
故选C.
【点睛】
本题考查同底数幂的除法:
底数不变,指数相减,即am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数,m>n).也考查了同底数幂的乘法和幂的乘方.
4.D
【解析】
由题意得,
.
由勾股定理得,
.
∴这个风车的外围周长是19×4=76.故选D.
5.A
【分析】
先求得不合格人数,再根据频率的计算公式求得不合格人数的频率即可.
【详解】
解:
不合格人数为40-18-17=5,
∴不合格人数的频率是
=0.125,
故选A.
【点睛】
本题主要考查了频率,频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比).
6.A
【解析】
【分析】
先利用AAS判定△ABE≌△BCF,从而得出AE=BF,BE=CF,最后得出AB的长.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CBF+∠FBA=90°,AB=BC,
∵CF⊥BE,
∴∠CBF+∠BCF=90°,
∴∠BCF=∠ABE,
∵∠AEB=∠BFC=90°,AB=BC,
∴△ABE≌△BCF(AAS)
∴AE=BF,BE=CF,
∴AB=
.
故选:
A.
【点睛】
考查了正方形的性质及全等三角形的判定方法,做题时要注意各个条件之间的关系并灵活运用.
7.B
【解析】
【分析】
根据等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定、线段的垂直平分线的性质一一判断即可;
【详解】
解:
A、等腰三角形的轴对称图形,正确,不符合题意;
B、两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等,SSA无法判断三角形全等,错误,符合题意;
C、有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形,正确,不符合题意;
D、到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上,正确,不符合题意;
故选B.
【点睛】
本题考查命题与定理、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定、线段的垂直平分线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
8.C
【分析】
根据非负数的性质可得关于a、b、c的等式,继而可得a、b、c三边的数量关系,进而可判断出△ABC的形状.
【详解】
∵
,
(a-b)2≥0,|a2+b2-c2|≥0,
∴a-b=0且a2+b2-c2=0,
∴a=b且a2+b2=c2,
∴△ABC是等腰直角三角形,
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质,熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键.
9.D
【解析】
【分析】
由作图步骤知PD是BC的中垂线,据此得BE=CE,根据AB+AE+BE=18cm且AB=5cm知AC=13cm,利用勾股定理求得BC的长可得答案.
【详解】
解:
由作图步骤知PD是BC的中垂线,
∴BE=CE,
∵△ABE的周长为18cm,即AB+AE+BE=18cm且AB=5cm,
∴AE+BE=13cm,
∴AE+CE=13cm,即AC=13cm,
∵∠ABC=90°,
∴BC=
=
=12
∴△ABC的周长为5+12+13=30(cm),
故选D.
【点睛】
本题考查作图-基本作图,解题关键是掌握线段中垂线的尺规作图及线段中垂线的性质、勾股定理等知识点.
10.﹣3m(a﹣2)2
【解析】
【分析】
先提取公因式-3m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解
【详解】
解:
原式=-3m(a2-4a+4)
=-3m(a-2)2.
故答案为:
-3m(a-2)2.
【点睛】
本题考查因式分解,利用了提取公因式法,再套用公式,注意分解要彻底.
11.
【分析】
先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值.
【详解】
,
∵
是一个完全平方式,
∴
,
∴
故答案为:
【点睛】
此题考查完全平方公式,解题关键在于熟练掌握完全平方公式即可.
12.120°或75°或30°
【解析】
∵∠AOB=60°,OC平分∠AOB,点E在射线OA上,
∴∠COE=30°.
如下图,当△OCE是等腰三角形时,存在以下三种情况:
(1)当OE=CE时,∠OCE=∠COE=30°,此时∠OEC=180°-30°-30°=120°;
(2)当OC=OE时,∠OEC=∠OCE=
=75°;
(3)当CO=CE时,∠OEC=∠COE=30°.
综上所述,当△OCE是等腰三角形时,∠OEC的度数为:
120°或75°或30°.
点睛:
在本题中,由于题中没有指明等腰△OCE的腰和底边,因此要分:
(1)OE=CE;
(2)OC=OE;(3)CO=CE;三种情况分别讨论,解题时不能忽略了其中任何一种情况.
13.6
【解析】
【分析】
作EF⊥BC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式求得即可.
【详解】
解:
作EF⊥BC于F,
∵BE平分∠ABC,EF⊥BC,ED⊥AB,
∴EF=DE=2,
∴△BCE的面积=
×BC×EF=6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键.
14.24
.
【分析】
由BE=EO可证得EF∥BC,从而可得∠FOC=∠OCF,即得OF=CF;可知△AEF等于AB+AC,所以根据题中的条件可得出BC及O到BC的距离,从而能求出△OBC的面积.
【详解】
∵BE=EO,∴∠EBO=∠EOB=∠OBC,∴EF∥BC,∴∠FOC=∠OCB=∠OCF,
∴OF=CF;△AEF等于AB+AC,
又∵△ABC的周长比△AEF的周长大12cm,∴可得BC=12cm,
根据角平分线的性质可得O到BC的距离为4cm,
∴S△OBC=
×12×4=24cm2.
考点:
1.三角形的面积;2.三角形三边关系.
15.2
【解析】
【分析】
根据奇异三角形的定义列出方程,再根据勾股定理列出方程,然后消掉c得到关于b的方程,求解即可.
【详解】
解:
∵b>a,
∴由奇异三角形的定义得,a2+c2=2b2,
由勾股定理得,a2+b2=c2,
消掉c得,b2=2a2,
∴b=
a,
∵a=2,
∴b=
a=2
.
故答案为2
.
【点睛】
本题考查勾股定理,熟记定理并理解“奇异三角形”的定义列出两个方程是解题关键,也是本题的难点.
16.
(1)﹣8a5b;②﹣
;③1;
(2)(n﹣2)(n+2)(m﹣2).
【解析】
【分析】
(1)①根据整式的运算法则即可求出答案.
②根据根式的运算法则即可求出答案.
③根据完全平方公式即可求出答案.
(2)根据因式分解即可求出答案.
【详解】
解:
(1)①原式=4a4b2•(6ab)÷(﹣3b2)
=﹣8a5b;
②原式=2﹣
﹣2+1.5﹣
=﹣
;
③原式=20082﹣2×2008×2007+20072
=(2018﹣2007)2
=1;
(2)原式=(n2﹣4)(m﹣2)
=(n﹣2)(n+2)(m﹣2);
【点睛】
本题考查学生的运算能力,解题关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
17.﹣4﹣5n,﹣14.
【解析】
【分析】
原式中括号中利用平方差公式,完全平方公式以及单项式乘以多项式法则计算,再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果,把m与n的值代入计算即可求出值.
【详解】
解:
原式=(m2﹣9n2+4n2﹣4mn+m2+5n2﹣5mn2﹣2m2)÷mn=(﹣4mn﹣5mn2)÷mn=﹣4﹣5n,
当m=3,n=2时,原式=﹣4﹣10=﹣14.
【点睛】
本题考查整式的加减-化简求值,熟练掌握运算法则是解题关键.
18.
(1)证明见解析;
(2)
.
【解析】
试题分析:
(1)根据等边三角形的性质根据SAS即可证明△ABE≌△CAD;
(2)由三角形全等可以得出∠ABE=∠CAD,由外角与内角的关系就可以得出结论.
试题解析:
(1)∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
在△ABE和△CAD中,
AB=CA,∠BAC=∠C,AE=CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS),
(2)∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∵∠BAD+∠CAD=60°,
∴∠BAD+∠EBA=60°,
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
∴∠BFD=60°.
19.
(1)x﹣y;
(2)(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy;(3)6.
【解析】
【分析】
(1)根据图形中长方形的长与宽的差所得;
(2)根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个长方形的面积解答;
(3)代入
(2)的结论进行计算即可.
【详解】
解:
(1)小正方形的边长是x﹣y;
故答案为x﹣y;
(2)大正方形的面积为(x+y)2,
四周四个小长方形的面积为4xy,
中间小正方形的面积为(x﹣y)2,
∴(x+y)2﹣(x﹣y)2=x2+2xy+y2﹣(x2﹣2xy+y2)=4xy;
故答案为(x+y)2﹣(x﹣y)2=4xy
(3)当x+y=10,xy=16时,
∴(x﹣y)2=(x+y)2﹣4xy=102﹣4×16=36,
∴x﹣y=6,
∴小正方形的边长为6.
【点睛】
本题考查平方差公式的几何背景以及完全平方公式,矩形的面积公式,利用面积的不同表示求解进行解答是解题关键,也是此类题目常用的方法之一.
20.
(1)80,20,72;
(2)见解析;(3)25人.
【解析】
【分析】
(1)用步行的人数除以所占的百分比,计算即可求出总人数,抽查的总人数乘以“开私家车”对应比例可求得m的值,再用360°乘以骑自行车的所占的百分比计算即可得解;
(2)根据所求得的骑自行车人数补全统计图即可;
(3)设原来开私家车的人中有x人改为骑自行车,表示出改后骑自行车的人数和开私家车的人数,列式不等式,求解即可.
【详解】
解:
(1)∵样本中的总人数为8÷10%=80(人),
∴开私家车的人数m=80×25%=20(人),
∵扇形统计图中,“骑自行车”对应的百分比为100%﹣(10%+25%+45%)=20%,
∴扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为360°×20%=72°,
故答案为80,20,72;
(2)条形统计图中,“骑自行车”的人数为80×20%=16(人),
补全条形统计图如下:
(3)设原来开私家车的人中有x人改骑自行车,
由题意,得:
1000×(1﹣10%﹣25%﹣45%)+x≥1000×25%﹣x,
解得:
x≥25,
∴原来开私家车的人中至少有25人改为骑自行车,才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数.
【点睛】
本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解题关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
21.
(1)见解析;
(2)
.
【解析】
【分析】
(1)根据AAS证明△AED与△ACD全等,再利用全等三角形的性质证明即可;
(2)根据勾股定理和全等三角形的性质解答即可.
【详解】
解:
(1)∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC,
∵DE⊥AB,
∴∠AED=∠ACD=90°,
在△AED和△ACD中
,
∴△AED≌△ACD(AAS),
∴AE=AC;
(2)在Rt△ABC中,AB2﹣AC2=BC2,
∴BC2=132﹣52=144,
∴BC=12,
∵AE=AC=5,
∴BE=8,
∵△AED≌△ACD,
∴DE=DC.
设DE=x,则DC=x,BD=12﹣x,
在Rt△BED中,BD2=DE2+BE2,
即(12﹣x)2=82+x2,
解得:
x=
,
S△ADC=
•AC•DC=
×5×
=
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质,解题关键是能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题.
22.
(1)①∠ABE=90°;②AB2+AD2=AE2;
(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)①证明△CDA≌△CEB,根据得到∠CEB=∠CDA=120°,计算即可;②由①知,△CDA≌△CEB,据此得出AD=BE,即可得出结论;
(2)证明△CDA≌△CEB,根据全等三角形的性质,直角三角形的性质解答即可.
【详解】
解:
(1)①∵△ACB和△DCE均为等边三角形,
∴∠ACB=∠DCE=60°,CA=CB,CD=CE,
∴∠ACD=∠BCE,
在△CDA和△CEB中,
∵
∴△CDA≌△CEB(SAS),
∴∠CEB=∠CDA=120°,
又∠CED=60°,
∴∠AEB=120°﹣60°=60°,
∵AE⊥BC,
∴∠BAE=
∠BAC=30°,
∴∠ABE=90°;
②由①知,△CDA≌△CEB,且∠ABE=90°,
∴AD=BE,AB2+BE2=AE2,
则AB2+AD2=AE2.
故答案为①90°;②AB2+AD2=AE2.
(2)∠AEB=90°、2AC2=AE2+AD2,
理由如下:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,
∴AC=BC,DC=EC,∠CAB=∠CBA=45°,
又∵∠ACB=∠DCE=90°,
∴∠ACD=∠BCE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴∠1=∠2,AD=BE,
又∵∠2+∠3+∠ABC=90°,
∴∠1+∠3+∠ABC=90°,
∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,AB2=AE2+BE2=AE2+AD2,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=2AC2,
∴2AC2=AE2+AD2.
【点睛】
本题考查三角形的综合问题,考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等边三角形的性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.
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