8年级上册数学培优讲义北师版(格式完整-).docx
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八年级上册数学培优
八年级上册数学培优
专题一勾股定理的基本应用 2
专题二勾股定理逆定理的应用 8
专题三勾股定理中的翻折和旋转问题 11
专题四勾股定理的实际问题 15
专题五勾股定理中的最值问题 22
专题六实数的相关概念 29
专题七实数的相关运算 35
专题八非负性的应用 42
专题九位置与坐标
(一) 45
专题10位置与坐标
(二) 53
专题11一次函数的基本性质 57
专题12一次函数的应用 64
专题13一次函数中的规律问题 73
专题十四一次函数中的最值问题 77
专题十五一次函数中的(特殊图形)存在性问题 84
专题十六一次函数中的动态问题 89
专题17二元一次方程(组)的概念 96
专题18二元一次方程组的实际问题 103
专题19数据的分析 109
专题20平行线的证明 117
专题一勾股定理的基本应用
考点一求线段的长
【方法点拨】①勾股定理常用来求直角边或斜边;②勾股定理是求线段长度的最主要方法,若缺少直角条件,可以通过作垂线的方法构造直角三角形;③若不能直接用勾股定理求出直角三角形的边,一般设未知数,建立方程求解。
1.等腰三角形的底边长为12,底边上的中线长为8,它的腰长为( )
A.6 B.8 C.10 D.32
2.如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,可得△ABC,则AC边上的高是( )
A.322 B.3105 C.355 D.455
3.Rt△ABC中,斜边BC=22,则AB2+AC2+BC2的值为( )
A.16 B.8 C.8 D.无法计算
4.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用x、y表示直角三角形的两直角边(x>y),下列四个说法:
①x2+y2=49,②x﹣y=2,③2xy+4=49,④x+y=9.其中说法正确的是( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
5.如图,等边△ABC的边长为2,AD是BC边上的高,则高AD的长为( )
A..1 B..2 C.3 D..2
6.若直角三角形两条直角边的边长分别为6和8,则斜边上的高是( )
A.5 B.10 C.125 D.245
7.直角三角形两直角边长分别为3和4,则它斜边上的高为 .
8.在Rt△ABC中,已知两边长为5、12,则第三边的长为 .
9.已知a,b是Rt△ABC两边,且满足a2-9=-(b﹣4)2,则第三边长是 .
10.如图,在△ABC中,CE是AB边上的中线,CD⊥AB于D,且AB=5,BC=4,AC=6,求DE的长.
11.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,AB=BC.
(1)当AD=7,CD=5时,求BC的长;
(2)当AD=13,BC=2时,求BD的长.
考点二求面积
【方法点拨】①勾股定理间接反映了三个图形面积之间的关系,可利用勾股定理求三角形、四边形、扇形、弓形的面积;②用勾股定理求直角三角形面积时,可将看作一个整体,而不必求出的值,利用,再结合等类似完全平方式的变形等式解决实际问题。
1.如图,已知两正方形的面积分别是25和169,则字母B所代表的正方形的面积是( )
A.12 B.13 C.144 D.194
2.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为( )
A.90 B.100 C.110 D.121
3.如图,两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的面积为( )
A.4 B.8 C.16 D.64
4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 .
5.如图,正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16,△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S1、S2、S3,则S1+S2+S3= .
6.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长为7cm,正方形A的面积为9cm2,则正方形A,B,C,D面积之和为 cm2.
7.如图,已知直角△ABC的两直角边分别为6,8,分别以其三边为直径作半圆,求图中阴影部分的面积.
考点三解直角三角形
【方法点拨】①已知两边和两边的夹角为一个特殊角时,可求第三边;②已知两个特殊角和两个特殊角的夹边,可求另外两边;③在直角三角形中,已知两边,可直接用勾股定理求第三边;④不能求第三边时,应先设未知数,再用勾股定理;⑤如果上述方法行不通时,应通过转化把条件集中在同一个三角形中再利用勾股定理。
1.如图,锐角三角形ABC中,∠C=2∠B,AB=26,BC+CA=8,则△ABC的面积为 .
2.善于思考的小鑫同学,在一次数学活动中,将一副直角三角板如图放置,A,B,D在同一直线上,且EF∥AD,∠BAC=∠EDF=90°,∠C=45°,∠E=60°,量得DE=12cm,求BD的长.
考点四利用勾股定理证明平方关系
【方法点拨】通过直接寻找直角三角形或作垂线构造直角三角形解决问题。
1.如图,在△ABC中,AB=AC=2,点P在BC上.若点P为BC的中点,则m=AP2+BP•PC的值为 ;若BC边上有100个不同的点P1,P2,…,P100,且mi=APi2+BPi•PiC(i=1,2,…,100),则m=m1+m2+…+m100的值为 .
2.如图,在△ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请用学过的知识说明:
AB2﹣AP2=PB•PC.
3.已知矩形ABCD和点P,当点P在BC上任一位置(如图
(1)所示)时,易证得结论:
PA2+PC2=PB2+PD2,请你探究:
当点P分别在图
(2)、图(3)中的位置时,PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系?
请你写出对上述两种情况的探究结论,并利用图
(2)证明你的结论.
专题二勾股定理逆定理的应用
考点一勾股数的应用
【方法点拨】①熟记常见的勾股数“3,4,5”“6,8,10”“5,12,13”“8,15,17”“7,24,25”“9,40,41”;②勾股数的整数倍仍然是勾股数,分数倍数仍然符合的关系;③构造勾股数的重要方法:
是大于1的奇数,则,,是勾股数;是大于2的偶数,则,,是勾股数。
1.在下列各组数中,是勾股数的是( )
A.1、2、3 B.2、3、4 C.3、4、5 D.4、5、6
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c.
(1)若a:
b=3:
4,c=75cm,求a、b;
(2)若a:
c=15:
17,b=24,求△ABC的面积;
(3)若c﹣a=4,b=16,求a、c;
(4)若∠A=30°,c=24,求c边上的高hc;
(5)若a、b、c为连续整数,求a+b+c.
考点二求面积
【方法点拨】通过比较三角形最长边的平方与另两边的平方和,可以判断三角形的形状,反过来也对,即可以运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状。
1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,在下列条件中:
①a=5、b=12、c=13;②∠A:
∠B:
∠C=3:
4:
5;③∠A﹣∠B=∠C;④a=13、b=14、c=15;⑤(b+c)(b﹣c)=a2,能判断△ABC是直角三角形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.已知三组数据:
①2,3,4;②3,4,5;③1,3,2,分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长,能构成直角三角形的有( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
3.△ABC的三边分别为a,b,c,满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是( )
A.c2﹣a2=b2 B.∠A﹣∠C=∠B
C.a:
b:
c=20:
21:
29 D.∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,有下列四种说法:
①a•b=c•h;②a+b<c+h;③以a+b、h、c+h为边的三角形,是直角三角形;④1a2+1b2=1h2.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列各组数分别为一个三角形三边的长,其中不能构成直角三角形的一组是( )
A.3,4,5 B.4,5,6 C.34,54,1 D.9,12,15
6.若a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,试判断△ABC的形状并说明理由.
7.如图,每个小方格都是边长为1的小正方形,△ABC的位置如图所示,你能判断△ABC是什么三角形吗?
请说明理由.
8.阅读下列解题过程:
已知a,b,c为△ABC的三边长,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC的形状.
解:
∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,①
∴c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2),②
∴c2=a2+b2,③
∴△ABC为直角三角形.④
回答下列问题:
(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?
该步的序号为:
;
(2)错误的原因为:
;
(3)请你将正确的解答过程写下来.
专题三勾股定理中的翻折和旋转问题
考点一翻折问题
【方法点拨】根据翻折前后两图形全等,借助勾股定理构造方程求线段的长。
1.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上且与AE重合,则CD等于( )
A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm
2.小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图①,AD>CD)沿过A点的直线折叠,使得B点落在AD边上的点F处,折痕为AE(如图②);再沿过D点的直线折叠,使得C点落在DA边上的点N处,E点落在AE边上的点M处,折痕为DG(如图③).如果第二次折叠后,M点正好在∠NDG的平分线上,那么矩形ABCD的长BC与宽AB的关系是( )
A.BC=2AB B.BC=3AB C.BC=1.5AB D.BC=2AB
3.长方形ABCD中,AB=6,AD=8,点E是边BC上一点,将△ABE沿AE翻折,点B恰好落在对角线AC上的点F处,则AE的长为 .
4.如图,将长方形ABCD沿对角线AC折叠,得到如图所示的图形,点B的对应点是点B′,B′C与AD交于点E.若AB=2,BC=4,则AE的长是 .
5.如图,在矩形纸片ABCD中,已知AD=8,AB=6,折叠纸片使AB边与对角线AC重合,点B落在点F处,折痕为AE,则EF的长为 .
6.如图,D在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是边AD一个动点,将△ABE沿BE对折成△BEF,则线段DF长的最小值为 .
7.如图,把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,使得点D与点B重合,点C落在点C′的位置上.
(1)若∠1=50°,求∠2、∠3的度数;
(2)若AD=8,AB=4,求BF.
8.矩形ABCD中,AB=10,BC=6,点E在线段AB上.点F在线段AD上
(1)沿EF折叠,使A落在CD边上的G处(如图),若DG=3,求AF的长;求AE的长;
(2)若按EF折叠后,点A落在矩形ABCD的CD边上,请直接写出AF的范围.
9.如图,在长方形纸片ABCD中,AB=6,BC=8,将它沿着对角线对折,使B折到M,求:
(1)线段CE的长度;
(2)求点E到直线AC的距离.
10.在长方形ABCD中,点E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE,将BG延长交直线DC于点F.
(1)如果点G在长方形ABCD的内部,如图①所示.
Ⅰ)求证:
GF=DF;
Ⅱ)若DF=12DC,AD=4,求AB的长度.
(2)如果点G在长方形ABCD的外部,如图②所示,DF=kDC(k>1).请用含k的代数式表示ADAB的值
.
考点二旋转问题
【方法点拨】根据旋转前后两图形全等,借助勾股定理构造方程求线段的长。
1.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB上一点,连结CD,将CD绕C点逆时针旋转90°至CE,连结DE,过C作CF⊥DE交AB于F,连结BE.
(1)求证:
AD=BE;
(2)求证:
AD2+BF2=DF2;
(3)若∠ACD=15°,CD=3+1,求BF.
2.定义:
如图①,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知点M、N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,求BN的长;
(2)如图②,在等腰直角△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M、N为边AB上两点,满足∠MCN=45°,求证:
点M、N是线段AB的勾股分割点;阳阳同学在解决第
(2)小题时遇到了困难,陈老师对阳阳说:
要证明勾股分割点,则需设法构造直角三角形,你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试.
请根据陈老师的提示完成第
(2)小题的证明过程;
(3)在
(2)的问题中,若∠ACM=15°,AM=1,CM=3+1.求BM的长.(提示:
在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半.)
专题四勾股定理的实际问题
考点一树折断问题
【方法点拨】注意树折断前后的长度是固定的。
1.如图所示,一根树在离地面9米处断裂,树的顶部落在离底部12米处.树折断之前( )米.
A.15 B.20 C.37 D.24
2.如图,一棵大树被大风刮断后,折断处离地面8m,树的顶端离树根6m,则这棵树在折断之前的高度是( )
A.18m B.10m C.14m D.24m
3.如图,台风过后,一希望小学的旗杆在离地某处断裂,旗杆顶部落在离旗杆底部8米处,已知旗杆原长16米,你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗?
考点二梯子滑落问题
【方法点拨】梯子滑落前后的长度是相等不变的,一般利用“两次勾股定理”求线段的长。
1.如图,一个梯子AB长10米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为6米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为2米,求梯子顶端A下落了多少米?
2.如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?
3.如图,长7.5m的梯子靠在墙上,梯子的底部离墙的底端4.5m.
(1)求梯子的顶端到地面的距离;
(2)由于地面有水,梯子底部向右滑动1.5m,则梯子顶端向下滑多少米?
考点三台风问题
【方法点拨】运用点到直线的距离最短,可判断是否受台风的影响。
1.如图,在点B正北方1502cm的A处有一信号接收器,点C在点B的北偏东45°的方向,一电子狗P从点B向点C的方向以5cm/s的速度运动并持续向四周发射信号,信号接收器接收信号的有效范围为170cm.
(1)求出点A到线段BC的最小距离;
(2)请判断点A处是否能接收到信号,并说明理由.若能接收信号,求出可接收信号的时间.
2.在某台风登陆期间,A市接到台风警报时,在该市正南方向l50km的点B处台风中心正以20km/h的速度沿BC方向移动,已知城市A到BC的距离AD=90km.
(1)台风中心经过多长时间从点B移动到点D?
(2)如果在距台风中心30km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险,为让处于点D的人脱离危险.人必须在接到台风警报后的几时内撤离(撤离速度为6km/h)?
3.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,在周围数十千米范围内形气旋风暴,有极强的破坏力,此时某台风中心在海域B处,在沿海城市A的正南方向240千米,其中心风力为12级,每远离台风中心25千米,台风就会减弱一级,如图所示,该台风中心正以20千米/时的速度沿BC方向移动.已知AD⊥BC且AD=12AB,且台风中心的风力不变,若城市所受风力达到或超过4级,则称受台风影响.试问:
(1)A城市是否会受到台风影响?
请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市的持续时间有多长?
(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?
考点四方位角问题
【方法点拨】掌握方位角的概念,可以巧用特殊方位角构造直角三角形求解。
1.甲、乙两艘客轮同时离开港口,航行的速度都是40m/min,甲客轮用15min到达点A,乙客轮用20min到达点B,若A,B两点的直线距离为1000m,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是( )
A.北偏西30° B.南偏西30° C.南偏东60° D.南偏西60°
2.如图,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行,乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行,1小时后,甲船到达C岛,乙船达到B岛,若C、B两岛相距50海里,请你求出乙船的航行方向.
3.如图,东西走向的A、B两座城市相距100千米,现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路(即线段AB).经测量,森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向,B城市的北偏西45°方向上.已知森林保护区的范围在以P为圆心,50千米为半径的圆形区域内.请问:
计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区?
为什么?
考点五其它问题
【方法点拨】根据相关的实际问题构造直角三角形,运用勾股定理求解。
1.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°,AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a元计算,那么共需要资金( )
A.600a元 B.50a元 C.1200a元 D.1500a元
2.在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发.现有一C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内不得进入,问在进行爆破时,公路AB段是否有危险,是否需要暂时封锁?
请通过计算进行说明.
3.如图,∠AOB=90°,OA=25m,OB=5m,一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发,沿直线匀速前进拦截小球,恰好在点C处截住了小球,如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等,那么机器人行走的路程BC是 m.
4.如图,小明在研究性学习活动中,对自己家所在的小区进行调查后发现,小区汽车入口宽AB为3.3m,在入口的一侧安装了停止杆CD,其中AE为支架.当停止杆仰起并与地面成60°角时,停止杆的端点C恰好与地面接触.此时CA为0.7m.在此状态下,若一辆货车高3m,宽2.5m,入口两侧不能通车,那么这辆货车在不碰杆的情况下,能从入口内通过吗?
请你通过计算说明.(参考数据:
3≈1.7)
5.课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图.
(1)求证:
△ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
6.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定:
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时,如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A的正前方60米处的C点,过了5秒后,测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米.
(1)求BC间的距离;
(2)这辆小汽车超速了吗?
请说明理由.
7.图1是围墙的一部分,上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2,请你根据图2所标注的尺寸,求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管多少米(焊接部分忽略不计).
8.如图,某学校(A点)与公路(直线L)的距离为300米,又与公路车站(D点)的距离为500米,现要在公路上建一个小商店(C点),使之与该校A及车站D的距离相等,求商店与车站之间的距离.
9.交通安全是社会关注的热点问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验.如图,先在笔直的公路1旁选取一点P,在公路1上确定点O、B,使得PO⊥l,PO=100米,∠PBO=45°.这时,一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来,测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒,并测得∠APO=60°.此路段限速每小时80千米,试判断此车是否超速?
请说明理由(参考数据:
2=1.41,3=1.73).
专题五勾股定理中的最值问题
考点一将军饮马问题
【方法点拨】运用“两定一动”的模型求最值。
1.如图,河边有A,B两个村庄,A村距河边10m,B村距河边30m,两村平行于河边方向的水平距离为30m,现要在河边建一抽水站E,需铺设管道抽水到A村和B村.
(1)要使铺设管道的长度最短,请作图找出水站E的位置(不写作法)
(2)若铺设管道每米需要500元,则最低费用为多少?
2.如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
3.如图,A,B两个工厂位于一段直线形河的异侧,A厂距离河边AC=5km,B厂距离河边BD=1km,经测量CD=8km,现准备在河边某处(河宽不计)修一个污水处理厂E.
(1)设ED=x,请用x的代数式表示AE+BE的长;
(2)为了使两厂的排污管道最短,污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长?
(3)通过以上的解答,充分展开联想,运用数形结合思想,请你猜想x2+4+(12-x)2+9的最小值为 .
4.恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km,A、B到直线x的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图
(1)是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB,图
(2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A',连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.
(1)求S1、S2,并比较它们的大小;
(2)请你说明S2=PA+PB的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
考点二立体图形中的最短距离问题
【方法点拨】将立体图形转化为平面图形,运用“两点之间线段最短”原理求最值。
1.如图,一只蚂蚁从长宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬
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