拓扑答案.pdf
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尤承业基础拓扑学讲义部分课后习题参考答案(第二版)数学与统计学学院December24,20151第20-21页(拓扑空间)练习1(1.).写出集合X=a,b上的所有拓扑解1=/0,X;2=a,b,/0,X;3=a,/0,X;4=b,/0,X练习2(2.).设X=x,y,z,下列子集族是不是X的拓扑?
如果不是,请添加最少子集使它们成为拓扑
(1)X,/0,x,y,z;
(2)X,/0,x,y,x,z;(3)X,/0,x,y,x,z,y,z解
(1)是
(2)不是添加x(3)不是添加x,y,z练习3(3.).在R上规定子集族=(,a)|aR/0,R,则是拓扑证明只需证明对有限交和任意并是封闭的显然对任意两个实数a,b,不妨假设ab,则(,a)(,b)=(,a)任取AR,令=supA(可以是+),则aA(,a)=(,)1练习4(4.).设是X上的拓扑,A是X的一个子集,则=AU|U/0也是X的拓扑证明显然/0,X设U1,U2,则(AU1)(AU2)=A(U1U2)任取U,则UU(AU)=A(UUU).练习5(4.).证明X上任意一族拓扑之交仍是X上的拓扑证明设|是X的一族拓扑,=1.显然/0,X;(a)任取U1,U2,则对任意的有U1,U2由于是拓扑,有U1U2,所以U1U2;(b)任取A,则A对任意的成立由于是拓扑,有UAU,从而UAU练习6(6.).R2中的子集A=(x,sin1x):
x(0,1),求A解首先(1,sin1)A,因它的每个邻域都与A有交;其次01,1A,因为x1,1,点(0,x)的任何邻域与A有交;最后,显然AA除此之外,其它的点都有邻域和A无交,所以A=(01,1)(x,sin1x):
x(0,12练习7(7.).在实数集R上装备拓扑=(,a)|a+,求单点集的闭包证明设A=x是实数集的单点集当yx时,任取y的邻域(,a)(其中ay)都包含x,故yA;当yd(x,a)r0=12(d(x,a)+r)r,*即y/Bx,r,再由y的任意性有B(a,r0)Bx,rc反例:
在多于一点的离散空间X,有Bx,1=X,但B(x,1)=x练习9(9.).设X是拓扑空间,G是X的开集证明GA(GA)证明任取xGA,则对x的任意的开邻域U,有UA=/0因UG是x的开邻域,所以(UG)A=/0,即U(GA)=/0,所以x(GA)练习10(10.).设A1,An都是X的闭集,并且A1An=X,BX,则B是X的闭集当且仅当对每个i,BAi是Ai的闭集证明如果B是X的闭集,则BAi是Ai的闭集反之,如果每个BAi都是Ai的闭集,则BAi是X的闭集与Ai的交集又因为Ai是X的闭集,所以每个BAi都是X的闭集,从而B=BX=(BA1)(BAn)是X的闭集3练习11(11.).设Y是X的子空间,xY,则xDY(A)当且仅当xDX(A),即DY(A)=DX(A)Y,这里,DY(A)表示A在Y中的导集证明任取xDY(A),则对x在X中的任意邻域U有(UY)(Ax)=/0,所以U(Ax)=/0,从而xDX(A)又xY,所以xDX(A)Y反之,任取xDX(A)Y,则存在x在X中的邻域U使得U(Ax)=/0因AY,所以U(Ax)=U(Y(Ax)=(UY)(Ax)=/0,因此xDY(A)练习12(12.).设Y为拓扑空间X的子空间,BA证明:
(1)ClA(B)=ClX(B)A,这里,ClA(B)表示B在A中的闭包
(2)BA=A(AB),这里BA表示B在A中的内部;(3)如果A是X的开集,则BA=B,证明
(1)由上题得:
ClA(B)=DA(B)B=(DX(B)A)(BA)=(DX(B)B)A=ClX(B)A.
(2)AABA(AB)=B,且AAB=A(AB)c是A的开集,所以AABBA另一方面,任取xBA,则存在x在X中的邻域U使得UAB于是,U(AB)=(UA)(AB)=/0,所以x/AB,因此xAAB证明(续)(3)如果A是开集,则由上面的结论可知BA=AAB=A(AB)c是X的开集,从而BAB*另一方面,任取xB,则存在x在X中的开邻域U满足UB这个U=UA也是x在A中的开邻域,因此xBA练习13(13.).余可数拓扑空间X的序列xn收敛于a的充分必要条件是该序列的尾部是a证明如果xn的尾部是a,则xn显然收敛于a;如果xn收敛于a,取a邻域U=(Xxn|nN)a,则当n充分大时,xn在U内,即存在NN,使得当nN时,有xnU,从而xn=a4练习14(14.).在R上规定拓扑=(,a)|aR+,,则这个拓扑空间是可分的证明有理数集显然是稠密子集可分性练习15(15.).证明:
A是X的稠密子集当且仅当X的每个非空开集与A相交证明提示:
X的每个点都是A的闭包点练习16(16.).证明:
如果A是B的稠密子集,B是X的稠密子集,则A是X的稠密子集证明由于A在B中稠密,所以AB=AB=B,于是BA两边取闭包得BA=A另一方面,B在X中稠密,所以B=X于是有X=BAX,因此A=X练习17(17.).若A,B都是X的稠密子集,并且A是开集,则AB也是X的稠密子集证明如果A是开集,则有AB=AB事实上,任取xAB,则对x的任意的邻域Ux有Ux(AB)=/0*任取yUxAB,则因yB且UxA是y的邻域,有Ux(AB)=(UxA)B=/0,从而可知xAB,这样我们就证明了ABAB*相反的包含式是显然的由于B=X,所以A=AB=AB又由于A=X,得X=AB,因此AB稠密2第28-29页连续映射练习18(1.).设f:
XY,证明下列命题等价:
(1)f连续;
(2)对X的每一子集A,有f(A)f(A);(3)对Y中的每一子集B,有f1(B)f1(B);(4)对Y中的每一子集B,有f1(B)f1(B)5证明:
(1)
(2)假设对Y的任意闭集F,f1(F)是X的闭集下证对X的任意子集A,有f(A)f(A)首先注意Af1f(A)f1f(A)*因为f(A)是Y的闭集,由假设知f1f(A)是X闭集*所以有Af1f(A)=f1f(A),*于是得f(A)f(f1f(A)f(A)证明:
(2)(3)假设对X的任意子集A,有f(A)f(A)下证对Y的任意子集B,有f1(B)f1(B)对集合f1(B)应用假设条件,并注意ff1(B)B,得f(f1(B)ff1(B)B,*所以f1(B)f1f(f1(B)f1(B)证明:
(3)
(1)假设对Y的每一个子集B,有f1(B)f1(B)则对Y的闭子集F有f1(F)=f1(F)f1(F)f1(F),*即f1(F)=f1(F),于是f1(F)是X的闭集。
证明:
(4)
(1)(4)
(1)假设对Y中的每一子集B,有f1(B)f1(B)*则对Y的开集B有f1(B)=f1(B)f1(B)f1(B),所以有f1(B)=f1(B),因此f1(B)是X的开集。
*
(1)(4)设f连续,则f1(B)是开集由于f1(B)f1(B),所以有f1(B)f1(B)6练习19(2.).设BY,i:
BY是包含映射证明f:
XB连续当且仅当if:
XY连续证明包含映射显然连续,这是因为对Y的任意开集V,有i1(V)=VB是B的开集如果f连续,则if连续下设if连续,则对Y的任意开集V有(if)1(V)是X的开集但(if)1(V)=f1(i1(V)=f1(VB),所以对B的任意开集VB其f原像是X的开集,即f连续练习20(3.).设f:
XY为同胚映射,AX,则f|A:
Af(A)也是同胚映射证明f|A连续且f1|f(A)连续,直接验证可得f1|f(A)是f|A的逆练习21(4.).证明下面几个空间相互同胚:
()X1=R2O;()X2=(x,y,z)R3|x2+y2=1;()X3=(x,y,z)R3|x2+y2z2=1证明设f:
X2X1为f(x,y,z)=(xez,yez),f1:
X1X2为f的逆,则f1(u,v)=(ueu2+v22,veu2+v22,u2+v22),而且连续,所以f是同胚。
设g:
X3X2为g(x,y,z)=(xx2+y2,yx2+y2,z),g1:
X2X3为g的逆,则g1(u,v,w)=(u1+w2,v1+w2,w)也连续,所以g是同胚。
练习22(5.).拓扑空间X的覆盖C是局部有限的是指有对任意的xX,存在邻域U只与C的有限个成员相交。
设X具有局部有有限闭覆盖C=C|,且f:
XY在C的每个成员上的限制是连续的,则f是连续的。
7证明对任意的xX,令U是x的邻域,它只与C的有限个闭集C1,Cn相交则U=UX=U(C)=U(C1Cn)=(UC1)(UCn),*即U是它的有限个闭集之并*因fi=f|Ci连续,所以它在UCi上也连续,由焊接引理可知在U上连续练习23(6.).设f:
XY连续,xnx,则f(xn)f(x)证明由f的连续性可知,对f(x)的任意邻域V,存在x的邻域U,使得f(U)V再由序列的收敛性可知,存在正整数N,当nN时,有xnU于是当nN,有f(xn)V,所以f(xn)f(x)练习24(7.).设f:
XY连续满射,其中X是可分的,证明Y也是可分的证明设A是X的可数稠密子集,则A=X由于f是满射,有f(A)=f(X)=Y另一方面,由于f连续,有Y=f(A)f(A)Y,所以f(A)=Y因此(f(A)Y=f(A)Y=Y,即f(A)是Y的可数稠密子集练习25(8.).证明恒等映射id:
(R,c)(R,f)是连续映射,但不是同胚证明任取Vf,则id1(V)=VC,所以id:
(R,c)(R,f)连续设U=Nc,则Uc,但(id1)1(U)=U/f,所以恒等映射的逆不连续8练习26(9.).设f:
R0,1)R为f(x)=x,x0,x1,x1,证明f连续,但不是同胚证明为证f连续,只需证明f在1R0,1)处连续为此注意f
(1)=0对R中0的任意邻域(,),在R0,1)中存在1的邻域1,1+),使得f(1,1+)=0,)(,),所以f在1处连续*设g是f的逆映射,则g(y)=f1(y)=y,y0,y+1,y0.*只需证明g在y=0处不连续为此注意g(0)=1*对1的1/2-邻域U1/2=(1/2,3/2),以及0的任意-邻域V,有g(V)=(,0)1,1+)*U1/2,所以g在0处不连续练习27(10.).举例说明开映射不必是闭映射,闭映射也不必是开映射解设X=1,2,3,1=/0,X,2,3,2=/0,X,1,3,3开映射不必是闭映射*令f:
(X,1)(X,2)为f(x)=3,则f是开映射*但不是闭映射,这是因为f
(1)=3,1是1-闭集,但3却不是2-闭集闭映射不必是开映射*令f:
(X,1)(X,2),f(x)=2,则f是闭映射*但不是开映射,因为f(2,3)=2,2,3是1-开集,但却不是2-开集练习28(11.).如果f:
XY是一一对应,则f是开映射f是闭映射f1是连续映射证明开集的像是开集闭集的余集的像是开集闭集的像的余集是开集(因为f是一一映射,所以余集的像等于像的余集)闭集的像是闭集开集在f下的像是开集开集在f1下的原像是开集f1连续9练习29(12.).设(X,d)是度量空间,A是X的非空子集,定义f(x)=d(x,A)=infd(x,a)|aA,证明f连续;如果A是非空闭集,则f(x)=0当且仅当xA。
证明因为aA以及x1,x2X,有d(x1,a)d(x1,x2)+d(x2,a)两边对aA取下确界得d(x1,A)d(x1,x2)+d(x2,A),即f(x1)f(x2)d(x1,x2)*同理有f(x2)f(x1)d(x1,x2),因此有|f(x1)f(x2)|d(x1,x2)*再由连续性的定义可知f连续*下假设A是非空闭集*显然,如果xA,则f(x)=0;反之,如果f(x)=0,要证明xA*用反证法如果x/A,由于Ac是开集,所以存在B(x,)Ac*这说明f(x)=d(x,A),与f(x)=0矛盾练习30(13.).设(R,)是拓扑空间,其中=(,a)|aR,且f:
(R,)R是连续函数,则f是常值的证明设x,yR是任意两实数,不妨设xy因f(x)是R的闭集,由f的连续性可知f1(f(x)是(R,)中含x的闭集因此f1(f(x)包含x,+)又x0。
21练习65(5.).证明紧致空间的无穷子集必有聚点(Bolzano-Weierstrass定理)。
Proof.设X是紧致的,A是X的无穷子集。
用反证法假设A没有聚点,则对任意的xX,有邻域Ux使得Ux(Ax)=/0。
因此,当xA时,UxA=x;当x/A时,UxA=/0。
令A=Ux|xX,则它是X的开覆盖。
由X的紧致性,存在有限子覆盖。
然而,有限个Ux不可能覆盖无穷子集A。
矛盾。
练习66(6.).如果X的每个紧子集都是闭集,则任意收敛序列的极限是唯一的。
证明.由于X的每个紧致子集是闭集,所以单点集是闭集,从而X是T1空间。
如果收敛序列xn有两个极限点a,b,则U=Xa就是b的邻域,xn的尾部就在U内,从而在U外只有序列的有限多项。
这说明序列中最多只有有限项是a。
考虑A=xn|xn=ab,则A是紧致的,从而是闭集,于是Ac就是开集,而且是a的开邻域。
但这个邻域只含序列的有多限项,这与序列收敛于a矛盾。
练习67(7.).紧致度量空间X是可分的,从而使第二可数的(因为可分度量空间是第二可数的)。
证明.由于X是紧致的,所以,对任意固定的正整数n,存在有限个球B(x(n)i,1n)|i=1,k(n)覆盖X。
令C(n)=x(n)1,x(n)k(n),C=n=1C(n),则C是可数的。
下证C是稠密的。
对任意的xX以及任意的n,存在B(x(n)i,1n),使得xB(x(n)i,1n)。
于是x(n)iB(x,1n),即B(x,1n)C=/0,xC,C=X。
练习68(8.).若XY是紧致的,则X,Y都是紧致的。
Proof.投影映射是连续的满射,而紧致空间在连续映射下的像是紧致的。
练习69(9.).X紧致的充分必要条件是X的每个具有有限交性质的闭集族具有非空交。
证明必要性:
设X紧致,F是具有有限交性质的闭集族,下证F具有非空交。
用反证法。
*如果FFF=/0,则FFFc=X,即Fc|FF是对X的开覆盖,于是具有有限子覆盖,设为Fc1,Fcn。
*由Fc1Fcn=X可得F1Fn=/0,这与F具有有限交性质矛盾。
22证明(续)充分性:
假设X的任意具有有限交性质的闭集族有非空交,下证X紧致。
用反证法。
*如果X非紧致,则存在开覆盖O没有有限子覆盖。
所以O的任意有限子族O的成元之并都是X的真子集,因此其余集非空,即UOUc=/0。
于是Uc|UO是具有有限交性质的闭集族,由假设可知Uc|UO具有非空交。
但另一方面,UOUc=(UOU)c=Xc=/0,矛盾。
练习70(10.).(Wallace定理)设A,B分别为拓扑空间X,Y的紧子集,W为AB在积空间XY中的开邻域那么,存在A在X中的开邻域U以及B在Y中的开邻域V,使UVW证明.积空间XY有拓扑基B=UV|U,V分别是X和Y的开集所以开集W可以表示为:
W=(UV)对任意的bB,因为A紧致,所以Ab也是紧致的由于AbABW,故UV|是Ab的开覆盖,从而有有限子覆盖U1V1,U2V2,UnVnProof.令Ub=U1U2Un,Vb=V1V2Vn,则Ub和Vb分别是A和b的开邻域,且UbVb=(U1U2Un)(V1V2Vn)(U1V1)(U2V2)(UnVn)W.另一方面,因为Vb|bB是B的开覆盖,而且B是紧致的,所以,存在有限子覆盖,设为Vb1,Vbn令U=Ub1Ubn,V=Vb1Vbn,则U,V即为所求证毕练习71(11.).设Y是紧致的,证明1:
XYX是闭映射。
证明.设A是XY的闭子集,下证1(A)是X的闭子集,即证(1(A)c是X的开子集。
由于A11(1(A),所以Ac(11(1(A)c=11(1(A)c,所以对任意的x(1(A)c,则有xY=11(x)Ac。
因为Ac是开集,所以是xY的邻域。
根据练习?
可知,存在x的邻域U,使得UY=11(U)Ac,所以U(1(A)c,从而(1(A)c是开集。
23练习72(12.).求证T2空间X的任意多个紧致子集之交是紧子集证明.设A是X的一族紧子集,F=AAA由于T2空间的紧子集是闭集,所以F是闭集BA,则FB从而F是紧子集练习73(14.).正则空间中紧子集的闭包是紧致的。
证明.设X是正则空间,A是其紧致子集,下证A是紧致的。
设A是A在X中的任一开覆盖,则aA,存在UaA使aUa由正则性,存在a的邻域Va使aVa,且VaUa由于AAaAVa,且A紧,所以存在有限个点a1,akA使Aki=1Vai,于是Aki=1Vaiki=1Uai这样我们找到了A的有限子覆盖练习74(15.).度量空间紧致当且仅当任意连续函数有界。
Proof.紧致度量空间是序列紧致的,因此连续函数是有界的。
反过来,用反证法来证明:
如果任意连续函数有界,则该度量空间是紧致的。
如果X不是紧致的,则也不是序列紧致的,有序列xn,它的任何子列都发散。
不妨设该序列的各项不相同。
记A是该序列的各项组成的集合,则对任意的xX,必有邻域不含Ax的点,即x/A,于是A=/0,A是闭集,并且作为子空间是离散空间(因为对任意的xA有开邻域U,使得UA=x,这说明单点集是开集)。
作函数f:
AR为f(xn)=n,则f连续。
由扩张定理,f可扩张成X上的一个连续函数,此函数无界。
练习75(16.).设f:
XY是闭映射,并且yY,f1(y)是X的紧致子集,则对任意子集BY,f1(B)也是X的紧致子集。
Proof.设U是f1(B)的任一开覆盖。
由于对任意bB,f1(b)是紧致的,U有有限个成员盖住f1(b)。
记这有限个成员之并为Wb,令Vb=(f(Wcb)c,则Vb是b的开邻域,且f1(Vb)Wb。
Vb|bB又是B在Y中的开覆盖,有有限子覆盖Vb1,Vbn,则f1(B)ni=1f1(Vbi)ni=1Wbi.于是f1(B)被U的有限个成员所覆盖。
24练习76(18.).设(X,)是非紧致Hausdorff空间,在X中添加一个新元素,所得的集合记作X,规定X的子集族=XXK|K是X的紧致子集,
(1)验证是X的拓扑,且在X上导出的子空间拓扑就是;
(2)X在X中稠密;(3)X紧致;(4)如果X是局部紧致Hausdorff空间,则X是Hausdorff空间。
证明.
(1)注意,如果KX,则XK=XKc=Kc,这里Kc是K在X中的余集。
Proof.首先,/0,X。
其次,对任意两个U,V,如果U,V,则UV。
如果U,而V=XK=Kc(K是X的某个紧子集或者空子集),则UV=U(Kc)=UKc(因为K是X的闭集)。
如果U=XA,V=XB,其中A,B是X的紧致子集或者空子集,于是UV=(Ac)(Bc)=(AB)c=X(AB).证明续.最后,任取A=U|。
如果A的成员都不含,则A,因此U;如果A的成员都含,则U=Kc,其中K是X的紧致子集或空子集。
于是U=(Kc)=(K)c=X(K);如果A的成员有一部分A1含,另一部分A2不含,则A1的成员之并属于,设为U,A2的成员之并属于,设为Kc,其中K是X的某个紧子集或者空子集,于是A的成员之并为(UKc)=(UcK)c,其中UcK是K的闭子集,所以是紧致的或者空的,从而,(UcK)c=X(UcK)属于。
25证明续.
(2)只需证明是X的闭包点。
对的任意邻域U=Kc,其中K是X的紧致子集或者空子集,则因为X非紧致可知K=X,即Kc=/0,所以UX=KcX=/0,因此X。
Proof.(3)设A是X的任意开覆盖,则存在一个UA,使得U,于是U,所以存在紧致子集或者空子集K,使得U=Kc。
由于A是K的开覆盖,所以存在对K的有限子覆盖AA,于是AU就是A对X的有限子覆盖,因此X是紧致的。
(4)如果X还是局部紧致的,下证X是Hausdorff的。
因为X是Hausdorff的,所以任意x,yX,可用-邻域分离,从而可用-邻域分离。
下面只需证明对任意的xX,x与可用-邻域分离。
设U=K是x的一个-紧致邻域,令V=XK=Kc,则V是的邻域。
于是UV=K(Kc)=KKc=/0。
练习77(19.).Rn的一点紧致化同胚于Sn。
Proof.由定义可知,同胚空间的一点紧致化是同胚的,我们只需证明SnN的一点紧致化与Sn同胚,其中N是Sn的北极点。
作映射f:
SnNSn为f(x)=x,x=,N,x=.则f是一一对应,且是连续的开映射,从而是同胚。
6第60页练习78(1.).设X1,X2都是连通空间X的开子集,X1X2=X,X1X2非空连通,证明X1与X2都连通。
证明.用反证法。
如果X1不连通,则可分解为两个不相交的非空开集A,B之并。
因X1X2连通,A,B在X1中既开又闭,所以X1X2包含于A或B。
不妨设X1X2B。
记X2=X2B,则X=AX2,AX2=/0,且A,X2都是X的非空开集,与X连通矛盾。
练习79(5.).设X是多于一点的T4连通空间,证明X是不可数的。
证明.任取x1,x2X,且x1=x2,则x1,x2是两个不交闭集。
由Urysohn引理,存在连续函数f:
XR,使得f(x1)=0,f(x2)=1。
由于X连通,f连续,所以f(X)连通,所以它是一
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