数学建模传染病模型.pdf
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数学建模传染病模型.pdf
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2传染病模型问题描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律,用机理分析方法建立模型已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设()()()ittititt若有效接触的是病人,则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模0(0)diidtiiti0()titie?
disidt()()1stit模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1)总人数N不变,病人和健康人的比例分别为)(),(tsti2)每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模()()()()NittitstNitt0
(1)(0)diiidtii日接触率SI模型01()111titei0
(1)(0)diiidtii模型21/2tmii010t101ln1mtitm传染病高潮到来时刻(日接触率)tm1tiLogistic模型病人可以治愈!
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t=tm,di/dt最大模型3传染病无免疫性病人治愈成为健康人,健康人可再次被感染增加假设SIS模型3)病人每天治愈的比例为日治愈率()()()()()NittitNstittNitt建模/日接触率1/感染期一个感染期内每个病人的有效接触人数,称为接触数。
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(1)(0)diiiidtii1,01,11)(i1
(1)diiidt模型3i0i0接触数接触数=1阈值阈值/1)(ti形曲线增长按Sti)(感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数小01i1-1/i0
(1)diiiidt模型模型2(SI模型模型)如何看作模型如何看作模型3(SIS模型模型)的特例的特例idi/dt0110ti11-1/i0t1di/dt0模型4传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统,称移出者SIR模型假设1)总人数N不变,病人、健康人和移出者的比例分别为)(),(),(trtsti2)病人的日接触率,日治愈率,接触数=/建模1)()()(trtits需建立的两个方程)(),(),(trtstittNittitNstittiN)()()()()(模型4SIR模型很小)通常000)0(1rrsi无法求出的解析解)(),(tsti在相平面上研究解的性质isttitNststtsN)()()()(00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi模型400)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi/消去dtSIR模型1,0,0),(isisisD相轨线的定义域)(si相轨线11si0D在D内作相轨线的图形,进行分析)(sisi101D模型4SIR模型相轨线及其分析)(si00)0(,)0(ssiisidtdsisidtdi0011iisdsdiss000ln1)()(sssissi0ln1000sssiss满足miis,/1传染病蔓延传染病蔓延传染病不蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向单调减相轨线的方向0,itP1s0/1imsP1:
s01/i(t)先升后降至先升后降至0P2:
s01/i(t)单调降至单调降至01/阈值阈值P3P4P2S0ssss00lnln模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件s01/的估计0ln1000sssis0i忽略降低s0提高r01000ris提高阈值1/降低(=/),模型4SIR模型被传染人数的估计0ln1000sssis记被传染人数比例ssx00)211(200sxsx0)1ln(10sxx)1(200ssx2xxs0i0s/1P10ssi00,s01小小,s01提高阈值提高阈值1/降低被传染人数比例降低被传染人数比例xs0-1/=
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