MATLAB编程与模糊数学方法1-模糊数学与模糊聚类.pdf
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天津工业大学天津工业大学MATLABMATLAB编程与模糊数学方法编程与模糊数学方法(一一)理学院数学系陈雅颂教材及参考书:
教材及参考书:
汪晓银等,汪晓银等,数学建模与数学实验数学建模与数学实验,第二版,科学出版社,第二版,科学出版社,20152015薛定宇等,薛定宇等,高等应用数学问题的高等应用数学问题的MATLABMATLAB求解求解,清华大学出版社,清华大学出版社,2008200822教学内容:
教学内容:
3人脑较之精确计算机人脑较之精确计算机,就是能在信息不完整不精确的情就是能在信息不完整不精确的情况下况下,作出判断与决策作出判断与决策,模糊性常常是信息浓缩所致模糊性常常是信息浓缩所致,目目的是为了提高交换的概率的是为了提高交换的概率,所以不是毫无用处所以不是毫无用处,而是积极而是积极的特性的特性。
如果到火车站去接人,如下描述:
如果到火车站去接人,如下描述:
“大胡子,高个子,长头发,戴宽边黑色眼镜的中年男大胡子,高个子,长头发,戴宽边黑色眼镜的中年男人人”除了男人的信息是精确的之外,其它信息全是模糊的,除了男人的信息是精确的之外,其它信息全是模糊的,但是我们却能够找到那个人。
但是我们却能够找到那个人。
1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算41.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算一、经典集合与特征函数二、模糊集合及其运算三、隶属函数的确定5一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数集合:
集合:
具有某种特定属性的对象集体。
具有某种特定属性的对象集体。
通常用大写字母通常用大写字母AA、BB、CC等表示。
等表示。
论域:
论域:
对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。
对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。
通常用大写字母通常用大写字母UU、VV、XX、YY等表示。
等表示。
论域论域UU中的每个对象中的每个对象uu称为称为UU的的元素元素。
1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算6.uuAAAA.uuAuAu7经典集合经典集合在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A,则必有,则必有或者或者,用函数表示为:
,用函数表示为:
AuAu),(1,0:
uuUAA其中其中AuAuuA,0,1)(函数函数称为集合称为集合A的特征函数。
的特征函数。
A1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算8二二、模糊集合及其运算模糊集合及其运算美国控制论专家美国控制论专家ZadehZadeh教授正视了经典教授正视了经典集合描述的集合描述的“非此即彼非此即彼”的清晰现象的清晰现象,提提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单那么简单,而概念的差异常而概念的差异常以中介过渡的形式出现以中介过渡的形式出现,表现为表现为“亦此亦亦此亦彼彼”的模糊现象的模糊现象。
基于此基于此,19651965年年,ZadehZadeh教授在教授在InformationInformationandandControlControl杂志上杂志上发表了一篇开创性论文发表了一篇开创性论文“FuzzyFuzzySets”,Sets”,标志标志着模糊数学的诞生着模糊数学的诞生。
1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算9引例引例亦此亦彼亦此亦彼模糊集合模糊集合,元素元素xA若若x一部分位于一部分位于AA的内部的内部,一部分位于一部分位于AA的外部的外部,则,则用用x位于位于AA内部的内部的长度长度来表示来表示x对于对于AA的隶属程度。
的隶属程度。
UUA10若若x位于位于AA的内部,则用的内部,则用11来记录,来记录,若若x位于位于AA的外部,则用的外部,则用00来记录,来记录,11、模糊子集、模糊子集定义:
定义:
设设U是论域,称映射是论域,称映射1,0)(,1,0:
xxUAA确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集。
映射。
映射称为称为隶属函隶属函AAA数数,称为称为对对的隶属程度,简称的隶属程度,简称隶属度隶属度。
)(xAxA1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算11模糊子集模糊子集由隶属函数由隶属函数唯一确定,故认为二者唯一确定,故认为二者AA是等同的。
为简单见,通常用是等同的。
为简单见,通常用AA来表示来表示和和。
AA)(xA越接近于越接近于0,0,表示表示x隶属隶属于于AA的的程度程度越小;越小;)(xA越接近于越接近于1,表示表示x隶属隶属于于AA的的程度程度越大;越大;)(xA0.5,最具有模糊性,也称其为最具有模糊性,也称其为过渡点过渡点1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算12UUAx1x2x5x4x7x3x6论域论域190,180,170,160,150,140U模糊集模糊集AA:
表示高个子表示高个子定义隶属函数定义隶属函数(具有主观性具有主观性):
140190140xxA19011808.01706.01604.01502.01400A模糊集模糊集并并不再回答不再回答“是或不是是或不是”的问题的问题,而是对每个对而是对每个对象象(元素元素)给一个给一个隶属度隶属度,所以与经典集有本质区别所以与经典集有本质区别。
而而且与且与隶属函数隶属函数是捆绑一起的是捆绑一起的,所以一般不做区分所以一般不做区分。
(还是经典集合还是经典集合)(Zadeh表示法)表示法)1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算13模糊子集通常简称模糊子集通常简称模糊集模糊集,其表示方法有其表示方法有:
(1)Zadeh表示法表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211这里这里表示表示对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是。
iixxA)(ix)(ixA1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算19011808.01706.01604.01502.01400A(Zadeh表示法)表示法)14(3)向量表示法)向量表示法)(,),(),(21nxAxAxAA
(2)序偶表示法)序偶表示法)(,(,),(,(),(,(2211nnxAxxAxxAxA若论域若论域U为无限集,其上的模糊集表示为:
为无限集,其上的模糊集表示为:
UxxxAA)(1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算前述例子向量表示法:
前述例子向量表示法:
A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)15例例11有有100100名消费者名消费者,对对55种商品种商品评价评价,结果为结果为:
8181人认为人认为x1质量好质量好,5353人认为人认为x2质量好质量好,所有人认所有人认为为x3质量好质量好,没有人认为没有人认为x4质量好质量好,2424人认为人认为x5质质量好量好.54321,xxxxx则模糊集则模糊集AA(质量好质量好):
隶属函数隶属函数5432124.00153.081.0xxxxxA模糊集合及其运算模糊集合及其运算向量表示法:
向量表示法:
A=(0.81,0.53,1,0,0.24)16100的人数喜欢xxAZadeh表示法:
表示法:
例例22考虑年龄集考虑年龄集U=0,100U=0,100,O=“年老年老”,”,O也是一个也是一个年龄集年龄集,u=20U,40呢呢?
以此类推以此类推札德给出了札德给出了“年老年老”集函数刻画集函数刻画:
10050)550(1(5000)(12uuuuO1100UU5050100100模糊集合及其运算模糊集合及其运算17再如再如,Y=Y=“年轻年轻”也是也是UU的一个子集的一个子集,只是不同的年龄只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样段隶属于这一集合的程度不一样,札德给出它的隶属札德给出它的隶属函数函数:
10025)525(1(2501)(12uuuuY110025255050UUY(u)18则模糊集则模糊集O(年老年老)1005012500)550(1(0uuuuuO1002512250)525(1(1uuuuuY则模糊集则模糊集Y(年轻年轻)模糊集合及其运算模糊集合及其运算年龄集年龄集U=0,100U=0,100192、模糊集的运算、模糊集的运算设设A,B是论域是论域U的两个模糊子集,定义:
的两个模糊子集,定义:
相等:
相等:
UxxBxABA),()(包含:
包含:
UxxBxABA),()(并:
并:
UxxBxAxBA),()()(交:
交:
UxxBxAxBA),()()(余:
余:
UxxAxAc),
(1)(表示取大;表示取大;表示取小。
表示取小。
1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算20例例3:
论域论域U=宿舍四人宿舍四人甲甲,乙乙,丙丙,丁丁A=“喜欢喜欢NBA”,”,隶属函数隶属函数A=(0.9,1,0.6,0)B=“喜欢喜欢LOL”,”,隶属函数隶属函数B=(0.8,0.2,0.9,1)找出找出C=“既喜欢既喜欢NBA又喜欢又喜欢LOL”?
”?
C=AB=(0.90.8,10.2,0.60.9,01)=(0.8,0.2,0.6,0)对比隶属度,得对比隶属度,得?
和和?
比较符合条件比较符合条件.21几个常用的算子:
几个常用的算子:
(1)Zadeh算子算子),(,min,maxbabababa
(2)环和、乘积算子)环和、乘积算子),(abbaabbaba,(3)有界和)有界和)()(1baba(4)Einstain算子算子),(,11
(1)
(1)abababababab1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算223、模糊矩阵、模糊矩阵定义:
定义:
设设称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。
10,)(ijnmijrrR当当只取只取0或或1时,称时,称R为为布尔(布尔(Boole)矩阵)矩阵。
ijr当模糊方阵当模糊方阵的对角线上的元素的对角线上的元素都为都为1时,时,nnijrR)(ijr称称R为为模糊自反矩阵模糊自反矩阵。
示例:
示例:
(1)模糊矩阵间的关系及运算)模糊矩阵间的关系及运算定义定义:
设:
设都是模糊矩阵,定义都是模糊矩阵,定义nmijnmijbBaA)(,)(相等:
相等:
ijijbaBA包含:
包含:
ijijbaBA1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算23并:
并:
对应元素取大对应元素取大nmijijbaBA)(交:
交:
对应元素取小对应元素取小nmijijbaBA)(余:
余:
对应元素取余对应元素取余nmijcaA)1(例:
例:
则则设设,2.03.004.0,3.02.01.01BA3.03.01.01BA2.02.004.0BA7.08.09.00cA8.07.016.0cB1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算24
(2)模糊矩阵的合成)模糊矩阵的合成定义:
定义:
设设称模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaAnmijcBA)(为为A与与B的合成,其中的合成,其中。
1)max(skbackjikij例:
例:
则则设设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0BA3.03.06.05.0BA5.05.04.03.03.03.02.02.01.0AB1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算25(3)模糊矩阵的转置)模糊矩阵的转置定义:
定义:
设设称称为为A的的,)(nmijaAnmTijTaA)(转置矩阵,其中转置矩阵,其中。
jiTijaa1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算模糊矩阵的转置运算符:
模糊矩阵的转置运算符:
A26(4)模糊矩阵的)模糊矩阵的截矩阵截矩阵定义:
定义:
设设对任意的对任意的称称,)(nmijaA,1,0nmijaA)()(为模糊矩阵为模糊矩阵A的的截矩阵,其中截矩阵,其中ijijijaaa,0,1)(1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算27例:
例:
则则设设,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01A11001100001100115.0A11001100001000018.0A1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算28三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定11、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素:
模糊统计试验的四个要素:
(1)论域)论域U;
(2)U中的一个固定元素中的一个固定元素;0u(3)U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合;*A(4)U中的一个以中的一个以作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A,*A制约着制约着的运动。
的运动。
可以覆盖可以覆盖也可以不覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使致使对对A的隶属关系是不确定的。
的隶属关系是不确定的。
0u1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算290u特点:
在各次试验中,特点:
在各次试验中,是固定的,而是固定的,而在随机变动。
在随机变动。
*A模糊统计试验过程:
模糊统计试验过程:
(1)做)做n次试验,计算出次试验,计算出nAuAu的次数的次数的隶属频率的隶属频率对对*00
(2)随着)随着n的增大,频率呈现稳定,此稳定值即为的增大,频率呈现稳定,此稳定值即为nAuuAn的次数的次数*00lim)(0u对对A的隶属度:
的隶属度:
1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算3022、指派方法、指派方法这是一种主观的方法,但也是用得这是一种主观的方法,但也是用得最普遍最普遍的一种的一种方法。
它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。
它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布,然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
糊分布,然后根据测量数据确定分布中所含的参数。
33、其它方法、其它方法德尔菲法:
专家评分法;德尔菲法:
专家评分法;二元对比排序法:
把事物两两相比,从而确定顺序,二元对比排序法:
把事物两两相比,从而确定顺序,由此决定隶属函数的大致形状。
主要有以下方法:
由此决定隶属函数的大致形状。
主要有以下方法:
相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
相对比较法、择优比较法和对比平均法等。
1.1模糊集合及其运算模糊集合及其运算31常见隶属函数有以下类型:
常见隶属函数有以下类型:
应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数应用模糊数学方法的关键在于建立符合实际的隶属函数,尽管一个元素属于模糊集是客观存在的尽管一个元素属于模糊集是客观存在的,但是建立隶属函数的但是建立隶属函数的方法基本上是主观的方法基本上是主观的,根据人的实践经验根据人的实践经验,偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型1.1.矩形型矩形型01xaxbAxaxb或10xaAxxa01xaAxxaxAx01axAx01axAx01ab隶属函数的确定:
隶属函数的确定:
32322.2.梯形型梯形型010xaxaaxbbaAxbxcdxcxddcxd10xabxAxaxbbaxb01xaxaAxaxbbaxbxAx01abxAx01abcdxAx01ab偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型333.K3.K次抛物型次抛物型010kkxaxaaxbbaAxbxcdxcxddcxd10kxabxAxaxbbaxb01kxaxaAxaxbbaxbxAx01abxAx01abcdxAx01ab偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型341kxakxaexaAxaxbexb1kxaxaAxexa01kxaxaAxexa4.4.型型0kxAx01a1akxAx01ab1ak1bkxAx01a1ak偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型355.5.正态型正态型2xaAxe21xaxaAxexa201xaxaAxexaxAx01axAx01axAx01a偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型366.6.柯西型柯西型偏大型偏大型中间型中间型偏小型偏小型xAx01axAx01axAx01a11Axxa111xaAxxaxa011xaAxxaxa0,00,为正偶数0,0371.2模糊聚类分析模糊聚类分析38事物之间的界限,有些是确切的,有些则是模糊的。
例如人群中的面貌相像程度之间的界限是模糊的,天气阴、晴之间的界限也是模糊的。
当聚类涉及事物之间的模糊界限时,需运用模糊聚类分析方法。
模糊聚类分析广泛应用在气象预报、地质、农业、林业等方面。
通常把被聚类的事物事物称为样本样本,将被聚类的一组事物一组事物称为样本集样本集。
39空气空气水资源水资源土壤土壤作物作物静海静海81062西青西青50164大港大港90646宁河宁河40573宝坻宝坻10101122441.2模糊聚类分析模糊聚类分析根据对四个环境因素的数据,把以下五个区域进行分类根据对四个环境因素的数据,把以下五个区域进行分类引引例例样本集样本集1.2模糊聚类分析模糊聚类分析40一、基本概念及定理一、基本概念及定理二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤1.2模糊聚类分析模糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理定义:
定义:
设设nnijrR)(是是n阶模糊方阵,阶模糊方阵,I是是n阶单阶单位位方阵,若方阵,若R满足满足
(1)自反性自反性:
);1(ijrRI
(2)对称性对称性:
);(jiijTrrRR(3)传递性传递性:
);1)max(2ijkjikrnkrrRR则称则称R为为模糊等价矩阵模糊等价矩阵。
41自反性可推出:
自反性可推出:
2RR与传递性:
与传递性:
2RR结合,可得到:
结合,可得到:
模糊等价矩阵实际满足模糊等价矩阵实际满足:
2RR1.2模糊聚类分析模糊聚类分析42定理定理:
设设R是是n阶阶模糊模糊等价等价矩阵矩阵,则则,10R所所决定决定的的分类分类中中的的每每一一个个类类是是R所所决定决定的的分类分类中中的的某某个个子子类类。
该定理表明,当该定理表明,当时,时,R的分类是的分类是R分类分类的的加加细细,当当由由1变变到到0时时,R的的分分类类由由细细变变粗粗,形成形成一一个个动态动态的的聚聚类类图图。
1.2模糊聚类分析模糊聚类分析4445例:
设例:
设对于模糊等价矩阵对于模糊等价矩阵,54321xxxxxU16.05.04.05.06.015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01R当当1时,分类为时,分类为;,54321xxxxx当当8.0时,分类为时,分类为;,54231xxxxx当当6.0时,分类为时,分类为;,54231xxxxx当当5.0时,分类为时,分类为;,25431xxxxx当当4.0时,分类为时,分类为.,54321xxxxx1.2模糊聚类分析模糊聚类分析46吨吨公斤公斤斤斤克克微克微克具体分析过程:
具体分析过程:
1.1.设设2.2.对模糊等价矩阵依次取对模糊等价矩阵依次取lambdalambda为为11,0.80.8,0.60.6,0.50.5,0.40.4,求得,求得lambdalambda截矩阵;截矩阵;3.3.针对每一个针对每一个lambdalambda截矩阵进行分类,截矩阵进行分类,rrijij=1=1,则,则xxii与与xxjj为一类为一类。
54321xxxxxU47当当1时,分类为时,分类为;,54321xxxxx当当8.0时,分类为时,分类为;,54231xxxxx当当6.0时,分类为时,分类为;,54231xxxxx当当5.0时,分类为时,分类为;,25431xxxxx当当4.0时,分类为时,分类为.,54321xxxxx49实际应用中建立一个模糊等价矩阵是不容易的,实际应用中建立一个模糊等价矩阵是不容易的,传递性一般不易满足。
传递性一般不易满足。
定义:
定义:
设设nnijrR)(是是n阶模糊方阵,阶模糊方阵,I是是n阶阶单位方阵,若单位方阵,若R满足满足
(1)自反性:
自反性:
RI;
(2)对称性:
对称性:
RRT;则称则称R为模糊相似矩阵。
为模糊相似矩阵。
1.2模糊聚类分析模糊聚类分析50例:
设有模糊相似矩阵例:
设有模糊相似矩阵同教材例同教材例8.513.02.03.011.02.01.01R213.02.03.012.02.02.01RRR).(13.02.03.012.02.02.01222RtRRR1.2模糊聚类分析模糊聚类分析51R=10.20.2;0.210.3;0.20.31;fuzzy_cdbb(R)此时传递闭包是:
此时传递闭包是:
t(R)=R2ans=1.00000.20000.20000.20001.00000.30000.20000.30001.000052二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤1.2模糊聚类分析模糊聚类分析建立数据建立数据矩阵,并矩阵,并标准化标准化(去量纲)(去量纲)建立模糊建立模糊相似矩阵相似矩阵求出传递求出传递闭包矩阵闭包矩阵根据传递根据传递闭包矩阵闭包矩阵计算计算截截矩阵矩阵根据根据截截矩阵进行矩阵进行模糊聚类模糊聚类根据根据模糊模糊聚类结果聚类结果画出聚类画出聚类图图STEP1STEP2STEP3二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵设论域设论域,21nxxxU为被分类对象为被分类对象(样本样本),每个对象又由每个对象又由m个指标表示其性状:
个指标表示其性状:
),2,1(,21nixxxximiii则得到原始数据矩阵为则得到原始数据矩阵为.)(mnijxX在实际问题中,不在实际问题中,不同的数据一般有不同同的数据一般有不同的量纲,为了使有不同量纲的量能进行比较,的量纲,为了使有不同量纲的量能进行比较,需要将需要将数据数据规格化规格化,常常用用的的方法有:
方法有:
1.2模糊聚类分析模糊聚类分析54
(1)标准差标准化)标准差标准化对于第对于第j个变量进行标准化,就是将个变量进行标准化,就是将ijx换成换成ijx,即,即)1,1(mjniSxxxjjijij式中:
式中:
.)(11,1121nijijjniijjxxnSxnx1.2模糊聚类分析模糊聚类分析55
(2)极差正规化)极差正规化minmaxminijijijijijxxxxx(3)极差标准化)极差标准化minmaxijijjijijxxxxx(4)最大值规格化)最大值规格化jijijMxx其中:
其中:
),max(21njjjjxxxM1.2模糊聚类分析模糊聚类分析56、建立模糊相似矩阵、建立模糊相似矩阵
(1)相似系数法)相似系数法夹角余弦法夹角余弦法mkjkmkikmkjkikijxxxxr12121相关系数法相关系数法mkjjkmkiikmkjjkiikijxxxxxxxxr12121)()(建立建立ix与与jx相似程度相似程度),(jiijxxRr的方法主要有:
的方法主要有:
1.2模糊聚类分析模糊聚类分析57
(2)距离法)距离法一般地,取一般地,取),(1jiijxxdcr,其中,其中,c为为适当选取的参数,它使得适当选取的参数,它使得.10ijr采用的距离有:
采用的距离有:
Hamming距离距离mkjkikjixxxxd1),(Euclid距离距离mkjkikjixxxxd12)(),(Chebyshev距离距离jkiknkjixxxxd1max),(1.2模糊聚类分析模糊聚类分析58(3)贴近度法)贴近度法最大最小法最大
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