数学物理方程与特殊函数全稿.pdf
- 文档编号:3434162
- 上传时间:2023-05-05
- 格式:PDF
- 页数:71
- 大小:1.39MB
数学物理方程与特殊函数全稿.pdf
《数学物理方程与特殊函数全稿.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学物理方程与特殊函数全稿.pdf(71页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第1页,共71页备备课课笔笔记记课程名称:
数理方法课程名称:
数理方法任课教师:
黄志祥任课教师:
黄志祥教学班级:
教学班级:
06电子信息电子信息上课时间:
上课时间:
20072008学年第一学期学年第一学期任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第2页,共71页教材:
教材:
数学物理方程数学物理方程与特殊函数与特殊函数南京工学院数学教研组编授课教师:
黄志祥授课教师:
黄志祥将数学方法应用于现代高新技术领域,并构建成典型的数学物理模型和解决问题的方法,从而形成了实用性很强的数学物理方法.数学物理方法是以高等数学和大学物理为基础的,但拓深了高数的内容,同时给出了各个专业领域里具有普遍意义的典型物理模型的数学解法.本课程将培养我们从纯数学的学习转入到将数学和物理相结合,并将抽象数学应用于解决实际问题的能力.本课程的主要内容:
三种典型方程的建立具体边界条件不同方程的求解方法.BesselLegendreGreen函数分离变量法(有界)特殊函数函数行波法和积分变换法(无界)函数法(有界或无界)授课方式:
以板书形式讲解典型方程的求解方法为主,由Matlab给出具体方程结果的图形并结合PPT作物理解释.顺便复习巩固高数及普物相关内容.参考资料参考资料:
1.数学物理方法数学物理方法(第三版第三版),汪德新,汪德新编,科学出版社,编,科学出版社,2007年年4月月.2.数学物理方法与计算机仿真数学物理方法与计算机仿真,杨华军,杨华军编,电子工业出版社,编,电子工业出版社,2006年年7月月.3.MATLAB及在电子信息课程中的应用及在电子信息课程中的应用(第第3版版),陈怀琛,陈怀琛等等编著编著,电子工业出版社电子工业出版社,2006.预备知识1.基本概念基本概念偏微分方程:
含有未知多元函数及其偏导的方程,如2122121(,;,;,)0nnuuuuFxxxuxxxx其中:
12(,)nuuxxx为多元函数.方程的阶:
未知函数导数的最高阶数;方程的次数:
最高阶偏导的幂次;线性方程:
未知函数及未知函数偏导数的幂次都是一次的称为线性方程,否则就是非线性的;任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第3页,共71页自由项:
不含未知函数及其导数的项;齐次方程:
没有自由项的偏微分方程称为齐次方程,否则称为非其次的;方程的解:
若将某函数代入偏微分方程后,使方程化为一个恒等式,则该函数为方程的解;通解:
包含任意独立函数的方程的解,且独立函数的个数等于方程的阶数;特解:
不含任意独立函数的方程的解.例如:
22()()sincosuuxyxy为一阶非线性非齐次偏微分方程;2222220uuuxyz为二阶线性齐次方程;二阶线性非其次偏微分方程22uyxxy的通解为221(,)()()2uxyxyxyFxGy其中,(),()FxGy为两个任意独立的函数.注意:
通解所含独立函数的个数偏微分方程的阶数.2.线性偏微分方程解的特征线性偏微分方程解的特征含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式为(,)LuGxy其中,L为二阶线性偏微分算符,满足11221122.LcucLuLcucucLucLu
(1).齐次线性偏微分方程解的特征a.当u为方程的解,则()cucR也为方程的解;b.12,uu为方程的解,则1122cucu也为方程的解.
(2).非齐次线性偏微分方程解的特征a.Iu为非齐次方程的特解,IIu为齐次方程的通解,则IIIuu为非其次的通解;b.若1122(,),(,).LuHxyLuHxy则1212(,)(,).LuLuHxyHxy任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第4页,共71页(3).线性偏微分方程的叠加原理若ku是方程(1,2,)kLufk的解(其中L为二阶线性线性偏微分算符),如果级数1()kkkkcucR收敛,且二阶偏导数存在,则1kkkucu一定是1kkkLucf的解;特别地,若ku是方程0Lu的解,则1kkkucu一定是0Lu的解.第一章第一章典型方程和定解条件的推导典型方程和定解条件的推导1.1三类基本方程的建立三类基本方程的建立0.二阶线性偏微分方程归类二阶线性偏微分方程归类双曲型方程:
以波动方程为代表2222(,;).uaufxyztt描述:
各项同性的弹性体的波动、振动过程、声波、电磁波的传播规律等.抛物型方程:
以热传导方程为代表22(,;).uaufxyztt描述:
扩散过程、热传导过程满足的规律.双曲型方程,抛物型方程都是随时间变化的(发展的),有时也称为发展方程.椭圆型方程:
以Poisson方程为代表2(,;).ufxyzt当(,;)0fxyzt时,方程退化为Laplace方程.描述:
稳定场方程,如重力场、静力场、静磁场.1.波波动方程的建立动方程的建立弦的微小横振动问题弦的微小横振动问题考虑一根均匀柔软的细弦沿x轴绷紧,在平衡位置附近产生振幅极小的横振动,如图1.1所示.设(,)uxt是平衡时坐标为x的点t时刻沿y方向的位移,现在求弦上各点的运动规律.“采用隔离法”研究一小段(,)xxdx与外界的相互作用以建立方程.假设:
(1)弦是完全柔软的,所以张力T沿着弦振动波形的切线方向;
(2)只讨论弦做横向振动,故忽略弦在水平方向的位移,弦的横向加速度为ttu,任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第5页,共71页单位长度的质量为或线密度为;(3)振动的振幅是极小的,因此张力与水平方向的夹角12,也是很小的,则332sin,3!
tan,3cos11.2!
iiiiiiiiii而2tan1().Tiiuukdsdxdxxx根据牛顿第二运动定律,在(纵向)水平方向上有21()cos()cos0()().TxdxTxTxdxTxTR在横向上有21sinsin()()()().ttttxdxxTTgdsdsuuuTgdsdsuxx根据()()()fxdxfxfxdx,上式可以化简为2222()().ttttuuTdxgdsdsuTguxx即弦的横振动方程为2222.(,)ttxxxxuTuauguax此式即为弦做微小横振动的运动方程,简称弦的振动方程,其中a就是弦上振动传播的速度.任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第6页,共71页图1.1所示讨论:
若弦的重量远远小于弦的张力,则重力加速度可以忽略不计,其运动方程为2.ttxxuau(*)此式称为弦的自由振动方程自由振动方程,也称为一维波动方程一维波动方程.如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)Fxt作用,则(*)式可以改为2(,).(*)ttxxuaufxt则(*)式称为弦的受迫振动,其中(,)(,).Fxtfxt传输线方程传输线方程(微波技术基础微波技术基础)今考虑一段高频的传输线,此时它被当作具有分布参数的导体,其等效电路模型为图1.2所示.由于输入的是交变电压,所以电压及电流将沿着传输线长度x变化,通常还是时间t的函数.下面来建立分布于传输线上的电压(,)vxt及电流(,)ixt所满足的方程.相关参数说明如下:
R每一回路单位的串联电阻,L每一回路单位的串联电感,C每一单位长度的分布电容,L每一单位长度的分布电导.图1.2设某瞬间在传输线上距离始端为x处的电压及电流分别为(,)vxt及(,)ixt.对dx小段回路进行分析,利用基尔霍夫第二定律,电压降应等于电势之和,可以得到(,)(,).ivxtvxdxtRdxiLdxt任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第7页,共71页令0dx,则(,)(,).xvxdxtvxtvdx从而0.viRiLxt(*)同样,电流(,)ixt由点xxdx时也有变化,有一部分电流将流向分支中的电导与电容.根据基尔霍夫第一定律,流入节点x的电流总和应该等于从节点流出的电流总和.另一方面,流经分支电容及电导的电流分别为vCdxt及.Gdxv因此(,)(,).vixtixdxtCdxGdxvt同样令0dx,则(,)(,).xixdxtixtidx从而0.ivCGvxt(*)由(*)及(*)可以分别得到(,)vxt及(,)ixt满足的方程22222222()().vvvLCRCGLGRvxttiiiLCRCGLGRixtt上式称为一般的传输线方程(电报方程).特别地,当信号在无失真线上传播时(RCLG),传输线方程为22222222222222121(,)12.vvvvxatataRGLCiiiixatat当传输线为无耗线时(0RG),传输线方程变为22222222.vvLCxtiiLCxt它与波动方程具有类似的数学形式.2.抛物型方程抛物型方程热传导方程的建立
(1).定义:
由于温度不均,热量将从温度高的地方向温度低的地方转移,这种现象叫做热传导现象.支配热传导现象的定律为能量守恒定律及傅立叶定律.任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第8页,共71页
(2).傅立叶定律在dt时间内,通过面积元dS流入小体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率un成正比,也与dS及dt成正比,即().udQkdSdtkudSdtn其中,k为导热系数,由物体的材料决定.(3).热传导方程的建立现在求t时刻,物体内各点温度(,;)uxyzt应满足的规律.首先,根据傅立叶定律,从12tt时刻,通过曲面S流入体积V的全部热量为211.ttSQkudSdt其次,从12tt时刻,体积V中热源释放的热量为212(,;)dV.ttVQFxyztdt再次,从12tt时刻,体积V中温度变化所需的热量为213.ttVuQcdVdtt其中,c为物体比热,为物体密度.(注意:
比热公式.Qcmt)最后,根据能量守恒定律,得123.QQQ即222111(,;).ttttStVtVukudSdtFxyztdtcdVdtt(,;):
.()(,;)SVVSVVVVukudSFxyztdVcdVtGaussAdSAdVAuukudVFxyztdVcdVt21(,;)(,;).ukukuFxyztcuFxyzttcct所以,2221(,;).()ukauFxyztatcc此式即为三维热传导方程.特别地,若物体内无热源,则上式可以改为任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第9页,共71页222.()ukauatc在三维直角坐标系下,2222222.uuuuxyz3.椭圆型方程椭圆型方程静电场满足的Poisson方程.考虑在介电常数为的介质中,电荷分布为(,)fxyx,静电场(,)Exyx遵守的方程.
(1).支配静电现象的若干规律静电场的散度方程:
/.fE静电场的旋度方程:
0.E
(2).方程的建立.由00EEuu,其中u为静电势,2/./.ffEuuE称2/fu为Poisson方程.特别地,当没有电荷分布时,静电场满足Laplace方程20.u1.2定解条件定解条件(初始条件与边界条件初始条件与边界条件)1.初始条件初始条件定义:
说明某一具体物理现象的初始状态.例如:
对于热传导问题,若已知物理量u的初始温度分布,即0(,;)|(,).tuxyztxyz其中(,)xyz为已知函数.对于振动过程,由于出现ttu,所以需要两个初始条件,即初始位移及初始速度:
00(,;)|(,).(,;)|(,)tttuxyztxyzuxyztxyz而对于描述稳态场的Poisson方程与Laplace则没有初始条件.注意:
初始条件应当给出的是整个系统的初始状态,而不仅是系统个别点的状态.例1.一根长为l的两段固定的弦,用手将它的中点横向拉开距离为h,如图1.3所示,然后放手任其自由振动.写出它的初始条件.任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第10页,共71页图1.3解:
002,0/2(,)|;(,)|0.2(),/2ttthxxlluxtuxthlxlxll2.边界条件边界条件定义:
描述系统在边界上的情况.从数学上归纳为三类边界条件:
(1).第一类边界条件(Dirichlet).给出未知函数在边界上的值:
000000(,;)|(,;);,.uxyztfxyztxyz例如:
弦的两端固定,其边界条件为(0,)0,(,)0.utult
(2).第二类边界条件(Neumann).给出未知函数在边界上的法向导数值:
000000(,;)(,;);,.uxyztfxyztxyzn例如:
考虑细杆的导热问题,若杆的某个端点xa有热量沿该端点外法线流出,则其边界条件为|().nxakuft绝热状态:
|0.nxaku判定:
边界上给定杆一端“自由”、“绝热”“限定源扩散”等.(3).第三类边界条件(Robin).给出未知函数在边界上的值与边界的法向导数值之间的线性关系:
000000(,;)(,;)(,;);,.uxyztuxyztkfxyztxyzknR例如:
在杆的导热问题中,若杆在某个端点xa自由冷却,即从杆流出的热量强度|nxaku与温度差0|xauu之间的关系为00|(|)()|.nxaxanxakkuhuuuuuh任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第11页,共71页其中0u为周围介质的温度.判定:
边界上给定“自由冷却(热传导问题中)”、“物体内部与外部进行热量交换(热传导问题中)”、“有弹性支撑(弦振动问题中)”.注意:
边界条件也分有齐次边界条件与非齐次边界条件之分,其定义如前微分注意:
边界条件也分有齐次边界条件与非齐次边界条件之分,其定义如前微分方程的齐次与非齐次类似方程的齐次与非齐次类似.边界条件还会遇到衔接边界条件;有限性条件;周期边界条件还会遇到衔接边界条件;有限性条件;周期性条件等性条件等.例2.长为l的弦两段固定,线密度为,开始在xc(|)xc处受到冲量I的作用.写出定解条件.解:
(1)边界条件:
(0,)(,)0.utult
(2)初始条件.初始位移:
(,0)0.ux初始速度:
在|xc段,由动量定理21ttpFdtI及(,0)2(,0).ttpmuxux所以(,0).|2.(,0)0.|ttIuxxcuxxc1.3定解问题的提法定解问题的提法1.定解问题的三种提法定解问题的三种提法
(1).初值问题:
只有初始条件没有边界条件的定解问题;
(2).边值问题:
只有边界条件没有初始条件的定解问题;(3).混合问题:
既有初始条件又有边界条件的定解问题.2.定解问题的适定性定解问题的适定性
(1).解的存在性.
(2).解的唯一性.(3).解的稳定性.如果一个问题的解是存在、唯一且稳定的,则称此问题是适定的.第二章第二章分离变量法分离变量法0引言引言偏微分方程可实施分离变量的条件:
对于常系数二阶齐次偏微分方程总是可以实施变量分离的;而对于变系数的二阶齐次偏微分方程则需要满足一定的条任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第12页,共71页件,才可以实施变量分离.边界条件可实施变量分离的条件:
只有当边界条件(第一类、第二类及第三类边界条件)为齐次的,方可分离出单变量未知函数的边界条件.此外,进行分离变量时,需要根据边界条件选择适当的坐标系,如直角坐标系、极坐标系(二维),柱坐标系及球坐标系.2.1直角坐标系下的分离变量直角坐标系下的分离变量(有界问题有界问题)1.分离变量法简介分离变量法简介下面以一维有界弦的自由振动为例,阐述分离变量法的基本思路与主要步骤.例1具体考虑长度为l,两端固定的均匀弦的自由振动,即下列定解问题范定方程20.(0,0)ttxxuauxlt边界条件0(,)|0,(,)|0.(0)xxluxtuxtt初始条件00(,)|(),(,)|().(0)tttuxtxuxtxxl注意:
此问题中,方程和边界条件均为齐次的,初始条件为非齐次的,所以可以用分离变量法求解.【解】第一步:
分离变量.将分离变量形式的试探解(,)()()uxtXxTt代入齐次范定方程和齐次边界条件,导出独立变量满足的常微分方程的边值问题.注意到,xt为独立的自变量,由此范定方程变为22()()()()()()0.()()XxTtXxTtaXxTtXxaTt(为常数)于是,范定方程可以分离成两个常微分方程,即范定方程2()()0.()()0XxXxTtaTt齐次边界条件(0)()0,()()0(0)(0)()0.XTtXlTttXXl第二步:
求解本征值(固有值)问题.现求解()Xx满足的常微分方程任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第13页,共71页()()0.(0)()0XxXxXXl
(1)分0,0,0三种情形逐一加以分析.当0时.
(1)的通解为12().xxXxCeCe常数12,CC由边界条件确定,即121212120()0.0(0)()0xxllCCXxCeCeCCCeCeXXl从而()0(,)0.Xxuxt无意义,不合题意.当0时.
(1)的通解为12().XxCxC由边界条件同样得到120.CC从而()0(,)0.Xxuxt无意义,不合题意,也应舍去.当0时.
(1)的通解为12()cossin.XxCxCx由11212120()cossincossin0(0)()00,sin0.CXxCxCxClClXXlCCl此时,若2sin00(,)0.lCuxt所以一定有222sin0().nnllnnZl与n对应的函数为22()sin.()nnXxCxClR注意:
分离变量过程中引入的常数只能取222nl这种特定数值,才可以得到有意义的解.常数的这种特定数值称为本征值,相应的解称为本征函数.方程
(1)构成本征值问题.第三步:
求解()Tt满足的常微分方程.将222nnl代入2()()0TtaTt中,得到任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第14页,共71页2()()()0()cossin.nnnananaTtTtTtCtDtlll式中,nnCD为待定常数.第四步:
作特解的线性叠加.根据以上分析,可以得到原问题的特解为2(,)()()sincossinnnnnnnanauxtXxTtCxCtDtlll(sin)(cossin).(1,2,)nnnnanaxCtDtnlll由于范定方程与边界条件均为线性而且齐次的,故线性叠加后的解1(,)(sin)(cossin).nnnnnanauxtxCtDtlll(*)仍然满足范定方程和边界条件.此处,,nnCD尚未确定.第五步:
由初始条件确定系数.代入初始条件00(,)|(),(,)|().(0)tttuxtxuxtxxl可以得到11(sin)()(sin)()nnnnnCxxlnanDxxll利用正弦函数的正交性,0sinsin.(,1,2,)2lmnmxnxldxmnll用sinmxl乘以上式两边后,对x从0到l积分,可得002()sin.(1,2,)2()sin.(1,2,)lnlnnxCxdxnllnxDxdxnll将,nnCD代回(*)式即得定解问题的解.2.解的物理意义解的物理意义先看级数的每一项(,)(sin)(cossin)cos()(sin).nnnnnnnnananuxtxCtDtEtxllll任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第15页,共71页式中22,arctan.nnnnnnnnaDECDlC我们知道,形如cos()nnnEt的函数代表一种简谐振动,它的角频率为n,因此(,)nuxt代表这样的振动波:
在所考察的弦上各点以同一圆频率做简谐振动,其振幅为|sin|nnExl依赖于点x的位置,为驻波驻波(与与行波行波对应对应).在2
(1)0,llnlxlnnn这些点上,振幅为零,这些点称为波nu的节点或波节节点或波节点点;在3(21),222llnlxnnn这些点上,振幅达到最大值,这些点称为波nu的腹腹点或波腹点点或波腹点.例2.设长为l的均匀杆,两端的坐标为0x及xl,杆的侧面是绝热的,且在端点0x处的温度为零,而在另一端xl处杆的热量自由发散到周围温度是零度的介质中去,杆内初始温度分布为()x,求杆内温度随时间的变化规律.解:
定解问题为222,0,0(,)(0,)0,(,)0;.(,0)()uuaxlttxultuthultxuxx第一步:
分离变量.令(,)()()uxtXxTt,将其代入范定方程,仿上例,得22()()0()()()()()()0XxXxXxTtXxaTtTtaTt第二步:
求解本征值(固有值)问题.现求解()Xx满足的常微分方程()()0.(0)0,()()0XxXxXXlhXl分0,0,0三种情形逐一加以分析.当0时.
(1)的通解为12().xxXxCeCe常数12,CC由边界条件确定,即任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第16页,共71页12121212120()0(0)0,()()00.xxllllCCXxCeCeCeCehCehCeXXlhXlCC从而()0(,)0.Xxuxt无意义,不合题意.当0时.
(1)的通解为12().XxCxC由边界条件同样得到120.CC从而()0(,)0.Xxuxt无意义,不合题意,也应舍去.当0时.
(1)的通解为12()cossin.XxCxCx由11222120()cossincossin0(0)0,()()00,(tan)0tan.CXxCxCxClhClXXlhXlCCllhh可以看成是曲线1tanyl与直线2yh交点的横坐标(如图2.1所示),显然它们的交点有无穷多个,于是可以得到无穷多个(正)本征值120.n及相应的固有函数22()sin.()nnXxCxCR-15-10-5051015-40-30-20-10010203040Xy1=tanxy2=-2x如图2.1第三步:
求解()Tt满足的常微分方程.将n代入2()()0TtaTt中,得到任课教师:
电子科学与技术学院黄志祥第17页,共71页2().natnTtCe式中nC为待定常数.第四步:
作特解的线性叠加.根据以上分析,可以得到原问题的特解为222(,)()()sinsin.(1,2,)nnatatnnnnnnuxtXxTtCxCeCexn由于范定方程与边界条件均为线性而且齐次的,故线性叠加后的解21(,)sin.natnnnuxtCex仍然满足范定方程和边界条件.此处,nC尚未确定.第五步:
由初始条件确定系数.代入初始条件0(,)|().(0)tuxtxxl可以得到1(,0)()sin.nnnuxxCx利用正弦函数的正交性:
2,00sinsin,sin.(,1,2,)llmnnmnnmxxdxLLxdxmn用sinnx乘以上式两边后,对x从0到l积分,可得01()sin.(1,2,)lnnnCxxdxnL将nC代回(,)uxt的表达式即得定解问题的解.3.分离变量法解题步骤分离变量法解题步骤
(1)选择合适的坐
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数学 物理 方程 特殊 函数