大学高数公式大全.docx
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大学高数公式大全
高等数学公式
导数公式:
基本积分表:
(tgx)=secx鹼日範齐C
jctgxd)'msecxHgxc
(cscx)cscxctgxsecxdx=Insecx©
(ax)axIna
escxdx=Inc^cx-ctgx-C
{时)、^x
arctg—C
axaa
(arcsinx)"=$12dx"1—x
2sejxdx=tgxC
(arcco§xx=——,2
=csf-x^dx=-ctgxC(arc^x)^—
[secxtgxdx^secx+C
(a^cs^'ctgxdx
12CSCXC
x
dx
~22
x-a
dx
.~22
a-x
rdx
」ln
2a
亠n
2a
x—a
xa
axdx-C
Ina
shxdx二chxC
JJ22
“a-x
ax
C
a—x
x
二arcsinC
a
chxdx二shxC
dx
.x2a2
=In(x.x2a2)■C
In
迟
2
=sinnxdx=
0
cos
0
n&n_1I
xdxIn2
n
2
.x2a2dx
、.x2-a2dx
-x2dx
=兰0*2+a2+丄|n(x+€x2+a2)+C
22
=xlx2_a2_d|nx+/
22
2
x22a.x
a-xarcsinC
22a
lnx*x2—a2+C
三角函数的有理式积分:
2usinx厂1+u
1-u2
cosx2,
1+u2
一些初等函数:
两个重要极限:
双曲正弦
双曲余弦
双曲正切
x-x
e—e
:
shx=
2
e+e
:
chx=
2
x-x
X1shxe-e:
thx二
sinx’
lim1
X)0x
ym.:
(1])x=e=2.718281828459045…
三角函数公
式:
•诱导公式:
chxexe^
■ arshx=1n(xarchx二In(xx2-1) 11+x arthxIn 21-x ^函^角A、, sin cos tg ctg -a -sina cosa -tga -ctga 90°-a cosa sina ctga tga 90°+a cosa -sina [-ctga -tga 180°a sina -cosa -tga -ctga 180-a -sina -cosa tga ctga 270-a -cosa -sina ctga tga 270-a -cosa sina -ctga -tga 360-a -sina cosa -tga -ctga 360-a sina cosa 「tga ctga -和差角公式: •和差化积公式: sin(用二I')二sin: cosl,二cos: sin-cos(二I)=cos: cos二sintsin: tg;二tg- tg(、•二1: )-“ 1干tgatgP 化ctgactgB+1 ctg(x二卜)= ctgl-二ctgj tya+Pa-P sin二亠sin: 二2sincos 22 任a+Pa-P sin二「sin: =2cossin 22 aa+Pa-P cos: cos--2coscos— 22 Ra+Pa-P cos: --cos: =2sinsin 22 •倍角公式: sin2: -2sin: cos: cos2: 222 =2cos: : -1=1—2sincos ・2 -sin: sin3: =3sin: -「4sin3: - ctg2: 2 ctg: -1 3 cos3: =4cos': 「3cos: 2ctg: 2tg: 3 3tga-tga tg22 1-tg2。 tg3二 1-3tga -半角公式: .a: 1-cosa吋刊—T- a[1—cosa1—cosasinot tg— 2■,1cos: sin: 1cos: a'1+cosa cos— 2■2 a: 1+co泊1+co少sina ctg. 21-cos: sin: 1-cos: -正弦定理: a sinA b_c sinBsinC =2R•余弦定理: 222 cab—2abcosC arctgx二一-arcctgx 2 M点的曲率: .(1y2)3. •反三角函数性质: arcsinx二一-arccosx 2 高阶导数公式莱布尼兹(Leibniz)公式: n (n)k(n上)(k) (uv)Cnuv k=0 =u(n)vnul也口uF”H乂丘—『吋juv(n) 2! k! 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理: f(b)-f(a)二f(J(b-a) 柯西中值定理: 丄包血丄^ F(b)-F(a)F徉) 当F(x)二x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 曲率: 弧微分公式: d^,1y2dx,其中y'tgt 化量;As: MM弧长。 平均曲率: R-「「]・•: 从M点到M点,切线斜率的倾角变直线: K=0; 1 半径为a的圆: K二一. a 定积分的近似计算: b 矩形法: f(x) a b 梯形法: f(x) a b 抛物线法: f(x) a : bza(yo%ynj) n b-a「1, : 〒耶%s*y』 b—a 工[®yn)2"%沁)伽%儿)] 定积分应用相关公式: 功: W=Fs 水压力: F=pA 引力: 卩十響*为引力系数 r 函数的平均值: b-a f(x)dx a 均方根: la b 2 .f(t)dt 空间2点的距离: d=M1M2=U(X2—Xi)2+(y2—%)2+(Z2—zj2 a 空间解析几何和向量代数: 向量在轴上的投影: PrjuAB-|ab|cos: : ■■是AB与u轴的夹角。 Prju(a「a2^Prja1PJa? ab=abcos日=axbx+ayby+azbz,是一个数量 两向量之间的夹角: axbx+ayby+azbzcos-: \厲2+ay2+az2£bx2+by2+bz2 -ijc=a5=axaybxby k az,c=absin日.例: 线速度: bz axayaz 向量的混合积: [abc]=(a汇b)c=bxbybz CxCyCz 代表平行六面体的体积 abccos: /为锐角时, 平面的方程: 1点法式: A(x-X。 )B(y-y°)C(z-zo)=0,其中n={A,B,C},Mo(x°,y°,Zo) 2、一般方程: AxByCzD=03、截距世方程: c 平面外任意一点到该平 AxoByoCzoD 面的距离: d二 JA2+B2+C2 空间直线的方程: X-X0 m -一=——=t,其中s={m,n,p};参数方程: %nP x=x0mty=y°ntz二z0pt 二次曲面: 椭球面: 2、 3、 单叶双曲面 双叶双曲面 4 + 2 2 2一 a b c 2 2 x y: 二乙(X 2p 2q 2 2 2 : x ..y z : 2 .2 2 a b c 2 2 2 : x y z_ : 2 .2 2 a b c 2 抛物面: 双曲面: =1(马鞍面) 同号) -1 22 多元函数微分法及应用 全微分: dz二二dx•三dy x: y cu£ucu dudxdydz x: yz Z二f[u(t),v(t)] z二f[u(x,y),v(x,y)] : x y -y二 Fx 亡 .2 Q(Fx(- dx Fy dx xFy -z Fx -z Fy : x Fz, ■y Fz 隐函数F(x,y)=0, 隐函数F(x,y,z)=0, cvcv dvdx一 cFxdy 全微分的近似计算: zdz二fx(x,y)xfy(x,y): y 多元复合函数的求导法: dz: z: u: z: vdt一: u说: v;: t L、L、L、 : z: z: u: z: v —-■ L、、L\L\L\L\ x: u: x: v: x 当u=u(x,y),v=v(x,y)时,du=±dx昱dy &dy 隐函数的求导公式: : F : F 隐函数方程组: 」 G(x,y,u,v)=0 J— 1 c(F,G) 1 £(F,G) dx J &x,v) J c(u,x) du 1 c(F,G) 1 c(F,G) 创 J £(y,v) J 8(u,y) : : (u,v) 微分法在几何上的应用: [xf) 空间曲线y(t)在点皿他畀0卫)处的切线方程: Z-(t) : G .: u x-Xo Fu Gu Fv Gv y-y。 (to) Z-Z。 ■(to) 在点M处的法平面方程: (to)(x-xo)宀(to)(y-y°),(to)(z-zo)=0 若空间曲线方程为: [F(x,y,z)=0则切向量F={FyFFzFFxF G(x,y,z)=0GyGzGzGxGxGy『 曲面F(x,y,z)=0上一点M(Xo,y°,Zo),则: 1、过此点的法向量: n={Fx(x°,yo,z°),Fy(x°,y°,zo),Fz(x°,y°,z。 )} 2、过此点的切平面方程: Fx(xo,y°,zo)(x-Xo)•Fy(xo,yo,zo)(y-y°)•Fz(xo,y°,zo)(z-zo)二。 3、过此点的法线方程: 方向导数与梯度: x--yo- Fx(Xo,y°,Zo)Fy(xo,y°,zo)Fz(x°,yo,Zo) 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向I的方向导数为: 」丄cos—sinclexcy 其中: 为x轴到方向I的转角。 函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度: gradf(x,y)ij excy f 它与方向导数的关系是: 一=gradf(x,y)e,其中e=cos: 「i,sin: : ・j,为I方向上的 单位向量。 -是gradf(x,y)在l上的投影。 多元函数的极值及其求法: fxy(xo,yo)=B,fyy(xo,yo)=C 设fx(xo,yo)=fy(xo,yo)=0,令: fXX(xo,y0)=A, 2»<0,(x0,y0)为极大值 AC-B2A0时, >0,(Xo,yo)为极小值 贝AC—B2£0时,无极值 AC—B2=0时,不确定重积分及其应用: 11f(x,y)dxdy=f(rcosv,rsin"rdrdv 二f(x,y)的面积A二 DD' JfxP(x,y)dbUyP(x,y)dcr 平面薄片的重心: _MxD_Myd x,y= M! i」(x,y)d二Mi,: (x,y)dc DD 曲面z 平面薄片的转动惯量: 对于x轴Ix=By? P(x,y)dcr,对于y轴Iy=jfx^(x,y)dc DD 平面薄片(位于xoy平面)对z轴上质点M(0,0,a),(a■0)的引力: F={Fx,Fy,Fz},其中: (x,y)xd二 Fx-fM3, D/2222 (xya)2 柱面坐标和球面坐标: (X,y)yd二 Fy-fII3, D/2丄2丄2行 (xya)2 (x,y)xdc Fz=-fa3 D/222“ (xya)2 x=rcos9 柱面坐标: ty=rsin0, z=z ! ! ! f(x,y,z)dxdydz川F(rj,z)rdrdMz,QQ 其中: F(rj,z)=f(rcosQrsin日,z) |x=rsin: cos 球面坐标: y二rsin「sinv,dv二rd「rsin「dr二r2sindrdd z=rcos: 2兀JTr(Q8 f(x,y,z)dxdydz二F(r,,v)r2sindrdddd「F(r,: ^)r2sindr 000 111 重心: x=—iiix^dv,iiiypv,iiiz'dv,其中M二x-;? dv MdM5M五五 转动惯量: Ix=(y2z2)「dv,Iy=(x2z2)「dv,Iz=(x2y2)「dv QQQ 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): 设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为: 丿乂-%),伴兰t兰B),则: y=^(t) x=t P; .f(x,y)ds二f[(t)? (t)h: 2(tK'2(t)dt(: : : )特殊情况: L、'一 第二类曲线积分(对坐 设L的参数方程为 P(x,y)dx■Q(x,y)dy L 两类曲线积分之间的关 L上积分起止点处切向量 格林公式: (二_ D'CX 标的曲线积分): 二'⑴,则: =-(t) P =j{p[「⑴,(t)r': (t)■q[(t)r-(t)}dta 系: Pdx亠Qdy=(Pcos: - l'■' 的方向角。 亠Qcos|.: ')ds,其中 : .和『'分别为 当P-_y,Q=x,即: 平面上曲线积分与路径 1、G是一个单连通区域; 土)dxdy=PdxQdy 訓L 卫一兰=2时,得到 ;x: y 无关的条件: 格林公式: D的面积: 2、P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数 ,且 =-Pdx-Qdy L 1 二dxdyxdy—ydx 2L 二=。 注意奇点,如 ;: x: : y (0,0),应 减去对此奇点的积分, 二元函数的全微分求积 注意方向相反! 在卫=上时,Pdx-Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分,其中: ;: x: y (x,y) u(x,y)=P(x,y)dxQ(x,y)dy,通常设x0=y0=0。 (X。 ,yo) 曲面积分: 对面积的曲面积分: J/f(x,y,z)ds=JJf[x,y,z(x,y)](1+z;(x,y)(x,y)dxdy 为Dxy 对坐标的曲面积分: 11P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy,其中: z 号; 号; R(x,y,z)dxdy=R[x,y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上侧时取正瓦Dxy 取曲面的前侧时取正 ! )P(x,y,z)dydz二P[x(y,z),y,z]dydz, 送Dyz IiQ(x,y,z)dzdx二Q[x,y(z,x),z]dzdx,取曲面的右侧时取正号。 ZD; 两类曲面积分之间的关系: iiPdydz-Qdzdx-Rdxdy=(Pcos•工^Qcos: •Rcos)ds zz 高斯公式: FPEQcR iii()dv二PdydzQdzdxRdxdy11(Pcos-八Qcos: Rcos)ds 门: x: yz 高斯公式的物理意义——通量与散度: 散度: div、•一兰•2•兰,即: 单位体积内所产生的流体质量,若div—: 0,则为消失… x: y: z 通量: IlAnds二Ands二(Pcos: Qcos: Rcos)ds, zzz 因此,高斯公式又可写成: divAdv: 肓Apds 斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系: 旋度: rotA= j -: y Q 向量场A沿有向闭曲线 )cR )dzdx+(2. -——)dxdy=qPdx+Qdy+创f dydz dzdx dxdy cosot cosP cosY =ff £ 泳 cz. JJy ex 创 cz P Q R P Q R 关的条件: gRcQ =、 cP cRcQ cP cz cz f-.f-. exex 讷 空间曲线积分与路径无 k Rdz 上式左端又可写成: jj t tRcQ )dydz( 、C立 .: z R : 的环流量: ■-PdxQdyRdz=: Atdsf 常数项级数: 等比数列: 等差数列: 调和级数: n ,2n_11-q qq亠亠q 1-q (n+1)n •2•3川-诘‘n=2 -—-是发散的 23 级数审敛法: 1、正项级数的审敛法 设: Q=limnun,则 n— 根植审敛法(柯西判时,级数收敛r.1时,级数发散 、P=1时,不确定 别法): 2、比值审敛法: p.--: : i时,级数收敛丄,贝9二.1时,级数发散n1时,不确定 3、定义法: 散。 un0)的审敛法莱布尼兹定理: sn=山亠u2亠■亠un;lim-Sn存在,则收敛;否则发父错级数5_口2u3u^(或_5.口2_口3■… 如果交错级数满足hc,那么级数收敛且其和其余项rn的绝对值rn兰片出 lim山=0 n汽: 绝对收敛与条件收敛: 优质参考文档 (I)"•U2亠■亠Un•…,其中Un为任意实数; (2)5十应|+心|+…+|Un十… 如果 (2)收敛,则 (1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数; 如果 (2)发散,而 (1)收敛,则称⑴为条件收敛级数。 调和级数: 、•1发散,而◎匸收敛; nn 1 级数: '"收敛; n p级数辽丄(巾兰1时发散 np\p>1时收敛 幕级数: 1xx2 x3亠-xn 对于级数 2 (3)a0a1x-a2x川…川anx 数轴上都收敛,则必存 在R,使 /xc1时,收敛于— '1-x _1时,发散 •…,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全 : : : R时收敛 -R时发散 二R时不定 ,其中R称为收敛半径。 求收敛半径的方法: 设 函数展开成幕级数: 二『,其中an, ;? -0时,R二丄 /戸 an,是⑶的系数,则20时,Rhf -•: : 时,R=0 函数展开成泰勒级数: f(x)=f(xo)(x-xo)今(x-x。 )2 (n)(xo) x0=0时即为麦克劳林公式: f(x)二f(0)f(0)x-^^x2血川f⑼xn 2! n! n 些函数展开成幕级数: (n1), 余项: Rn=f(2(x-x0)nsf(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是: limRn=0 (n+1)! mpc (―1: : : x: : : 1) 丄m丄丄m(m一1)2 (1X)=1mx七一 +…十m(m-1)…(m-n+1.十 n! -: : : : : X-2) 35 x,xsinx=x- 3! 5! 欧拉公式: n1 亠(_1)n」_x (2n—1)! ix.ix e+ecosx二 ix ecosxisinx 2 ix-ix e-esinx=.2 三角级数:
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