85 851 直线与直线平行.docx
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85851直线与直线平行
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
课标要求
素养要求
1.了解基本事实4和定理.
2.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线平行的关系.
在学习和应用基本事实4和定理的过程中,通过判定和证明空间两条直线的位置关系,发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养.
教材知识探究
国旗是我们伟大祖国的象征和标志,代表祖国的尊严.升降国旗制度是学校对学生进行的爱国主义教育.升旗仪式时同学们都站得整齐如一,如图.若其中两位升旗手所在的直线分别为a,b,旗杆所在的直线为c.
问题
(1)直线a平行于直线c吗?
直线b平行于直线c吗?
直线a平行于直线b吗?
(2)由此你能得出什么结论?
提示
(1)平行,平行,平行.
(2)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
1.基本事实4 直线与直线平行具有传递性
平行于同一条直线的两条直线平行.
2.定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
图形语言
作用
判断或证明两个角相等或互补
教材拓展补遗
[微判断]
1.垂直于同一直线的两条直线互相平行.(×)
2.分别和两条异面直线平行的两条直线平行.(×)
3.如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(√)
提示 1.垂直于同一直线的两条直线可能互相平行、相交或异面.
2.分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面.
[微训练]
1.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于( )
A.30°B.30°或150°
C.150°D.以上结论都不对
答案 B
2.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M,N,P,Q,则四边形MNPQ是________.
解析 如图所示.
∵点M,N,P,Q分别是四条边的中点,
∴MN∥AC且MN=
AC,
PQ∥AC且PQ=
AC,
即MN∥PQ且MN=PQ,
∴四边形MNPQ是平行四边形.
又∵BD∥MQ,AC⊥BD,∴MN⊥MQ,
∴平行四边形MNPQ是矩形.
答案 矩形
[微思考]
1.如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?
提示 不一定.这两条直线可能相交、平行或异面.
2.同一平面内,一个角的两条边与另一个角的两条边分别平行,那么这两个角相等或互补.空间中是否有类似规律?
提示 有.观察图形有∠AOB=∠A′O′B′.
题型一 证明直线与直线平行
【例1】 如图所示,在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:
四边形EFGH是平行四边形;
(2)如果AC=BD,求证:
四边形EFGH是菱形.
证明
(1)因为空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
所以EF∥AC,HG∥AC,EF=HG=
AC,
所以EF∥HG,EF=HG,
所以四边形EFGH是平行四边形.
(2)因为空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,
所以EH∥BD,EH=
BD.
因为EF=
AC,AC=BD,所以EH=EF.
又因为EFGH是平行四边形,所以四边形EFGH是菱形.
规律方法 证明两直线平行,目前有两种途径:
一是应用基本事实4,即找到第三条直线,证明这两条直线都与之平行;二是证明同一个平面内这两条直线无公共点.
【训练1】 在正方体ABCD-A′B′C′D′中,E,F,E′,F′分别是AB,BC,A′B′,B′C′的中点,求证:
EE′∥FF′.
证明 因为E,E′分别是AB,A′B′的中点,
所以BE∥B′E′,且BE=B′E′.
所以四边形EBB′E′是平行四边形,
所以EE′∥BB′,同理可证FF′∥BB′.
所以EE′∥FF′.
题型二 等角定理及应用
【例2】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,E1分别是棱AD,A1D1的中点.求证:
∠BEC=∠B1E1C1.
证明 如图,连接EE1.
∵E1,E分别为A1D1,AD的中点,
∴A1E1綉AE,
∴四边形A1E1EA为平行四边形,
∴A1A綉E1E.
又A1A綉B1B,∴E1E綉B1B,
∴四边形E1EBB1是平行四边形.
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠B1E1C1与∠BEC的两边分别对应平行,且方向相同,∴∠B1E1C1=∠BEC.
规律方法 空间角相等的证明方法
(1)等角定理是较常用的方法.
(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.
【训练2】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点.
求证:
(1)EF綉E1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
证明
(1)如图,连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF綉
BD.
同理,E1F1綉
B1D1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1綉DD1,
所以四边形BB1D1D为平行四边形,所以BD綉B1D1.
又EF綉
BD,E1F1綉
B1D1,
所以EF綉E1F1.
(2)取A1B1的中点M,连接F1M,BM,则MF1綉B1C1.
又B1C1綉BC,所以MF1綉BC,
所以四边形BMF1C为平行四边形,所以BM綉CF1.
因为A1M=
A1B1,BE=
AB,且A1B1綉AB,
所以A1M綉BE,所以四边形BMA1E为平行四边形,
所以BM∥A1E,所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.
一、素养落地
1.通过学习基本事实4和定理,培养数学抽象核心素养,在应用基本事实4和定理的过程中,提升直观想象、逻辑推理核心素养.
2.证明空间两条直线平行,除了应用基本事实4,还要注意应用平面几何知识(三角形中位线、梯形中位线、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理等).
二、素养训练
1.空间两个角α,β的两边分别对应平行,且α=60°,则β为( )
A.60°B.120°
C.30°D.60°或120°
解析 如图,
∵空间两个角α,β的两边对应平行,
∴这两个角相等或互补,
∵α=60°,
∴β=60°或120°.故选D.
答案 D
2.若直线a,b与直线l相交成等角,则直线a,b的位置关系是( )
A.异面B.平行
C.相交D.异面、平行、相交都有可能
解析 没有说明角的方向,故三种位置关系都有可能,选D.
答案 D
3.如图,AA′是长方体ABCD-A′B′C′D′的一条棱,那么长方体中与AA′平行的棱共有________条.
解析 ∵四边形ABB′A′,ADD′A′均为长方形,
∴AA′∥BB′,AA′∥DD′.
又四边形BCC′B′为长方形,
∴BB′∥CC′,∴AA′∥CC′.
故与AA′平行的棱共有3条,它们分别是BB′,CC′,DD′.
答案 3
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1C1,B1C1的中点,证明EF∥BD.
证明 如图所示,连接B1D1,
因为E,F分别是D1C1,B1C1的中点,则EF是△C1B1D1的中位线,故EF∥B1D1.
由长方体的性质可知D1D綉B1B,
故四边形D1DBB1是平行四边形,故BD∥B1D1,
所以EF∥BD.
基础达标
一、选择题
1.已知a,b,c是三条直线,则( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.若a与b相交,b与c相交,则a与c相交
C.若a与b异面,b与c异面,则a与c异面
D.若a⊥b,b⊥c,则a⊥c
解析 由基本事实4可知选项A正确.
答案 A
2.空间两个角∠ABC和∠A′B′C′中,AB∥A′B′,BC∥B′C′,若∠ABC=45°,则∠A′B′C′=( )
A.45°B.135°
C.30°D.45°或135°
解析 由等角定理可知∠A′B′C′=45°或135°.
答案 D
3.在三棱台A1B1C1-ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1( )
A.相交B.异面
C.平行D.垂直
解析 如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC,又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
答案 C
4.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF=( )
A.30°B.45°C.60°D.90°
解析 由题意可知DE∥PB,EF∥BC,所以∠DEF=∠PBC=90°.
答案 D
5.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不可能的是( )
A.l与AD平行
B.l与AD不平行
C.l与AC平行
D.l与BD垂直
解析 假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,∴l与AD不平行.
答案 A
二、填空题
6.在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=________.
解析 由题意知EF綉
AC,GH綉
AC,故EF綉GH,故GH=2.
答案 2
7.下列结论,其中正确的是________(填序号).
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等.
②如果两个角的两边都平行于一个平面,那么这两角相等或互补.
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补.
④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.
答案 ④
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别为棱C1D1,C1C,DD1的中点,有以下四个结论:
①直线AM与CC1是相交直线;
②直线AM与BN是平行直线;
③直线BN与MB1是异面直线;
④∠DAH=∠CBN.
其中正确的结论为________(注:
把你认为正确的结论的序号都填上).
解析 ∵A,M,C,C1四点不共面,
∴直线AM与CC1是异面直线,故①错误;
同理,直线AM与BN也是异面直线,故②错误;
同理,直线BN与MB1是异面直线,故③正确;
易得∠DAH=∠CBN,故④正确.
故答案为:
③④.
答案 ③④
三、解答题
9.已知点E,E′分别是正方体ABCD-A′B′C′D′的棱AD,A′D′的中点,求证:
四边形BB′E′E为平行四边形.
证明 如图所示,因为点E,E′分别是AD,A′D′的中点,
所以AE∥A′E′,且AE=A′E′,
所以四边形AEE′A′是平行四边形,
所以AA′∥EE′,且AA′=EE′.
又因为AA′∥BB′,且AA′=BB′,
所以EE′∥BB′,且EE′=BB′,
所以四边形BB′E′E是平行四边形.
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是AB,BB1,BC的中点.求证:
△EFG∽△C1DA1.
证明 如图,连接B1C.
因为点G,F分别为BC,BB1的中点,所以GF綉
B1C.
又因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以CD綉AB,A1B1綉AB,
由基本事实4知,CD綉A1B1,
所以四边形A1B1CD为平行四边形,
所以A1D綉B1C.又因为B1C∥FG,
由基本事实4知,A1D∥FG.
同理可证:
A1C1∥EG,DC1∥EF.
又因为∠DA1C1与∠EGF,∠A1DC1与∠EFG,∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角,
所以∠DA1C1=∠EGF,∠A1DC1=∠EFG,∠DC1A1=∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.
能力提升
11.如图,空间四边形ABCD的对角线AC,BD相等,顺次连接各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH一定是( )
A.矩形 B.正方形
C.菱形 D.空间四边形
解析 连接AC,BD,则
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴EF∥AC,GH∥AC,EH∥BD,FG∥BD,EF=GH=
AC,EH=FG=
BD,
∴四边形EFGH是平行四边形.
∵AC=BD,∴EF=EH,
∴四边形EFGH是菱形,故选C.
答案 C
12.如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.
(1)判断MN与BD的位置关系;
(2)求MN的长.
解
(1)MN∥BD.
理由如下:
连接AM,AN并延长分别与BC,CD交于点E,F,由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点,连接EF.
∵E,F分别为BC,CD的中点,
∴EF∥BD,且EF=
BD.
又∵点M为△ABC的重心,点N为△ACD的重心,
∴AM∶ME=AN∶NF=2∶1.
∴MN∥EF,且MN=
EF.故MN∥BD.
(2)由
(1)知,MN=
EF=
BD=2.
创新猜想
13.(多选题)在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BC∥DE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q,则( )
A.PQ=
MN
B.PQ∥MN
C.M,N,P,Q四点共面
D.四边形MNPQ是梯形
解析 由题意知PQ=
DE,且DE≠MN,
所以PQ≠
MN,故A不正确;又PQ∥DE,DE∥MN,
所以PQ∥MN,又PQ≠MN,所以B,C,D正确.
答案 BCD
14.(多选题)如图,棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=2EA,设过点D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF,则( )
A.EF∥D1C
B.EF=
a
C.CF=
a
D.三棱锥A-EFC的体积为
a3
解析 如图,设BF=2FA,连接EF,A1B,CF,AC,因为A1E=2EA,
所以EF∥A1B,又易知A1B∥D1C,所以EF∥D1C,
故EF=
A1B=
a,CF=
=
a,
VA-EFC=VE-AFC=
×
a×
×
a×a=
a3.
故选A,D.
答案 AD
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