趣味数学157:《九章算术》中的应用题.doc
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《九章算术》中一些常见的应用题
下面是从《九章算术》中选录的一些常见的应用题。
从这些题目的解法中,可以体会到古人是怎样思考问题的,对于活跃我们的解题思路,加深对传统文化的认识,都有一定好处。
原题1:
今有人持米出三关,外关三而取一,中关五而取一,内关七而取一,余米五斗。
问:
本持米几何?
答曰:
十斗九升八分升之三。
术曰:
置米五以所税者三之五之七之为实,以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
译述:
“实如法得一斗”是古算书的一种习惯性说法,实如法得一“什么”的意思是“这样就得到什么数”。
“实如法得一斗”的意思是“这样就得到斗数”。
“今有人持米出三关,外关三而取一,中关五而取一,内关七而取一,余米五斗。
问:
本持米几何?
”——有人带了一批米出三道关口,外关按货物的三分之一收税,中关按货物的五分之一收税,内关按货物的七分之一收税,最后还剩下五斗米。
问:
这个人本来带了多少米?
“答曰:
十斗九升八分升之三。
”——答案是:
10斗9升。
“术曰:
置米五斗以所税者三之五之七之为实,以余不税者二、四、六互相乘为法。
实如法得一斗。
”——解法是:
用各关口计税时的总份数3、5、7乘5斗作为被除数,以各关口收税后余下的份数2、4、6相乘的积作为除数。
这样就得到斗数。
5×3×5×7÷[(3-1)×(5-1)×(7-1)]=10.9375(斗),10.9斗=10斗9升,0.0375升=升,所以,这个人本来带了10斗9升米。
现在的解法是:
5÷(1-)÷(1-)÷(1-)=5÷÷÷=5×××=5×7×5×3÷6÷4÷2=……,与上式基本相同。
原题2:
今有凫(fú)起南海七日至北海,雁起北海九日至南海。
今凫雁俱起,问:
何日相逢?
答曰:
三日十六分日之十五。
术曰:
并日数为法,日数相乘为实。
实如法得一日。
“凫”就是野鸭。
译述:
“今有凫起南海七日至北海,雁起北海九日至南海。
今凫雁俱起,问:
何日相逢?
”——野鸭从南海飞到北海需要7天,大雁从北海飞到南海需要9天。
野鸭和大雁同时分别从南海和北海出发,多少天相遇?
“答曰:
三日十六分日之十五”——答案是:
3日。
“术曰:
并日数为法,日数相乘为实。
实如法得一日。
”——解法是:
以各自需要的天数的和为除数,以各自需要的天数的积为被除数。
这样就得到日数。
(7×9)÷(7+9)==3(日)
现在的解法是:
1÷(+)=1÷=(7×9)÷(7+9)=3(日),与上式基本相同。
原题3:
今有善行者一百步,不善行者六十步。
今不善行者先行一百步,善行者追之。
问:
几何步及之?
答曰:
二百五十步。
术曰:
置善行者一百步,减不善行者六十步,余四十步为法。
以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。
实如法得一步。
译述:
“今有善行者一百步,不善行者六十步。
今不善行者先行一百步,善行者追之。
问:
几何步及之?
”——有一个善于走路的人和一个不善于走路的人。
善于走路的人走100步的同时,不善于走路的人只能走60步。
现在不善于走路的人先走100步,善于走路的人追他,需要走多少步才能追上他?
“答曰:
二百五十步。
”——答案是:
250步。
“术曰:
置善行者一百步,减不善行者六十步,余四十步为法。
以善行者之一百步乘不善行者先行一百步为实。
实如法得一步。
”——解法是:
用善于走路的人的100步,减不善于走路的人的60步,所得的差40步为除数,用善于走路的人的100步,乘不善于走路的人先走的100步,所得的积为被除数。
这样就得到步数。
100×100÷(100-60)=250(步)
现在的解法是:
100÷(100-60)×100=250(步),与上式基本相同。
原题4:
今有乘传委输空车日行七十里,重车日行五十里。
今载太仓粟输上林五日三返。
问:
太仓去上林几何?
答曰:
四十八里十八分里之十一。
术曰:
并空重里数以三返乘之为法,令空重相乘,又以五日乘之为实。
实如法得一里。
译述:
“乘传”的意思是驾马车在驿站间行驶。
“委输”的意思是把货物放在车上运到别处。
“今有乘传委输空车日行七十里,重车日行五十里。
今载太仓粟输上林五日三返。
问:
太仓去上林几何?
”——驾马车在驿站间运送货物,空车一日行70里,重车一日行50里。
现在从太仓运谷子到上林,5日往返3次。
问:
太仓距上林多少里?
“答曰:
四十八里十八分里之十一。
”——答案是:
48里。
“术曰:
并空重里数以三返乘之为法,令空重相乘,又以五日乘之为实。
实如法得一里。
”——解法是:
空车与重车所行里数的和乘3作为除数,空车与重车所行里数相乘的积乘5作为被除数。
这样就得到里数。
70×50×5÷[(70+50)×3]=48(里)
现在的解法是:
5÷[(+)×3]=5÷==48(里),与上式基本相同。
原题5:
今有池五渠注之,其一渠开之少半日一满,次一日一满,次二日半一满,次三日一满,次五日一满。
今皆决之,问:
几何日满也?
答曰:
七十四分日之十五。
术曰:
各置渠一日满池之数,并以为法。
(按此术,其一渠少半日满者,是一日三满也;次一日一满;次二日半满者,是一日五分满之二也;次三日满者,是一日三分满之一也;次五日满者,是一日五分满之一也。
并之,得四满十五分满之十四也。
)以一日为实。
实如法得一日。
译述:
“今有池五渠注之,其一渠开之少半日一满,次一日一满,次二日半一满,次三日一满,次五日一满。
今皆决之,问:
几何日满也?
”——一个水池有五条进水渠。
单开第一条水渠日注满,单开第二条水渠1日注满,单开第三条水渠2日注满,单开第四条渠3日注满,单开第五条水渠5日注满。
五条水渠一齐开,问:
几日注满水池?
“答曰:
七十四分日之十五。
”——答案是:
日。
“术曰:
各置渠一日满池之数,并以为法。
(按此术,其一渠少半日满者,是一日三满也;次一日一满;次二日半满者,是一日五分满之二也;次三日满者,是一日三分满之一也;次五日满者,是一日五分满之一也。
并之,得四满十五分满之十四也。
)以一日为实。
实如法得一日。
”——解法是:
把各渠一日注满水池的次数相加作为除数。
(按照这个方法:
第一条水渠1日注满3次,第二条水渠1日注满1次,第三条水渠1日注满水池的,第四条水渠1日注满水池的,第五条水渠1日注满水池的。
加在一起,得4。
)以1日为被除数。
这样就得到日数。
1÷(3+1+++)=(日)
现在的解法是:
1÷(+1+++)=1÷(3+1+++)=(日),与上式基本相同。
从以上各题可以看出:
《九章算术》所提供的解题方法的确很便捷,非常有利于数学知识的普及,不足之处是缺少对对算理的阐述,好在这个缺憾在刘徽的注释中有所弥补,这是值得庆幸的。
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