共点、共线、共面问题教师版.doc
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共点、共线、共面问题教师版.doc
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共点、共线、共面问题总结(教师版)
【问题一】共点问题
基本思路:
两条直线交于一点,然后证明交点在其它直线上
1、空间中三个平面两两相交于三条直线,这三条直线两两不平行,证明此三条直线必相交于一点.
证明:
∵l1⊂β,l2⊂β,l1l2,∴l1∩l2交于一点,记交点为P.
∵P∈l1⊂β,P∈l2⊂γ,∴P∈β∩γ=l3,
∴l1,l2,l3交于一点.
2.如图,E、F、G、H分别是空间四边形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点,且直线EH与直线FG交于点O.求证:
EH、FG、BD三线共点.
【证明】 ∵E∈AB,H∈AD,
∴E∈平面ABD,H∈平面ABD.∴EH⊂平面ABD.
∵EH∩FG=O,∴O∈平面ABD.
同理O∈平面BCD,即O∈平面ABD∩平面BCD,∴O∈BD,EH、FG、BD三线共点.
3、已知四边形ABCD是空间四边形,E,H分别是边AB,AD的中点,F,G分别是边CB,CD上的点,且==,求证:
直线FE,GH,AC交于一点.
证明:
∵E,H分别是边AB,AD的中点,∴EH∥BD.又∵==,∴FG∥BD,
∴EH∥FG,且EH≠FG,故四边形EFGH是梯形,∴EF,HG相交.
设EF∩HG=K,∵K∈EF,EF⊂平面ABC,∴K∈平面ABC,同理K∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,∴K∈AC,故直线FE,GH,AC交于一点.
【问题二】共线问题
基本思路:
寻找一条特殊线,证明所有点在这条直线上或两点确定一条直线,然后证明其它点在这条直线上
3、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点,求证:
P、Q、R三点共线.
证明:
如图,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,
∴过A、B、C有一个平面β.又∵AB∩α=P,且ABβ,
∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l,
同理可证:
Q∈l,R∈l,∴P、Q、R三点共线.
4.如图所示,四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB,BC,DC,AD(或延长线)分别与平面α相交于E,F,G,H,求证:
E,F,G,H必在同一直线上.
证明:
因为AB∥CD,所以AB,CD确定平面AC,AD∩α=H,因为H∈平面AC,H∈α,由公理3可知,H必在平面AC与平面α的交线上.同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上,因此E,F,G,H必在同一直线上
【问题三】四点共面问题
基本思路:
①证明四个点在两条平行线上②证明四个点在两条相交线上
③证明三个点共线④三个不共线的点确定一个平面,证明第四个点在这个平面内
5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证:
E,C,D1,F四点共面.
证明:
延长D1F,设D1F∩DA=O,延长CE,设CE∩DA=O1.
∵F为AA1的中点,∴OA=AD.
同理O1A=AD,∴O与O1重合,∴D1F∩CE=O,
∴E,C,D1,F四点共面.
【问题四】直线共面问题
基本思路:
两条直线确定一个平面,然后证明其它直线在这个平面内
6、如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:
直线l1,l2,l3在同一平面内.
证明:
∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一平面α,
又l2∩l3=B,l1∩l3=C,∴B∈l2,C∈l1,
∴B∈α,C∈α,∴l3⊂α,∴直线l1,l2,l3在同一平面内.
7.已知直线b∥c,且直线a与直线b,c都相交,求证:
直线a,b,c共面.
证明:
∵b∥c,∴直线b,c可以确定一个平面α.设a∩b=A,a∩c=B,
则A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,即a⊂α,故直线a,b,c共面.
8、求证:
两两相交且不共点的四条直线在同一平面内.(注意分两类)
证明:
如图,直线a、b、c、d两两相交,交点分别为A、B、C、D、E、F,
∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α,即a,bα.
∵B、C∈a,E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.
而B、F∈c,C、E∈d,∴c、dα,即a、b、c、d在同一平面内.
9、直线AB,CD,EF两两平行,且分别与直线l相交于A,C,E,求证:
AB,CD,EF三条直线在同一个平面内.
A
C
D
E
F
l
α
B
【问题五】综合问题
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.
求证:
(1)C1、O、M三点共线;
(2)E、C、D1、F四点共面;(3)CE、D1F、DA三线共点.
证明:
(1)∵C1、O、M∈平面BDC1,
又C1、O、M∈平面A1ACC1,由公理3知,点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上,
∴C1、O、M三点共线.
(2)∵E,F分别是AB,A1A的中点,∴EF∥A1B.
∵A1B∥CD1,∴EF∥CD1.
∴E、C、D1、F四点共面.
(3)由
(2)可知:
四点E、C、D1、F共面.又∵EF=A1B.
∴D1F,CE为相交直线,记交点为P.则P∈D1F⊂平面ADD1A1,P∈CE⊂平面ADCB.
∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB=AD.∴CE、D1F、DA三线共点.
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