新教材高中数学第5章三角函数51任意角和弧度制511任意角教学案新人教A版必修第一册.docx
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新教材高中数学第5章三角函数51任意角和弧度制511任意角教学案新人教A版必修第一册
新教材高中数学第5章三角函数5.1任意角和弧度制5.1.1任意角教学案新人教A版必修第一册
5.1.1 任意角
(教师独具内容)
课程标准:
了解任意角的概念、理解象限角、终边相同角的概念并会用集合符号表示这些角.
教学重点:
理解正角、负角、零角、相反角、象限角的概念,掌握终边相同角的表示方法.
教学难点:
用集合符号表示终边相同的角.
【知识导学】
知识点
一 角的相关概念
(1)角可以看成平面内一条
射线绕着它的端点从一个位置
旋转到另一个位置所成的
图形.
(2)角的表示:
如图,OA是角α的
始边,OB是角α的
终边,O是角的
顶点.角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”.
(3)按照角的旋转方向可将角分为如下三类:
知识点
二 相反角
如图,我们把射线OA绕端点O按
不同方向旋转
相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为
-α.
知识点
三 象限角
(1)若角的顶点在原点,角的始边与
x轴的非负半轴重合,则角的
终边在第几象限,就称这个角是第几象限角.
(2)若角的终边在
坐标轴上,则认为这个角不属于任何一个象限.
知识点
四 终边相同的角
设α表示任意角,所有与角α终边相同的角,包括α本身构成一个集合,这个集合可记为{β|β=
α+k·360°,k∈Z}.
【新知拓展】
对终边相同的角的理解
(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;
(2)k∈Z,即k为整数,这一条件不可少;
(3)终边相同的角的表示不唯一.
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点.( )
(2)锐角是第一象限的角,但第一象限的角不一定是锐角.( )
(3)象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的.( )
答案
(1)×
(2)√ (3)×
2.做一做
(1)与600°角终边相同的角可表示为( )
A.k·360°+220°(k∈Z)
B.k·360°+240°(k∈Z)
C.k·360°+60°(k∈Z)
D.k·360°+260°(k∈Z)
(2)若角α与角β终边相同,则α-β=________.
答案
(1)B
(2)k·360°,k∈Z
题型一正确理解角的概念
例1 下列命题正确的是( )
A.终边与始边重合的角是零角
B.终边和始边都相同的两个角一定相等
C.在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角
D.小于90°的角是锐角
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°,720°,…,A错误;终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍,如30°与-330°,B错误;由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角,所以不一定是钝角,C正确;小于90°的角可以是0°,也可以是负角,D错误.故选C.
[答案] C
金版点睛
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念,弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧,判断结论正确需要证明,而判断结论不正确只需举一个反例即可.
(1)经过2个小时,钟表上的时针旋转了( )
A.60°B.-60°
C.30°D.-30°
(2)射线OA绕端点O顺时针旋转90°到OB位置,接着逆时针旋转100°到OC位置,然后再顺时针旋转240°到OD位置,求∠AOD的大小.
答案
(1)B
(2)见解析
解析
(1)钟表的时针旋转一周是-360°,其中每小时旋转-
=-30°,所以经过2个小时应旋转-60°.故选B.
(2)如图,∠AOB=90°,∠BOC=100°,∠COD=360°-240°=120°,∠AOD=∠BOC-∠AOB+∠COD=100°-90°+120°=130°.
题型二终边相同的角的表示
例2
(1)写出与α=-1910°终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式-720°≤β<360°的元素β写出来;
(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.
[解]
(1)与角α=-1910°终边相同的角的集合为{β|β=-1910°+k·360°,k∈Z}.
∵-720°≤β<360°,
∴-720°≤-1910°+k·360°<360°,3
≤k<6
.
故k=4,5,6,
k=4时,β=-1910°+4×360°=-470°,
k=5时,β=-1910°+5×360°=-110°,
k=6时,β=-1910°+6×360°=250°.
(2)①{β|β=k·180°,k∈Z}.
②{β|β=135°+k·180°,k∈Z}.
[变式探究] 在与角1030°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角;
(2)最大的负角.
解 1030°÷360°=2……310°,
所以1030°=2×360°+310°,
所以与角1030°终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+310°,k∈Z}.
(1)所求的最小正角为310°.
(2)取k=-1得所求的最大负角为-50°.
金版点睛
在0°~360°范围内找与给定角终边相同的角的方法
(1)把任意角化为α+k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式,关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小),也可用除法.
(2)要求适合某种条件且与已知角终边相同的角,其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式,再依条件构建不等式求出k的值.
已知-990°<α<-630°,且α与120°角的终边相同,则α=________.
答案 -960°
解析 ∵α与120°角终边相同,故有α=k·360°+120°,k∈Z.又∵-990° ,又k∈Z,故k=-3,α=(-3)·360°+120°=-960°. 题型三象限角的判定 例3 (1)已知角的顶点与坐标原点重合,始边落在x轴的非负半轴上,作出下列各角,并指出它们是第几象限角. ①-75°;②855°;③-510°; (2)若α是第二象限角,则2α, 分别是第几象限的角? [解] (1)作出各角,其对应的终边如图所示: ①由图a可知: -75°是第四象限角. ②由图b可知: 855°是第二象限角. ③由图c可知: -510°是第三象限角. (2)①∵α是第二象限角, ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z), ∴180°+k·720°<2α<360°+k·720°(k∈Z), ∴2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的非正半轴上. ②∵α是第二象限角, ∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z), ∴45°+k·180°< <90°+k·180°(k∈Z). 解法一: A.当k=2n(n∈Z)时, 45°+n·360°< <90°+n·360°(n∈Z),即 是第一象限角; b.当k=2n+1(n∈Z)时, 225°+n·360°< <270°+n·360°(n∈Z), 即 是第三象限角.故 是第一或第三象限角. 解法二: ∵45°+k·180°表示终边为一、三象限角平分线的角,90°+k·180°(k∈Z)表示终边为y轴的角, ∴45°+k·180°< <90°+k·180°(k∈Z)表示如图中阴影部分图形.即 是第一或第三象限角.
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