最新高一数学集合函数知识点总结相应试题及答案优秀名师资料Word格式文档下载.docx
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集合A不包含于集合B,或集合B不包含集
,,,合A,记作AB或BA
2(“相等”关系:
A=B(5?
5,且5?
5,则5=5)
2实例:
设A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A?
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)
如果A,B,B,C,那么A,C
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
nn-1,有n个元素的集合,含有2个子集,2个真子集三、集合的运算
运交集并集补集算
类
型
定由所有属于A由所有属于集设S是一个集合,义且属于B的元合A或属于集合A是S的一个子
素所组成的集B的元素所组成集,由S中所有
合,叫做A,B的的集合,叫做不属于A的元素
交集(记作A,B的并集(记组成的集合,叫
:
AB(读作‘AB(读作作:
A做S中子集A的
交B’),即‘A并B’),补集(或余集)
,即记作CA:
AB=,x|xA,即AB,S
SCA={x|x,S,且x,A}且xB,(={x|xA,或,,SA
xB})(,
韦SAABBA
恩图2图1
图
示
性AA=AA=AA)(CB)A(Cuu
AΦ=ΦAΦ=A=C(AB)u
AB=BAAB=BA(CA)(CB)uu
ABAAB,=C(AB),,u
质ABBABBA(CA)=U,,u
A(CA)=Φ(u
例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是
()
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒
数等于它自身的实数
2.集合{a,b,c}的真子集共有个
23.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x?
0},则M与N的关系,
是.
4.设集合A=,B=,若AB,则的取值范围是,axxa,xx12,,,,,,
5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31
人,
两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=.
227.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|
22x-mx+m-19=0},若B?
C?
Φ,A?
C=Φ,求m的值
(1)已知A=,x,-3<
x<
5,,B=,x,x<
a,,若满足A,B,则实数a的取值范围是;
(2)已知集合,=,x,x2+x-6=0,,集合,=,y,ay+1=0,,若满足B,A,则实数a所能取的一切值为.
A,{x|a,x,5}B,{x|x2}A,B(3)已知集合,?
,且满足,求实数a的取值范围。
二、函数的有关概念
1(函数的概念:
设A、B是非空的数集,如果按照
某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一
个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对
应,那么就称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个
函数(记作:
y=f(x),x?
A(其中,x叫做自变
量,x的取值范围A叫做函数的定义域;
与x的值
相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x
A}叫做函数的值域(
注意:
1(定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称
为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合
而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的
x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问
题有意义.
相同函数的判断方法:
表达式相同(与表示
自变量和函数值的字母无关);
定义域一致
(两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2(值域:
先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3.函数图象知识归纳
(1)定义:
在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),
A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点(x
P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x?
A)的图象(C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.
(2)画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1)平移变换
2)伸缩变换
3)对称变换
4(区间的概念
(1)区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示(
5(映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:
AB为从集合A到集合,
B的一个映射。
记作“f(对应关系):
A(原象)
B(象)”,
对于映射f:
B来说,则应满足:
(1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,
并且象是唯一的;
(2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可
以是同一个;
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有
原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式
的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况(
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集(
补充:
复合函数
如果y=f(u)(u?
M),u=g(x)(x?
A),则y=f[g(x)]=F(x)(x?
A)称为f、g的复合函数。
二(函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x,x,当12x<
x时,都有f(x)<
f(x),那么就说f(x)在区间1212
D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x,x,12当x<
x时,都有f(x),f(x),那么就说f(x)在1212
这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
函数的单调性是函数的局部性质;
(2)图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法:
1任取x,x?
D,且x<
x;
1212?
2作差f(x),f(x);
12?
3变形(通常是因式分解和配方);
?
4定号(即判断差f(x),f(x)的正负);
5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单?
调性)(
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数[]的单调性与构成它的函数fg(x)
u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:
“同增异减”
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8(函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数(
(2)(奇函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(,x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数((3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;
奇函数的图象关于原点对称(
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于?
原点对称;
2确定f(,x)与f(x)的关系;
3作出相应结论:
若f(,x)=f(x)或f(,?
x),f(x)=0,则f(x)是偶函数;
若f(,x)=,f(x)或f(,x),f(x)=0,则f(x)是奇函数(
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件(首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,
(1)再根据定义判定;
(2)由f(-x)?
f(x)=0或f(x),f(-x)=?
1来判定;
(3)利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1)凑配法
2)待定系数法
3)换元法
4)消参法
10(函数最大(小)值(定义见课本p36页)1利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大?
(小)值
2利用图象求函数的最大(小)值?
3利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);
1.求下列函数的定义域:
2x,12xx,,215?
y,,1()y,x,1x,,33
22.设函数的定义域为,则函数的定义域为__fx()[]01,fx()3.若函数的定义域为,则函数的定义域是fx
(1),fx(21),[],23,
xx,,,2
(1),,4.函数,若,则=x2fx()3,fxxx()(12),,,,,,2
(2)xx,,
5.求下列函数的值域:
22?
x,[1,2]()xR,yxx,,,23yxx,,,23
2(3)(4)yxx,,,12yxx,,,,45
2fx()fx(21),6.已知函数,求函数,的解析式fxxx
(1)4,,,
fx()fx()7.已知函数满足,则=。
2()()34fxfxx,,,,
38.设是R上的奇函数,且当时,,则当fx()x,,,[0,)fxxx()
(1),,
fx()时=x,,,(,0)
fx()在R上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:
22?
yxx,,,,23yxx,,,23
2yxx,,,61
310.判断函数的单调性并证明你的结论(y,,x,1
21,x111.设函数判断它的奇偶性并且求证:
(f(x),f(),,f(x)21,xx
(数学1必修)第一章(上)集合[基础训练A组]
一、选择题
1(下列各项中,不可以组成集合的是()A(所有的正数B(等于2的数C(接近于的数D(不等于的偶数00
2(下列四个集合中,是空集的是()
22{x|x,3,3}A(B({(x,y)|y,,x,x,y,R}
22C(D({x|x,0}{x|x,x,1,0,x,R}3(下列表示图形中的阴影部分的是()
()()ACBCA(AB
()()ABACB(
()()ABBCC(
()ABCD(C4(下面有四个命题:
(1)集合N1中最小的数是;
(2)若NN不属于,则属于;
aa
a,N,b,N,a,b2(3)若则的最小值为;
2x,1,2x(4)的解可表示为;
,1,1
其中正确命题的个数为()
123A(0个B(个C(个D(个
Mabc,,,ABC5(若集合中的元素是?
的三边长,,,
ABC则?
一定不是()
A(锐角三角形B(直角三角形
C(钝角三角形D(等腰三角形
UCA,,0,1,2,32且A6(若全集,则集合的真子集共有(),,,,U
358A(个B(个C(7个D(个二、填空题
1(用符号“”或“”填空,,
(1)______,______,______NNN0516
1
(2)(是个无理数),QQeCQ,e______,_______,______R2
2323,,,(3)________xxabaQbQ|6,,,,,,,,
AxxxN,,,|6,CAB,2.若集合,,,则的CBxx,{|}是非质数,,
。
非空子集的个数为
AB,Axx,,,|37Bxx,,,|2103(若集合,,则_____________(,,,,
AB,Axx,,,,{32}Bxkxk,,,,,{2121}4(设集合,,且,
则实数的取值范围是。
k
2AB,5(已知,则_________。
AyyxxByyx,,,,,,,,21,21,,,,
三、解答题
8,,A,x,N|,N1(已知集合,试用列举法表示集合A。
,6,x,,
BA,Axx,,,,{25}Bxmxm,,,,,{121}2(已知,,,求的取值范围。
m
22AaaBaaa,,,,,,,,1,3,3,21,1AB,,33(已知集合,若,,,,,,,
求实数的值。
a
2Mmmxx,,,,|10方程有实数根UR,4(设全集,,,,
2NnxxnCMN,,,,|0,.方程有实数根求,,,,U
(数学1必修)第一章(上)集合[综合训练B组]
1(下列命题正确的有()
(1)很小的实数可以构成集合;
22
(2)集合与集合,,是同一个集合;
,,,x,y|y,x,1y|y,x,1
3611,,,,0.5,5(3)这些数组成的集合有个元素;
242
(4)集合是指第二和第四象限内的点集。
,,,x,y|xy,0,x,y,R
A(个B(个C(个D(个1230
A,{,1,1}B,{x|mx,1}2(若集合,,且,则的值为()A,B,Am
A(B(C(或D(或或1,11,11,10
223(若集合,则有()MxyxyNxyxyxRyR,,,,,,,,(,)0,(,)0,,,,,,
MNM,MNN,MNM,MN,,A(B(C(D(
,,1xy,(方程组的解集是()4,22xy,,9,
5,4A(B(C(D(。
,,,,,,,,,,5,,4,5,45,,4,,
(下列式子中,正确的是()5
,,R,RA(B(,,Z,x|x,0,x,Z
C(空集是任何集合的真子集D(,,,,,
6(下列表述中错误的是()
A(若A,B,则A:
B,A
A:
B,B,则A,BB(若
(A:
B)(A:
B)AC(
D(,,,,,,CA:
B,CA:
CBUUU
二、填空题
1(用适当的符号填空
(1),,,,,,,,3______x|x,2,1,2____x,y|y,x,1
(2),,,2,5_______x|x,2,3
1,,3xxxRxxx|,_______|0,,,,(3),,,,x,,
2(设,,,,U,R,A,x|a,x,b,CA,x|x,4或x,3U
a,___________,b,__________则。
55433443(某班有学生人,其中体育爱好者人,音乐爱好者人,还有人既不爱好体育也
不爱好音乐,则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为人。
2AxBx,,1,4,,1,ABB,4(若且,则。
x,,,,,
25(已知集合至多有一个元素,则的取值范围;
A,{x|ax,3x,2,0}a若至少有一个元素,则的取值范围。
2yxaxbAxyxaMabM,,,,,,,,|,,,求(设1,,,,,,,,
2222(设,其中,xR,AxxxBxxaxa,,,,,,,,,{40},{2
(1)10}
ABB,如果,求实数的取值范围。
2222Axxaxa,,,,,|190Bxxx,,,,|560Cxxx,,,,|2803(集合,,,,,,,,
AB,,,AC,,,满足,求实数的值。
22Axxx,,,,|320Bxxmxm,,,,,|
(1)04(设,集合,;
UR,,,,,
若,求的值。
(CA):
B,,mU
(数学1必修)第一章(上)集合[提高训练C组]
1(若集合,下列关系式中成立的为()Xxx,,,{|1}
A(B(0,X0,X,,
C(D(,,X0,X,,
2(504031名同学参加跳远和铅球测验,跳远和铅球测验成绩分别为及格人和人,
2项测验成绩均不及格的有4人,2项测验成绩都及格的人数是()
3525A(B(
C(2815D(
23(已知集合则实数的取值范围是()AxxmxAR,,,,,|10,若,,m,,
m,4m,4A(B(
0,m,40,m,4C(D(
4(下列说法中,正确的是()
A(任何一个集合必有两个子集;
AB,,,AB,,B(若则中至少有一个为
C(任何集合必有一个真子集;
ABS,,ABS,,,SD(若为全集,且则
U5(若为全集,下面三个命题中真命题的个数是()
(1)若,,,,A:
B,,,则CA:
CB,UUU
(2)若,,,,A:
B,U,则CA:
CB,,UU
(3)若A:
B,,,则A,B,,
k1k16(设集合,,则()N,{x|x,,,k,Z}M,{x|x,,,k,Z}4224
A(M,NB(MN
MN,,C(NMD(
22AB,(设集合,则集合()7AxxxBxxx,,,,,,{|0},{|0}
0,,1,0,1A(B(C(D(0,,,,二、填空题
221(已知,M,,,y|y,x,4x,3,x,RN,,,y|y,,x,2x,8,x,R
M:
N,__________则。
102(用列举法表示集合:
=。
Mm,{|,},,ZmZm,1
IxxxZ,,,,|1,3(若,则=。
CN,,I
ABC,,,1,2,1,2,3,2,3,4()ABC,4(设集合则。
,,,,,
,,y2UxyxyR,,(,),Nxyyx,,,(,)45(设全集,集合,,Mxy,,(,)1,,,,,,x,2,,
那么等于________________。
()()CMCNUU
1(若,,,,,,A,a,b,B,x|x,A,M,A,求CM.B
2CzzxxA,,,|,Axxa,,,,|2ByyxxA,,,,|23,2(已知集合,,,,,,,,,
CB,且,求的取值范围。
32Sxxx,,,1,3,32Ax,,1,213(全集,,如果,,则这样的CA,0,,,,,S
实数是否存在,若存在,求出;
若不存在,请说明理由。
xx
A,1,2,3,...,10,A4(设集合求集合的所有非空子集元素和的和。
,
(数学1必修)第一章(中)函数及其表示
[基础训练A组]
1(判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()
(x,3)(x,5),;
y,y,x,512x,3
y,(x,1)(x,1)?
,;
y,x,1x,121
2?
f(x),xg(x),x
3433?
fxxx(),,Fxxx()1,,
,。
f(x),2x,5f(x),(2x,5)21
A(?
、?
B(?
C(?
D(?
yfx,()2(函数的图象与直线x,1的公共点数目是()A(1B(C(或1D(1或200
42*AkBaaa,,,1,2,3,,4,7,,33(已知集合,且aNxAyB,,,,,,,,,
yx,,31ak,使B中元素和A中的元素对应,则的值分别为()x
2,33,43,52,5A(B(C(D(
xx,,,2
(1),
2fx()3,4(已知,若,则的值是()fxxx()(12),,,,x,
2
(2)xx,,
33111A(B(或C(,或D(,3322
yfx,,
(2)yfx,,(12)5(为了得到函数的图象,可以把函数的图象适当平移,
这个平移是()
11A(沿轴向右平移个单位B(沿轴向右平移个单位xx2
11C(沿轴向左平移个单位D(沿轴向左平移个单位xx2
x,2,(x,10),f(5)6(设f(x),则的值为(),f[f(x,6)],(x,10),
10111213A(B(C(D(
1,x,1(x,0),,,21(设函数f(x),若f(a),a.则实数的取值范围是。
a,1,(x,0).,x,
x,22(函数的定义域。
y,2x,4
2AB(2,0),(4,0),3(若二次函数的图象与x轴交于,且函数的最大值为,9yaxbxc,,,
则这个二次函数的表达式是。
0
(1)x,4(函数的定义域是_____________________。
y,
xx,
25(函数的最小值是_________________。
f(x),x,x,1
3x,11(求函数的定义域。
fx(),x,1
2y,x,x,12(求函数的值域。
2223(是关于的一元二次方程的两个实根,又,xx,xmxm,,,,,2
(1)10yxx,,x1212
yfm,()求的解析式及此函数的定义域。
2[1,3]4(已知函数在有最大值5和最小值2,求、的值。
bfxaxaxba()23(0),,,,,a
(数
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