湖南师大附中届高三数学上学期月考试题五理科附解析.docx
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湖南师大附中届高三数学上学期月考试题五理科附解析
湖南师大附中2018届高三数学上学期月考试题(五)理科附解析
炎德英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(五)
数学(理科)
命题人:
徐凡训黄祖军审题人:
周正安
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共10页。
时量120分钟。
满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)复数5i1+2i的虚部是(C)
(A)i(B)-i(C)1(D)-1
【解析】5i1+2i=5i(1-2i)(1+2i)(1-2i)=2+i,则复数5i1+2i的虚部是1,故选C.
(2)若集合A={x∈R||x-4|≤2},非空集合B={x∈R|2a≤x≤a+3},若BA,则实数a的取值范围是(D)
(A)(3,+∞)(B)[-1,+∞)(C)(1,3)(D)[1,3]
【解析】∵集合A={x∈R||x-4|≤2}=[2,6],
由集合B不为空集可得2a≤a+3,即a≤3,由BA得2a≥2,a+3≤6,解得a∈[1,3],故选D.
(3)若q>0,命题甲:
“a,b为实数,且|a-b|<2q”;命题乙:
“a,b为实数,满足|a-2|<q,且|b-2|<q”,则甲是乙的(B)
(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【解析】若a,b为实数,且|a-b|<2q,则取a=8,b=6,q=2时,不满足|a-2|q,且|b-2|q;
若a,b为实数,满足|a-2|q,且|b-2|q,
则|a-b|=|(a-2)-(b-2)|≤|a-2|+|b-2|q+q=2q,
所以甲是乙的必要而不充分条件,故选B.
(4)MOD(a,b)表示求a除以b的余数,若输入a=34,b=85,则输出的结果为(B)
(A)0
(B)17
(C)21
(D)34
【解析】模拟执行程序框图,可得a=34,b=85,
不满足条件a>b,c=34,a=85,b=34,
m=MOD(85,34)=17,a=34,b=17,
不满足条件m=0,m=MOD(34,17)=0,a=17,b=0,
满足条件m=0,退出循环,输出a的值为17.故选B.
(5)已知椭圆x2a2+y2b2=1的离心率为e1,双曲线x2a2-y2b2=1的离心率为e2,抛物线y2=2px的离心率为e3,a=5log3e1,b=15log12e2,c=5log12e3,则a,b,c之间的大小关系是(D)
(A)a>c>b(B)a>b>c
(C)c>b>a(D)b>c>a
【解析】依题意,0<e1<1,e2>1,e3=1,∴log3e1<0,log2e2>0,log12e3=0,
∴c=5log12e3=50=1;又b=15log12e2=5log2e2>50=1;a=5log3e1<50=1;
∴b>c>a.故选D.
(6)若a∈[1,6],则函数y=x2+ax在区间[2,+∞)内单调递增的概率是(B)
(A)45(B)35(C)25(D)15
【解析】∵函数y=x2+ax在区间[2,+∞)内单调递增,∴y′=1-ax2=x2-ax2≥0在[2,+∞)恒成立,
∴a≤x2在[2,+∞)恒成立,∴a≤4,
∵a∈[1,6],∴a∈[1,4],
∴函数y=x2+ax在区间[2,+∞)内单调递增的概率是4-16-1=35,故选B.
(7)下列选项中为函数f(x)=cos2x-π6sin2x-14的一个对称中心为(A)
(A)7π24,0(B)π3,0
(C)π3,-14(D)π12,0
【解析】函数f(x)=cos2x-π6sin2x-14=32cos2x+12sin2xsin2x-14
=32sin2xcos2x+12sin22x-14=34sin4x+121-cos4x2-14=12sin4x-π6,
令4x-π6=kπ,求得x=kπ4+π24,可得函数的对称中心为kπ4+π24,0,k∈Z,
当k=1时,函数的对称中心为7π24,0.故选A.
(8)九章算术中一文:
蒲第一天长3尺,以后逐日减半;莞第一天长1尺,以后逐日增加一倍,则______天后,蒲、莞长度相等?
参考数据:
lg2=0.3010,lg3=0.4771,结果精确到0.1.(注:
蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.)(B)
(A)2.8(B)2.6(C)2.4(D)2.2
【解析】设蒲的长度组成等比数列,其a1=3,公比为12,其前n项和为An.
莞的长度组成等比数列,其b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.
则An=31-12n1-12,Bn=2n-12-1,
由题意可得:
31-12n1-12=2n-12-1,化为:
2n+62n=7,解得2n=6,2n=1(舍去).
∴n=lg6lg2=1+lg3lg2≈2.6.
∴估计2.6天后,蒲、莞长度相等,故选B.
(9)某学校有2500名学生,其中高一1000人,高二900人,高三600人,为了了解学生的身体健康状况,采用分层抽样的方法从本校学生中抽取100人,从高一和高三抽取样本数分别为a,b.若直线ax+by+8=0与以A(1,-1)为圆心的圆交于B,C两点,且∠BAC=120°,则圆C的方程为(C)
(A)(x-1)2+(y+1)2=1(B)(x-1)2+(y+1)2=2
(C)(x-1)2+(y+1)2=1817(D)(x-1)2+(y+1)2=1215
【解析】由题意,1002500=a1000=b600,∴a=40,b=24,
∴直线ax+by+8=0,即5x+3y+1=0,
A(1,-1)到直线的距离为|5-3+1|25+9=334.
∵直线ax+by+8=0与以A(1,-1)为圆心的圆交于B,C两点,且∠BAC=120°,
∴r=634,∴圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=1817,故选C.
(10)已知k≥-1,实数x,y满足约束条件x+y≤4,3x-2y≥6,y≥k,且y+1x的最小值为k,则k的值为(C)
(A)2-25(B)2±25(C)3-52(D)3±52
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图:
y+1x的几何意义是区域内的点到定点D(0,-1)的斜率,
由图象知AD的斜率最小,由y=k,x+y=4得x=4-k,y=k,得A(4-k,k),
则AD的斜率k=k+14-k,整理得k2-3k+1=0,得k=3-52或3+52(舍),
故选C.
(11)某班上午有五节课,分別安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是(A)
(A)16(B)24(C)8(D)12
【解析】根据题意,分3步进行分析:
①要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有A22=2种情况;
②将这个整体与英语全排列,有A22=2种顺序,排好后,有3个空位;
③数学课不排第一节,有2个空位可选,在剩下的2个空位中任选1个,安排物理,有2种情况,
则数学、物理的安排方法有2×2=4种.
则不同排课法的种数是2×2×4=16种,故选A.
(12)定义在R上的偶函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且当x∈[1,2]时,f(x)=lnx-x+1,若函数g(x)=f(x)+mx有7个零点,则实数m的取值范围为(A)
(A)ln2-16,ln2-18∪1-ln28,1-ln26
(B)ln2-16,ln2-18
(C)1-ln28,1-ln26
(D)ln2-16,1-ln28
【解析】函数g(x)=f(x)+mx有7个零点,即函数y=f(x)的图象与y=-mx的图象有7个交点.
当x∈[1,2]时,f(x)=lnx-x+1,f′(x)=1x-1=1-xx0,
此时f(x)单调递减,且f
(1)=0,f
(2)=ln2-1.由f(2-x)=f(x)知函数图象关于x=1对称,
而f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f[-(2-x)]=f(x-2),故f(x+2)=f(x),
即f(x)是周期为2的函数,易知m≠0,当-m0时,作出函数y=f(x)与y=-mx的图象,如图所示.
则要使函数y=f(x)的图象与y=-mx的图象有7个交点,需有-8mf(8),-6mf(6),
即-8mln2-1,-6mln2-1,解得1-ln28m1-ln26.
同理,当-m0时,可得ln2-16mln2-18.
综上所述,实数m的取值范围为ln2-16,ln2-18∪1-ln28,1-ln26.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。
二、填空题,本大题共4小题,每小题5分,共20分.
(13)若二次函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点x1、x2,则f(x)=a(x-x1)(x-x2),类比此,若三次函数g(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点x1、x2、x3,则g(x)=__a(x-x1)(x-x2)(x-x3)__.
(14)若(cosφ+x)5的展开式中x3的系数为4,则sin2φ-π2=__15__.
【解析】由二项式定理得,x3的系数为C35cos2φ=4,
∴cos2φ=25,故sin2φ-π2=-cos2φ=1-2cos2φ=15.
(15)如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为__613+32__.
【解析】如图,
延长EF、A1B1相交于M,连接AM交BB1于H,
延长FE、A1D1相交于N,连接AN交DD1于G,
可得截面五边形AH是边长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,
∴EF=32,AG=AH=62+42=213,EG=FH=32+22=13.
∴截面的周长为613+32.
(16)已知向量a,b夹角为π3,|b|=2,对任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|,则|tb-a|+|tb-a2|(t∈R)的最小值是__72__.
【解析】向量a,b夹角为π3,|b|=2,对任意x∈R,有|b+xa|≥|a-b|,
两边平方整理可得x2a2+2xab-(a2-2ab)≥0,
则Δ=4(ab)2+4a2(a2-2ab)≤0,即有(a2-ab)2≤0,即a2=ab,
则(a-b)⊥a,由向量a,b夹角为π3,|b|=2,
由a2=ab=|a||b|cosπ3,即有|a|=1,
则|a-b|=a2+b2-2ab=3,
画出AO→=a,AB→=b,建立平面直角坐标系,如图所示.
则A(1,0),B(0,3),∴a=(-1,0),b=(-1,3).
∴|tb-a|+tb-a2=(1-t)2+(3t)2+12-t2+(3t)2=4t2-2t+1+4t2-t+14=2t-142+0-342+t-182+0+382
表示P(t,0)与M14,34,N18,-38的距离之和的2倍,
当M,P,N共线时,取得最小值2|MN|.
即有2|MN|=214-182+34+382=72.
三、解答题:
共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)(本小题满分12分)
某城市随机抽取一年(365天)内100天的空气质量指数API(AirPollutionIndex)的监测数据,结果统计如下:
API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]大于
300
空气
质量优良轻微
污染轻度
污染中度
污染中度重
污染重度
污染
天数101520307612
(Ⅰ)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有7天为重度污染,完成下面2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关?
非重度污染重度污染合计
供暖季
非供暖季
合计100
P(K2≥k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
附:
K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
(Ⅱ)政府要治理污染,决定对某些企业生产进行管控,当API在区间[0,100]时企业正常生产;当API在区间(100,200]时对企业限产30%(即关闭30%的产能),当API在区间(200,300]时对企业限产50%,当API在300以上时对企业限产80%,企业甲是被管控的企业之一,若企业甲正常生产一天可得利润2万元,若以频率当概率,不考虑其他因素:
①在这一年中随意抽取5天,求5天中企业被限产达到或超过50%的恰为2天的概率;
②求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值.
【解析】(Ⅰ)根据以上数据得到如下列联表:
非重度污染重度污染合计
供暖季23730
非供暖季65570
合计8812100
K2=100×(65×7-23×5)288×12×70×30≈5.2133.841,
所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关.(4分)
(Ⅱ)①设“在本年内随机抽取一天,该天企业被限产达到或超过50%”为事件A,
据题意有频数为25,P(A)=25100=14,(6分)
则这一年中随意抽取5天,5天中被限产达到或超过50%的恰为2天的概率P是:
P=C25142343=135512.8分
②企业甲这一年的利润的期望值为
365×2×25100+2×710×50100+2×12×13100+2×15×12100=502.97万元,
故企业甲这一年因限产减少的利润的期望值是365×2-502.97=227.03万元.(12分)
(18)(本小题满分12分)
已知锐角△ABC的三个内角A、B、C满足sinBsinC=(sin2B+sin2C-sin2A)tanA.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的外接圆的圆心是O,半径是1,求OA→(AB→+AC→)的取值范围.
【解析】(Ⅰ)由已知有:
b2+c2-a22bcsinAcosA=12,即sinA=12,
又A是锐角,∴A=π6.(4分)
(Ⅱ)OA→(AB→+AC→)=OA→(OB→+OC→-2OA→)
=OA→OB→+OA→OC→-2OA→2
=cos∠AOB+cos∠AOC-2
=cos2C+cos2B-2
=cos5π3-2B+cos2B-2
=32cos2B-32sin2B-2
=3cos2B+π6-2,(9分)
∵△ABC是锐角三角形,∴Bπ2,B+Aπ2π3Bπ2,则5π62B+π67π6,
故OA→(AB→+AC→)的取值范围是-2-3,-72.(12分)
另法:
设M是边BC的中点,OA→(AB→+AC→)=2OA→AM→,
又OM→=OA→+AM→OM→2=OA→2+AM→2+2OA→AM→,
2OA→AM→=OM→2-AM→2-1,
据正弦定理得BC=2sinA=1,则|OM→|=32,
∵△ABC是锐角三角形,当B或C取临界值π2时|AM→|最小值是132,
当AM⊥BC时|AM→|最大值是1+32.
则|AM→|∈132,1+32,
2OA→AM→=-14-AM→2∈-2-3,-72.
(19)(本小题满分12分)
已知直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=2CD=2,E、F分别是边AD、BC上的点,且EF∥AB,沿EF将EFCD折起并连接成如图的多面体CD-ABFE,折后BE⊥ED,
(Ⅰ)求证:
AE⊥FC;
(Ⅱ)若折后直线AC与平面ABFE所成角θ的正弦值是33,求证:
平面ABCD⊥平面FCB.
【解析】(Ⅰ)∵EF∥AB,AB⊥AD,
∴EF⊥AD,EF⊥DE,
又BE⊥DE,EF∩BE=E,
∴DE⊥平面ABFE,DE⊥AE,
又EF⊥AE,DE∩EF=E,
∴AE⊥平面EFCD,AE⊥CF.(5分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可如图建立空间直角坐标系,
作CH⊥EF于H,连AH,由(Ⅰ)知CH⊥ABFE,
即∠CAH为AC与平面ABFE所成角,设DE=CH=h,AH2=1+(2-h)2=h2-4h+5,
而直线AC与平面ABFE所成角的正弦值是33,即33=h2h2-4h+5h=1.
(或:
平面ABFE的法向量是(0,0,1),C(0,1,h),A(2-h,0,0),AC→=(h-2,1,h),
则sinθ=h1(h-2)2+1+h2=33h=1).(8分)
易知平面ABCD⊥平面ADE于AD,取AD的中点M,则EM⊥平面ABCD,
而ED=EA=1,则平面ABCD的法向量是EM→=12,0,12,
(或另法求出平面ABCD的法向量是n1=(1,0,1)),
再求出平面FCB的法向量n2=(-1,2,1)(过程略),
设二面角A-BC-F是α,则|cosα|=|n1n2||n1||n2|=|-1+0+1|2×6=0,
∴平面ABCD⊥平面FCB.(12分)
(20)(本小题满分12分)
如图,已知曲线C1:
y2=4x,曲线C2:
x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点是F1,F2,且F2就是C1的焦点,点P是C1与C2的在第一象限内的公共点且|PF2|=53,过F2的直线l分别与曲线C1、C2交于点A,B和M,N.
(Ⅰ)求点P的坐标及C2的方程;
(Ⅱ)若△F1AB与△F1MN面积分别是S1、S2,求S1S2的取值范围.【解析】(Ⅰ)F2(1,0),设P(x0,y0),据题意有|PF2|=x0+1=53,
则x0=23,P23,263,(2分)
点P在椭圆上及F2就是C1的焦点,则a2-b2=1,49a2+249b2=1,解之得:
a2=4,b2=3,
所以C2的方程是x24+y23=1.(4分)
或由|PF1|+|PF2|=2a计算出a=2,从而得方程.
(Ⅱ)易知S1S2=|AB||MN|,当l不垂直于x轴时,设l的方程是y=k(x-1)(k≠0),
联立y=k(x-1),y2=4x得:
k2x2-(2k2+4)x+k2=0,Δ1=(2k2+4)2-4k40,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2k2+4k2,|AB|=x1+x2+2=4(k2+1)k2;(7分)
联立y=k(x-1),3x2+4y2-12=0得:
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
Δ2=64k4-4(3+4k2)(4k2-12)=144(1+k2)0,
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则x3+x4=8k23+4k2,x3x4=4k2-123+4k2,
|MN|=(1+k2)[(x3+x4)2-4x3x4]=12(1+k2)3+4k2,
或|MN|=2a-e(x3+x4)=12(1+k2)3+4k2(10分)
则S1S2=|AB||MN|=3+4k23k2=43+1k2∈43,+∞,
当l垂直于x轴时,易知|AB|=4,|MN|=2b2a=3,此时S1S2=|AB||MN|=43,
综上有S1S2的取值范围是43,+∞.(12分)
设l:
x=my+1类似给分
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+x-xlnx,g(x)=ex-x2(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当x∈[0,+∞)时,求g(x)的最小值;
(Ⅱ)若函数f(x)恰有两个不同极值点x1,x2.
①求a的取值范围;
②求证:
x1x2≥e2.
【解析】(Ⅰ)g′(x)=ex-2x,(g′(x))′=ex-2,x∈[0,+∞),
所以g′(x)在[0,ln2)上单调递减,在(ln2,+∞)上单调递增,
g′(x)min=g′(ln2)=2(1-ln2)0,(2分)
即x∈[0,+∞)时,恒有g′(x)=ex-2x0,
故g(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)min=g(0)=1.(4分)
(Ⅱ)f′(x)=2ax-lnx,要f(x)恰有两个极值点,
等价于h(x)=2ax-lnx在(0,+∞)上恰有两个不同零点.
h′(x)=2a-1x=2ax-1x,(5分)
当a≤0时,h′(x)0在(0,+∞)恒成立,h(x)在(0,+∞)上单调递减,不合要求;(6分)
当a0时,h(x)在0,12a上单调递减,在12a,+∞上单调递增,
而h12a=1+ln(2a),由h12a=1+ln(2a)00a12e,(7分)
∴12ae,e12a12a212a,
此时h
(1)=2a0,he12a=2ae12a-12a=2ae12a-12a20,
故当0a12e时,g(x)=2ax-lnx在0,12a与12a,+∞上各恰有一个零点,
即当0a12e时函数f(x)有两个极值点.(8分)
另法:
考查2a=lnxx
②不妨设0x1x2,则有:
lnx1=2ax1,lnx2=2ax2,两式相加与相减得:
ln(x1x2)=2a(x1+x2),lnx1x2=2a(x1-x2),
ln(x1x2)=x1+x2x1-x2lnx1x2,而x1x2e2ln(x1x2)2,
x1+x2x1-x2lnx1x22,令t=x1x2∈(0,1),
t+1t-1lnt2(t+1)lnt-2(t-1)0,t∈(0,1)lnt-2(t-1)t+10,t∈(0,1),
考查函数g(t)=lnt-2(t-1)t+1,t∈(0,1),g′(t)=(t-1)2t(t+1)20恒成立于(0,1),
g(x)在(0,1)上单调递增,则恒有g(t)g
(1)=0.
即lnt-2(t-1)t+10,t∈(0,1)成立,
故命题得证.(12分)
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
(22)(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在极坐标系中曲线C1的方程是ρ2(1+3sin2θ)=16,点P是C1上的动点,点M满足OP→=2OM→(O为极点),点M的轨迹为曲线C2,以极点O为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy,已知直线l的参数方程是x=3+t,y=2t(t为参数).
(Ⅰ)求曲线C2直角坐标方程与直线l的普通方程;
(Ⅱ)求点M到直线l的距离的最大值.
【解析】(Ⅰ)设在极坐标系中M(ρ,θ),据OP→=2OM→有P(2ρ,θ),
代入C1的方程ρ2(1+3sin2θ)=16整理得:
ρ2(1+3sin2θ)=4,
再化为直角坐标方程是:
x24+y2=1即为所求.(4分)
直线l的参数方程x=3+t,y=2t(t为参数)化为普通方程是2x-y-6=0.(5分)
(Ⅱ)由C2:
x24+y2=1知,在直角坐标系中设M(2cosα,sinα),α∈R,
点M到直线l的的距离d=|4cosα-sinα-6|5=|17cos(α+φ)-6|5,
∴dmax=17+65=85+655.(10分)
(23)(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
(Ⅰ)已知函数f(x)=|x-2|-|x+1|.解不等式f(x)≥x2-2x;
(Ⅱ)已知x,y,z均为正数.求证:
xyz+yzx+zxy≥1x+1y+1z.
【解析】(Ⅰ)函数f(x)=|x-2|-|x+1|=3(x≤-1),-2x+1,(-1x2),-3(x2),(2分)
当x≤-1时,不等式为x2-2x≤3,∴-1≤x≤3,即x=-1;
当-1<x<2时,不等式为x2-2x≤-2x+1,解得-1≤x≤1,即-1<x≤1;
当x≥2时,不等式为x2-2x≤-3,∴x∈.
综合上述,
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