插值法第二次程序题Word文档下载推荐.docx
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%计算均差
x=[-1:
0.1:
1];
n=length(x);
symsz
fori=1:
n
y(i)=1/(1+25*x(i)*x(i));
end
N=zeros(n,n);
N(:
1)=y'
;
forj=2:
n
fork=j:
N(k,j)=(N(k,j-1)-N(k-1,j-1))/(x(k)-x(k-j+1));
end
end
fort=1:
c(t)=N(t,t)
%构造插值多项式
f=N(1,1);
fork=2:
a=1;
forr=1:
(k-1)
a=a*(z-x(r));
f=f+N(k,k)*a;
%作图
a=[-1:
0.001:
n=length(a);
b(i)=1/(1+25*a(i)*a(i));
fx=subs(f,z,a);
subplot(2,1,1);
plot(a,b,'
k'
a,fx,'
r'
);
c=[-0.6:
0.6];
n=length(c);
d(i)=1/(1+25*c(i)*c(i));
fx=subs(f,z,c);
subplot(2,1,2);
plot(c,d,'
c,fx,'
结果与分析:
由下图可以看出,在区间[-0.6,0.6]上,插值多项式可以很好的逼近被插值函数。
而在边界附近,插值多项式与被插值函数的差别很大。
即出现了Runge现象。
主要原因是被插值函数的任意阶导数不能达到一致有界。
其插值余项
不趋近零。
插值多项式不能收敛到被插值函数。
clear;
%插值点
21
x(i)=cos((2*(i-1)+1)*pi/42);
%构造插值基函数
symsz;
temp=1;
lx=1;
forj=1:
ifi~=j
temp=(z-x(j))/(x(i)-x(j));
lx=lx*temp;
end
l(i)=lx;
%插值多项式
l=l'
L=y*l;
0.01:
fx=subs(L,z,a);
xr'
如下图所示,使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比较接近原函数,没有出现Runge现象。
主要原因是其多项式误差为
。
clc;
%构造分段线性插值多项式
n-1
l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1)
%l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i))
a=[x(i):
x(i+1)];
f=subs(l(i),z,a)
plot(a,f,'
)
holdon
如下图所示,分段线性插值多项式比较接近原函数,没有出现Runge现象。
利用线性插值多项式的误差估计:
h(i)=x(i+1)-x(i);
n-2
u(i)=h(i)/(h(i+1)+h(i));
r(i)=1-u(i);
G=zeros(n,n);
G(i,i)=2;
fori=2:
G(i,i-1)=u(i-1);
G(i,i+1)=r(i-1);
G(n,n-1)=1;
G(1,2)=1;
d=zeros(1,n);
d(i)=6*((y(i+1)-y(i))/h(i)-(y(i)-y(i-1))/h(i-1))/(h(i)+h(i-1));
symsuv;
u=diff(1/(1+25*v*v),v);
a=subs(u,v,x
(1));
b=subs(u,v,x(n));
d
(1)=((y
(2)-y
(1))/h
(1)-a)/h
(1)*6;
d(n)=(b-(y(n)-y(n-1))/h(n-1))/h(n-1)*6;
d=d'
M=inv(G)*d;
s(i)=M(i)*(x(i+1)-z)^3/0.6+M(i+1)*(z-x(i))^3/0.6+(y(i)-M(i)*0.01/6)*(x(i+1)-z)/0.1+(y(i+1)-M(i+1)*0.01/6)*(z-x(i))/0.1;
f=subs(s(i),z,a);
三次样条插值函数得到的图像如下:
可以看出,三次样条插值函数的曲线及其光滑。
得到的函数十分接近被插值函数。
题目2:
对函数:
在区间[-1,1]作下列插值逼近,并和被插值函数的图像进行比较,并对结果进行分析。
y=zeros(1,n)
10
y(i)=sin(pi*x(i));
fori=11:
15
y(i)=cos(pi*x(i));
fori=15:
y(i)=0;
c(t)=N(t,t);
v=linspace(-1,0,50);
u=sin(pi*v);
plot(v,u,'
holdon
v=linspace(0,0.5,25);
u=cos(pi*v);
v=linspace(0.5,1,10000);
u=0;
plot(a,fx,'
等距节点20次Newton插值得到的函数图像如下:
可以看出,在整个区间上,插值多项式精度都不是很高。
出现了Runge现象。
%求插值节点
y=zeros(1,n);
ifx(i)<
elseifx(i)>
0.5
else
%插值基函数
如下图所示,使用Chebyshev多项式零点构造的Lagrange插值多项式比Newton插值多项式接近原函数,没有出现Runge现象。
l(i)=(z-x(i+1))/(x(i)-x(i+1))*y(i)+(z-x(i))/(x(i+1)-x(i))*y(i+1);
%l(i)=y(i)+(y(i+1)-y(i))/(x(i+1)-x(i))*(z-x(i));
f=subs(l(i),z,a);
但是在间断点处及导数不存在的点误差较大。
主要是因为这些地方构造的线性函数斜率较大,不能较好的趋近原函数。
u=diff(sin(pi*v),v);
b=0;
可以看出,三次样条插值函数在间断点处也有较大误差。
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