数学人教A必修5同步应用案巩固提升模块综合检测.docx
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数学人教A必修5同步应用案巩固提升模块综合检测
2019年4月
模块综合检测
(时间:
120分钟,满分:
150分)
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.在数列{an}中,Sn=2n2-3n(n∈N*),则a4等于( )
A.11 B.15
C.17D.20
详细分析:
选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5,当n=1时,a1=S1=-1,符合,
所以an=4n-5,
令n=4,得a4=11.
2.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A,B,C的对边,b=,c=,B=,那么a等于( )
A.1B.2
C.4D.1或4
详细分析:
选C.在△ABC中,b=,c=,cosB=,由余弦定理有b2=a2+c2-2accosB,即7=a2+3-3a,解得a=4或a=-1(舍去).故a的值为4.
3.下列命题中,一定正确的是( )
A.若a>b且>,则a>0,b<0
B.若a>b,b≠0,则>1
C.若a>b且a+c>b+d,则c>d
D.若a>b且ac>bd,则c>d
详细分析:
选A.A正确,若ab>0,则a>b与>不能同时成立;B错,如取a=1,b=-1时,有=-1<1;C错,如a=5,b=1,c=1,d=2时,有a+c>b+d,c 4.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值是( ) A.2B.4 C.7D.8 详细分析: 选C.画出可行域如图(阴影部分). 目标函数为z=2x+y,由解得A(3,1), 当目标函数过A(3,1)时取得最大值, 所以zmax=2×3+1=7. 5.设a>0,b>0,若lga和lgb的等差中项是0,则+的最小值是( ) A.1B.2 C.4D.2 详细分析: 选B.因为lga和lgb的等差中项是0, 所以lga+lgb=0,即ab=1,又a>0,b>0, 所以+≥2=2, 当且仅当a=b=1时取等号,因此+的最小值是2. 6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,=4,则的值为( ) A.B. C.D.4 详细分析: 选C.设公差为d,则S4=4a1+6d,S2=2a1+d,结合S4=4S2,a1=1,得d=2,所以S4=16,S6=36,所以=. 7.当x>0时,不等式x2-mx+9>0恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,6)B.(-∞,6] C.[6,+∞)D.(6,+∞) 详细分析: 选A.由题意得: 当x>0时,mx<x2+9,即m<x+恒成立.设函数f(x)=x+(x>0),则有x+≥2=6,当且仅当x=,即x=3时,等号成立,则实数m的取值范围是m<6. 8.数列{an}满足a1=2,an+1=a(an>0,n∈N*),则an=( ) A.10n-2B.10n-1 C.102n-1D.22n-1 详细分析: 选D.因为数列{an}满足a1=2,an+1=a(an>0,n∈N*),所以log2an+1=2log2an, 即=2. 又a1=2,所以log2a1=log22=1. 故数列{log2an}是首项为1,公比为2的等比数列. 所以log2an=2n-1,即an=22n-1.故选D. 9.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且4S=(a+b)2-c2,则sin等于 ( ) A.1B.- C.D. 详细分析: 选C.因为S=absinC,cosC=,所以2S=absinC,a2+b2-c2=2abcosC.又4S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab, 所以2absinC=2abcosC+2ab.因为ab≠0,所以sinC=cosC+1.因为sin2C+cos2C=1,所以(cosC+1)2+cos2C=1,解得cosC=-1(不合题意,舍去)或cosC=0,所以sinC=1, 则sin=(sinC+cosC)=. 10.一个等比数列前三项的积为2,最后三项的积为4,且所有项的积为64,则该数列有( ) A.13项B.12项 C.11项D.10项 详细分析: 选B.设该数列的前三项分别为a1,a1q,a1q2,后三项分别为a1qn-3,a1qn-2,a1qn-1,所以前三项之积aq3=2,后三项之积aq3n-6=4,两式相乘得aq3(n-1)=8,即aqn-1=2.又a1·a1q·a1q2·…·a1qn-1=64,所以a·q=64,即(aqn-1)n=642,即2n=642,所以n=12. 11.如图所示,为了测量A,B处岛屿的距离,小明在D处观测A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为( ) A.20海里B.40海里 C.20(1+)海里D.40海里 详细分析: 选A.连接AB,由题意可知CD=40,∠ADC=105°,∠BDC=45°,∠BCD=90°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,∠ADB=60°, 在△ACD中,由正弦定理得=, 所以AD=20, 在Rt△BCD中, 因为∠BDC=45°,∠BCD=90°, 所以BD=CD=40. 在△ABD中,由余弦定理得 AB==20. 12.已知不等式x2-ax+a-2>0的解集为(-∞,x1)∪(x2,+∞),其中x1<0<x2,则x1+x2++的最大值为( ) A.B.0 C.2D.- 详细分析: 选B.因为不等式x2-ax+a-2>0的解集为(-∞,x1)∪(x2,+∞),其中x1<0<x2, 所以x1x2=a-2<0,x1+x2=a. 所以x1+x2++=(x1+x2)+ =a+=a+=a+2+=(a-2)++4; 又a-2<0,所以-(a-2)>0, 所以-(a-2)-≥2=4, 当且仅当-(a-2)=-, 即a=0时,取“=”; 所以(a-2)++4≤-4+4=0, 即x1+x2++的最大值为0. 二、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上. 13.不等式(2-x)(2x+1)>0的解集为________. 详细分析: 原不等式等价于 (x-2)<0,解得-<x<2, 所以原不等式的解集为. 答案: 14.在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=0(n∈N*),bn是an和an+1的等差中项,设Sn为数列{bn}的前n项和,则S6=________. 详细分析: 由an+1=2an,{an}为等比数列, 所以an=2n,所以2bn=2n+2n+1,即bn=3·2n-1,所以S6=3·1+3·2+…+3·25=189. 答案: 189 15.设z=kx+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则实数k=________. 详细分析: 约束条件所表示的区域为如图所示的阴影部分,其中点A(4,4),B(0,2),C(2,0).当-k≤,即k≥-时,目标函数z=kx+y在点A(4,4)处取得最大值12,故4k+4=12,k=2,满足题意;当-k>,即k<-时,目标函数z=kx+y在点B(0,2)处取得最大值12,故k·0+2=12,无解.综上所述,k=2. 答案: 2 16.已知数列{an}的前n项和是Sn,且4Sn=(an+1)2,则下列说法正确的是________(填序号). ①数列{an}是等差数列; ②数列{an}是等差数列或等比数列; ③数列{an}是等比数列; ④数列{an}既不是等差数列也不是等比数列. 详细分析: 因为4Sn=(an+1)2,所以4Sn+1=(an+1+1)2,所以4Sn+1-4Sn=4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2,化简得(an+1+an)(an+1-an-2)=0,所以an+1=an+2或an+1+an=0.因为4a1=(a1+1)2,所以a1=1.由an+1=an+2得an+1-an=2,从而数列{an}是等差数列;由an+1+an=0得=-1,从而数列{an}是等比数列.故数列{an}是等差数列或等比数列. 答案: ② 三、解答题: 本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S7=49,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn. 解: (1)设数列{an}的公差为d,则 解得 故an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N*),所以数列{an}的通项公式为an=2n-1(n∈N*). (2)bn===2n, 即{bn}是b1=2,q=2的等比数列, 所以Tn===2n+1-2(n∈N*). 18.(本小题满分12分)已知f(x)=x2-x+1. (1)当a=时,解不等式f(x)≤0; (2)若a>0,解关于x的不等式f(x)≤0. 解: (1)当a=时,有不等式f(x)=x2-x+1≤0,所以(x-2)≤0, 所以≤x≤2,即所求不等式的解集为. (2)因为f(x)=(x-a)≤0,a>0,且方程(x-a)=0的两根为x1=a,x2=, 所以当>a,即0<a<1时,不等式的解集为; 当<a,即a>1时, 不等式的解集为; 当=a,即a=1时, 不等式的解集为{1}. 19.(本小题满分12分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,acosC+asinC-b-c=0. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c. 解: (1)由acosC+asinC-b-c=0及正弦定理得 sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0. 因为B=π-A-C, 所以sinAsinC-cosAsinC-sinC=0. 由于sinC≠0,所以sin=.
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