Newton迭代法求解非线性方程.docx
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Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非
线性方程
Newton迭代法概述
构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此,如果能将非线性方程f(x)=0用线性方程去代替,那么,求近似根问题就很容易解决,而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设xk是方程f(x)=0的一个近似根,把如果f(x)在xk处作一阶Taylor展开,即:
(1-4)上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法,简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程:
yf(xk)f'(xk)(xxk)
(1-5)
是曲线yf(x)上点(xk,f(xk))处的切线方程。
迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。
正因为如此,牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的,而对于重根是一阶局部收敛的。
般来说,牛顿法对初值x0的要求较高,初值足够靠近x*时才能保证收敛。
若
要保证初值在较大范围内收敛,则需对f(x)加一些条件。
如果所加的条件不满足,
而导致牛顿法不收敛时,则需对牛顿法作一些改时,即可以采用下面的迭代格式:
f(xk)
xk1xkkk0,1,2,
f'(xk),
(1-6)
上式中,01,称为下山因子。
因此,用这种方法求方程的根,也称为牛顿
下山法。
牛顿法对单根收敛速度快,但每迭代一次,除需计算f(xk)之外,还要计算f'(xk)的值。
如果f(x)比较复杂,计算f'(xk)的工作量就可能比较大。
为了避免计算导数值,我们可用差商来代替导数。
通常用如下几种方法:
1.割线法
如果用f(xk)f(xk1)代替f'(xk),则得到割线法的迭代格式为:
xkxk1
xk1xkf(xk)
f(xk)f(xk1)
(1-7)
2.拟牛顿法
如果用f(xk)f(xkf(xk1))代替f'(xk),则得到拟牛顿法的迭代格式为:
f(xk)
xk
f2(xk)
f(xk)f(xkf(xk1))
(1-8)
3.Steffenson法
如果用f(xkf(xk))f(xk)代替f'(xk),则得到拟牛顿法的迭代格式为:
f(xk)
xk
f(xkf(xk))f(xk)
f2(xk)
(1-9)
二、
算法分析
1.割线法
割线法的迭代公式为:
xkxk1
xk1xkf(xk),k=0,1,2,⋯
f(xk)f(xk1)
割线法是超线性收敛,其程序流程图为:
2.拟牛顿法
牛顿拟迭代法迭代公式为:
xk
f(xk)f(xkf(xk1))
f2(xk)
(1)对单根条件下,牛顿拟迭代法平方收敛,牛顿拟迭代法程序框图如下所
示:
迭代公式修改为:
此时,牛顿迭代法至少平方收敛。
3.Steffenson法
Steffenson迭代法程序流程图与牛顿拟迭代法类似。
三、牛顿法的程序
f'(pk1),k1,2,,求解非线性方程
给定初值p0,用牛顿法格式pkpk1f(pk1)
f(x)0。
function[p1,err,k,y]=newton(f1041,df1041,p0,delta,max1)%f1041是非线性函数。
%df1041是f1041的微商。
%p0是初始值。
%delta是给定允许误差。
%max1是迭代的最大次数。
%p1是牛顿法求得的方程的近似解。
%err是p0的误差估计。
%k是迭代次数。
%y=f(p1)
p0,feval('f1041',p0)
fork=1:
max1
p1=p0-feval('f1041',p0)/feval('df1041',p0);
err=abs(p1-p0);
p0=p1;
p1,err,k,y=feval('f1041',p1)
if(err break, end p1,err,k,y=feval('f1041',p1) end 四、程序实例与计算结果 例用上述程序求方程x33x20的一个近似解,给定初值为,误差界为106解: 先用m文件先定义二个名为和的函数文件。 functiony=f1041(x) y=x^3–3*x+2; functiony=df1041(x)y=3*x^2-3; 建立一个主程序 clear newton('f1041','df1041',,10^(-6),18) 然后在MATLA命B令窗口运行上述主程序,即: err=k=3y=p1=err=k=4y=p1=err= k=4y=p1=err= k=5y=p1=err= k=5y=p1=err= k=6y= >>prog1041计算结果如下: p0=ans=p1=err=k=1y=p1=err=k=1y=p1=err=k=2y=p1=err=k=2y=p1=err=k=3y=p1= p1=err=k=6y=p1=err=k=7y=p1=err=k=7y=p1=err=k=8y=p1=err=k=8y=p1=err=k=9y=p1=err=k=9 y= p1=err= k=10y=p1=err= k=10y=p1=err= k=11y=p1=err= k=11y= p1=err= k=12y=p1=err= k=12y=p1=err= p1=err=k=16y= p1=err= k=16y= p1=err= k=17y= p1=err= k=17y= p1=err= k=18y=ans= 这说明,经过18次迭代得到满足精度要求的值。 以下 是程 序运 行截图:
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