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u
二、元素法
1.能用定积分计算的量,应满足下列三个条件
(1)〃与变量X的变化区间["
,切有关:
(2)〃对于区间[ab]具有可加性;
(3)U部分量可近似地表示成/(§
)•空。
2.写出计算U的泄积分表达式步骤
(1)根据问题,选取一个变量X为积分变量,并确定它的变化区间[«
/?
]:
(2)设想将区间[a,b]分成若干小区间,取其中的任一小区间[x,x+dx],求出它所对应的部分量的近似值
\U“Zx(/(兀)为[a,b]上一连续函数)
则称f(x)dx为量t/的元素,且记作=f(x)dxa
(3)以t/的元素〃t;
作被积表达式,以[a,b]为积分区间,得
b
t/=Jf(x)dx
a
这个方法叫做元素法,其实质是找出u的元素〃t/的微分表达式
dU=f(x)dx(a<
x<
b}
因此,也称此法为元素法。
课后
作业
教学
后记
6.2定积分在几何上的应用
直角坐标系下元素法在几何上的应用
极坐标系下元素法在几何上的应用
1.会用元素法求平而图形的面积
2.会用元素法求旋转体的体积
3.会用兀素法平行截而而积为已知的立体体积
4.会用元素法求平而曲线的长度
(至少三种)
学
过
程
一、平面图形的面积
1.直角坐标情形
求由两条曲线y=/(-v),y=g(x)(/(x)>
g(jr)),两条直线x=a,x=b所围图形的而积。
S=f〃S=£
[/(%)-g(x)\lx
例1求由抛物线y2=x,y=x2所围图形的而积。
例2求由抛物线b=2x,直线y=x-4所围图形的面积。
22
例3求椭闘一-+—■=1面积。
<
rZr
2.极坐标情形
例4求心脏线F="
(l+cos&
)(«
>
0)所围成图形的面积。
教学过程
二、体积
1.旋转体的体积
求由曲线y=/(x),直线x=a、x=b反x轴所围的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体体积。
V=^a(p\y}dy
例5求y=F,x=1及x轴所用图形分别绕x、y轴旋转一周而成的旋转体体积。
例6求y=sinx和它在x=壬处的切线及x=兀所国图形绕x轴旋转而成的旋转体体积。
2.截面积为已知的立体的体积
某立体的垂直于x(或y)轴的截面而积为已知,体积V=「A(x)dx
Ja
例7求以半径为R的圆为底,平行且等于底圆直径的线段为顶,髙为〃的正劈锥体的体积。
三、平面曲线的弧长
s=fJi+(y)2〃x
例8求y=lnx对应于V3<
78一段弧长。
2.直角坐标参数情形
S=fj(0)2+(沙力
例9求星形线[“心丫的全长。
[y=as\nst
四、课堂小结、布置作业
6.3定积分在物理学上的应用
做功问题,水压力问题
结合物理意义分析,写出所求量的元素
1•会用元素法求解变力做功
2.会用元素法求解水压力问题
3.会用元素法求解引力问题
一、变力沿直线所作的功
提示:
一个与物体位移方向一致的常力F,将物体自数轴上点"
移动到点b所作之功W为
W=F{b—a).
例1在底而积为s的圆柱形容器中盛有一泄虽的气体,在等温条件下,由于气体
的膨胀,把容器中的一个活塞(面积为s)从点a处推移到点〃处,il•算在移动
过程中,气体压力所作的功.
二、水压力
在水深为〃处的压强卩=加(了为水比重).
如果有一个而积为A的平板水平地放置在水深为力处,那么平板一侧所受的
水压力为
P=p•A=加•A・
例2—圆柱形的储水桶高为5X.底圆半径为3米,桶内盛满了水,试问要把
桶内的水全部吸出需作多少功?
三、引力
质量分别为“,也2且相距为广的两质点间的引力的大小为
厂
其中G为引力系数,引力的方向沿两质点的连线方向.
例3设有一个长度为/,线密度为Q的均匀细直棒,在其中垂线上距棒"
单位处
有一质量为加的质点M,试计算该棒对质点M的引力.
四、课堂小结、布置作业
日期
课时安排
2
7.1微分方程基本概念§
7.2可分离变量的微分方程
微分方程的基本概念、可分离变量的微分方程的求解
建立微分方程模型
1.理解微分方程的槪念
2.理解微分方程及其解、阶
、通解、初始条件和特解等概念
目
3.掌握可分离的方程方程的解法
标
一、引例
例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点Ma;
y)处的切线的斜率为纽求
这曲线的方程.
例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶;
当制动时列车获得加速度-O.Ws\问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里
行驶了多少路程?
二、基本概念
微分方程、常微分方程.偏微分方程、微分方程的阶、微分方程的解、通解.
初始条件、特解、初值问题、积分曲线
例3、验证:
函数A-=ClCos^+C2sinkt是微分方程与+£
S=o的解.dr
例4、已知函数eGcos灯+C?
sii谢伙hO)是微分方程与+£
2*0的通解,求满足dt2
初始条件xlz=A,dz=0的特解.
三、可分离变量的微分方程
1、定义
2、求方程通解
例5、求微分方程——ysinx=0的通解。
dx
例6、求微分方程(y-l)Jx-(A>
->
W=0的通解。
例7、设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开
跳伞塔时速度为零(卩1-=0),求降落伞下落速度与时间的函数关系。
四、习题讲解
片08Exl(5)(7)
五、课堂小结、布置作业
7.3齐次方程:
7.4一阶线性微分方程
教材的重点、难点分析
齐次微分方程、一阶线性微分方程的求解
y作为自变屋的一阶线性微分方程及伯努利方程的求解问题
1.掌握齐次方程的解法
2.掌握一阶线性方程的解法
3.会解伯努利方程
4.会用简单的变量代换解某些微分方程
一、齐次微分方程
1.齐次微分方程定义
2.齐次微分方程的计算
令“=丄,得y=ux
X
例1解方程护+牙2叟芈
zdx-dx
例2求微分方程xy1=y(l+Iny-Ina)的通解.
二、一阶线性微分方程
1.定义
2.通解求法
常数变易法(4l5)
1
例1求方程(x-2)y的通解。
例2求方程V.的通解「
dx2x-y"
例3求方程必‘2V-(x+1)5的通解。
dxx+1
三、伯努利方程
1.方程介绍A®
2.求解
例4求微分方程—+-=a(\nx)y2的通解*
dxX
7.5可降阶的髙阶微分方程
三种特殊类型的高阶微分方程的求解难点:
微分方程/=f(y.y'
)形式的求解
1•会解y(w)=/U)型的微分方程
2.会解y"
=型的微分方程
3.会解y"
=/(y,yf)型的微分方程
一、y(”)=/(x)型的微分方程
解法:
积分c次
严=]7(吨+G,艸-2)=J[J/Wx+G如C2,……
例1求微分方程”"
=e"
cosx的通解.。
例2求微分方程y"
=sinx-cosx满足初始条件y(0)=2,y'
(0)=1的特解。
二、y"
=/(x,f)型的微分方程
设则方程化为p'
=f(X,P)-设p)的通解为尸(A-,G),贝1」
牛=沁£
).原方程的通解为y=J(p(x^C])dx+C2•
例3求微分方程(1y)^=2xy满足初始条件卩十1,/十3的特解.
例4设由一质量分布均匀,柔软的细绳,其两端固定,求它在自身重力作用下的曲线方程.
三、)'
"
=/(”),)型的微分方程
解法:
设宀,有y“_牛一晋夕一戸罟原方程化为p牛-设方程
£
=/("
)的通解为畑=(y,G),则原方程的通解为J^yc-=x+C2.
例5求微分y/严=0的通解。
四、习題讲解
P沏Ex2(5)(6),4
4日期课时安排2
7.6高阶线性微分方程
线性微分方程通解的结构
高阶非齐次线性微分方程解的结构
学目标
1.理解线性微分方程解的性质
2.掌握线性微分方程通解的结构
一、二阶线性微分方程举例
(叱
二、二阶线性微分方程的解的结构
定理1若x(x)与为⑴是方程⑴的两个解,则y=Ciy{(x)+C2y2(x)也
是方程
(1)的解.
注意齐次线性方程的解符合叠加原理,但是上而的解不一定是通解.
定理2如果函数儿(x)与y2(x)是微分方程
(1)的两个线性无关的特解,那么y=C^(x)+C2y2(x)(C,,C2为任意常数)
是微分方程
(1)的通解.
例1求微分方程(cosx)y"
+(sinx)y'
+(secx)y=0的通解.
三、二阶线性非齐次微分方程解的结构
y"
+p(X)y+Q(Qy=/(x)
(2)
定理3设y\x)是微分方程
(2)的一个特解,Y(x)是与
(2)对应的线性齐次
微分方程
(1)的通解,则
>
-=y(x)+
是二阶线性非齐次微分方程
(2)的通解.
例2求线性微分方程y”+y=x2的通解.
定理4设线性非齐次微分方程为
+P(x)yr+Q(x)y=人(x)+f2(x)
而函数>
(x)与分别是微分方程
与y"
+P(x)y'
+Q(x)y=/2(x)
的特解,那么)<
Cv)+y;
(x)就是原微分方程的特解
7.7常系数齐次线性微分方程
二阶常系数线性齐次微分方程的求解
髙阶常系数线性齐次微分方程的求解
1.掌握二阶常系数线性齐次微分方程的解法会计算广义积分
2.了解髙阶常系数线性齐次微分方程的解法
一、二阶常系数线性齐次微分方程
1.方程形式(〈8)
2.方程求解
(1)写岀微分方程的特征方程尸2+/”+§
=0;
(2)求出特征方程的两个根r,,r2;
(3)根据特征根的不同情况,按下表写出微分方程通解
情形1特征方程有两个不相等的实根斤Hr2,方程的通解为y=C^x+C2e^x
情形2特征方程有两个相等实根斤=5,方程的通解为F=(G+C2x)er'
x.
情形3特征方程有一对共轨复根八=a+i0,r2方程的通解为
y=eax[C|cospx+C2sinfix].
3.例题分析
例1求微分方程y"
-即-3尸0的通解.
例2求方程y"
+2#+尸0满足初始条件ylz=4、2的特解.
例3求微分方程y〃-2丫+5)=0的通解.
二、"
阶常系数线性齐次微分方程
1.通解求法
n阶常系数线性齐次微分方程的通解为
y=C,y,+C2y2+……+Cnyn.
特征方程的根与通解中项的对应:
(1)单实根「对应于一项:
CK;
⑵一对单复根门,^a±
ip对应于两项:
e〃(C|COS侏+C2Sin0v);
(3沐重实根r对应于k项:
严(Ci+Cm+…+G占);
⑷一对k重复根门,2=a±
f0对应于2k项:
严[(Ci+C?
x+…+G.xJ:
-,)cos/?
r+(D+Dzx+…+DAAA-,)sin/?
v].
2.例题分析
例4求方程y4>
-2y,,/+5y,,=0的通解
三、课堂小结、布置作业
7.8常系数非齐次线性微分方程
自由项为f(x)=eaxpii(x)的二阶常系数线性非齐次微分方程的解。
难点:
自由项为f(x)=严(p”,(x)sinpx+pn(x)cosJ3x)的二阶常系数线性非齐次微分方程的解。
1•会求自由项为多项式、指数函数二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
2.会求自由项为正弦函数、余弦函数,以及它们的和二阶常系数非次线性微分方程的特解和通解。
二阶常系数线性非齐次微分方程y"
+py1+P=fM<
1)
一、f(x)=eAxPm(x)型
方程
(1)具有如下形式的特解
当2不是特征方程的根
y*=xkQm(x)eAx=<
吆,©
)0,当几是特征方程的单根,疋0(无)訂,当兄是特征方程的重根
其中QmM=boxm+blXm~l+......+bm_lx+bm,系数%,b、,……bm_vbm由恒
等式(3)通过比较两边x的同次幕系数求得.
-2屮-3尸3x+l的一个特解.
例2求微分方程y〃-5屮+6〉=«
^的通解.
二、f(x)="
x[£
(x)cosor+代(x)sin<
wx]型
则微分方程
(1)的特解为
y*=xke/x[R,'
(x)coscox-\-R,2'
(x)sincox],
其中R;
;
)a),R;
Jg是X的加次多项式,m=max{/,w},而£
按X+ico不是特征方程根取0,是特征方程根取1.
例3求微分方程y"
+〉=xcos2r的一个特解.
例4求解方程y"
—2y'
+2y=/cosx的通解.
三、习题讲解
马62Exl(l)(3)(7)(9)
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- 积分 元素
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