集合的概念及其运算.docx
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集合的概念及其运算
1-11-1集合的概念及其运算
基础巩固
一、选择题
1.(文)(2012·四川文,1)设集合A={a,b},B={b,c,d},则A∪B=( )
A.{b}B.{b,c,d}
C.{a,c,d}D.{a,b,c,d}
[答案] D
[解析] 本题考查了集合的并集运算,
∵A={a,b},B={b,c,d},
∴A∪B={a,b,c,d},属容易题.
(理)(2012·陕西理,1)集合M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则M∩N=( )
A.(1,2)B.[1,2)
C.(1,2]D.[1,2]
[答案] C
[解析] 本题考查了对数不等式、一元二次不等式的解法与集合的运算.
M={x|x>1},N={x|-2≤x≤2},
M∩N={x|1 2.(文)(2012·浙江文,1)设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁UQ)=( ) A.{1,2,3,4,6}B.{1,2,3,4,5} C.{1,2,5}D.{1,2} [答案] D [解析] 本题考查了集合的交、补运算,由已知得 P∩(∁UQ)={1,2,3,4}∩{1,2,6}={1,2}. (理)(2012·浙江理,1)设集合A={x|1 A.(1,4)B.(3,4) C.(1,3)D.(1,2)∪(3,4) [答案] B [解析] 本题考查了集合的运算. x2-2x-3≤0,-1≤x≤3, ∴∁RB={x|x<-1或x>3}. ∴A∩(∁RB)={x|3 3.(文)已知全集U=R,且A={x||x-1|>2},B={x|x2-6x+8<0},则(∁UA)∩B等于( ) A.[-1,4)B.(2,3) C.(2,3]D.(-1,4) [答案] C [解析] 解法1: A={x|x>3或x<-1},B={x|2 解法2: 验证排除法,取x=0,x∉B,故排除A、D.取x=3,3∉A,3∈B.∴3∈(∁UA)∩B.排除B. (理)已知函数f(x)= 的定义域为M,g(x)=ln(1+x)的定义域为N,则M∩N等于( ) A.{x|x>-1}B.{x|-1 C.{x|x<1}D.∅ [答案] B [解析] M={x|x<1},N={x|x>-1}, ∴M∩N={x|-1 4.已知M={y|y=x2},N={y|x2+y2=2},则M∩N=( ) A.{(1,1),(-1,1)}B.{1} C.[0,1]D.[0, ] [答案] D [解析] ∵M=[0,+∞),N=[- , ], ∴M∩N=[0, ],故选D. [点评] 本题特别易错的地方是将数集误认为点集. 5.(文)(2012·安徽文,2)设集合A={x|-3≤2x-1≤3},集合B为函数y=lg(x-1)的定义域,则A∩B=( ) A.(1,2)B.[1,2] C.[1,2)D.(1,2] [答案] D [解析] 本题考查了不等式解法,函数定义域求法,集合中的交集运算. 由-3≤2x-1≤3知,-1≤x≤2,要使函数y=lg(x-1)有意义,须x-1>0,即x>1,∴集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x>1},∴A∩B={x|1 (理)若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有( ) A.A⊆CB.C⊆A C.A≠CD.A=∅ [答案] A [解析] 考查集合的基本概念及运算. ∵B∩C⊆B⊆A∪B,A∪B=B∩C⊆B, ∴A∪B=B,B∩C=B,∴A⊆B,B⊆C,∴A⊆C,选A. 6.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y= ,x>2},则∁UP=( ) A.[ ,+∞)B.(0, ) C.(0,+∞)D.(-∞,0]∪[ ,+∞) [答案] A [解析] 本题考查函数值域求解及补集运算. ∵U={y|y=log2x,x>1}=(0,+∞), P={y|y= ,x>2}=(0, ), ∴∁UP=[ ,+∞). 二、填空题 7.若集合A={x|(x-1)2<3x+7,x∈R},则A∩Z中有________个元素. [答案] 6 [解析] 由(x-1)2<3x+7得x2-5x-6<0, ∴A=(-1,6),因此A∩Z={0,1,2,3,4,5},共有6个元素. 8.(2012·九江模拟)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为________. [答案] 4 [解析] 本小题主要考查了集合的并集运算. ∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16}, ∴ ∴a=4. 三、解答题 9.已知集合A={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},B={x|x2+4x=0},若A∪B=B,求实数a的取值范围. [分析] 由A∪B=B,可以得出A⊆B, 而A⊆B中含有特例A=∅,应注意. [解析] 由x2+4x=0得: B={0,-4},由于A∪B=B, (1)若A=∅,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,得a<-1. (2)若A≠∅,则0∈A或-4∈A, 当0∈A时,得a=±1;当-4∈A,得a=1或a=7; 但当a=7时A={-4,-12},此时不合题意. 故由 (1) (2)得实数a的取值范围是: a≤-1或a=1. 能力提升 一、选择题 1.(文)(2012·辽宁文,2)已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},则(∁UA)∩(∁UB)( ) A.{5,8}B.{7,9} C.{0,1,3}D.{2,4,6} [答案] B [解析] 本题考查了集合的补集、交集运算. 由已知可得∁UA={2,4,6,7,9},∁UB={0,1,3,7,9}, ∴(∁UA)∩(∁UB)={7,9}. (理)(2012·全国大纲理,2)已知集合A={1,3, },B={1,m},A∪B=A,则m=( ) A.0或 B.0或3 C.1或 D.1或3 [答案] B [解析] 本小题主要考查了集合的概念和集合的并集运算,集合间的关系的运用,元素与集合的关系的综合运用,同时考查了分类讨论思想.∵A∪B=A,∴B⊆A,又A={1,3 },B={1,m},m∈A,即有m=3或m= , ∴m=0,m=3,m=1(舍),故选B. 2.(文)设全集为U,集合A、B是U的子集,定义集合A与B的运算: A*B={x|x∈A或x∈B,且x∉(A∩B)},则(A*B)*A等于( ) A.AB.B C.(∁UA)∩BD.A∩(∁UB) [分析] 本题考查集合新运算的理解,在韦恩图中,先画出A*B所表示的部分,再画出(A*B)*A表示的部分. [答案] B [解析] 画一个一般情况的韦恩图,如图所示,由题目的规定,可知(A*B)*A表示集合B. (理)(2013·北大附中河南分校高三年级第四次月考)已知集合P={正奇数}和集合M={x|x=a⊕b,a∈P,b∈P},若M⊆P,则M中的运算“⊕”是( ) A.加法 B.除法 C.乘法D.减法 [答案] C [解析] 因为M⊆P,所以只有奇数乘以奇数还是奇数,所以集合M中的运算⊕为通常的乘法运算,选C. 二、填空题 3.(文)A={(x,y)|x2=y2},B={(x,y)|x=y2},则A∩B=______. [答案] {(0,0),(1,1),(1,-1)}. [解析] A∩B= ={(0,0),(1,1),(1,-1)}. (理)已知集合A={x||x-a|≤1},B={x2-5x+4≥0},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是________. [答案] (2,3) [解析] B中,x2-5x+4≥0,∴x≥4或x≤1. 又∵A中|x-a|≤1,∴a-1≤x≤1+a. ∵A∩B=∅,∴a+1<4且a-1>1,∴2 4.(文)设全集U=A∪B={x∈N+|lgx<1},若A∩∁UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合B=________. [答案] {2,4,6,8} [解析] A∪B={x∈N+|lgx<1}={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A∩∁UB={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4}={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}. (理)设全集U=R,A={x| >0},∁UA=[-1,-n],则m2+n2等于________. [答案] 2 [解析] 由∁UA=[-1,-n],知A=(-∞,-1)∪(-n,+∞),即不等式 >0的解集为(-∞,-1)∪(-n,+∞),所以-n=1,-m=-1,因此m=1,n=-1, 故m2+n2=2. 三、解答题 5.(文)设a,b∈R,集合 ={a2,a+b,0},求a2014+b2014的值. [解析] 由已知得a≠0, ∴ =0,即b=0. 又a≠1,∴a2=1,∴a=-1. ∴a2014+b2014=(-1)2014=1. (理)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值. (1)9∈(A∩B); (2){9}=A∩B. [解析] (1)∵9∈(A∩B), ∴9∈A且9∈B, ∴2a-1=9或a2=9, ∴a=5或a=-3或a=3, 经检验a=5或a=-3符合题意. ∴a=5或a=-3. (2)∵{9}=A∩B,∴9∈A且9∈B, 由 (1)知a=5或a=-3 当a=-3时,A={-4,-7,9}, B={-8,4,9}, 此时A∩B={9}, 当a=5时,A={-4,9,25}, B={0,-4,9}, 此时A∩B={-4,9},不合题意. 综上知a=-3. 6.(文)(2013·郑州模拟)设集合A={x|x2<4},B= . (1)求集合A∩B; (2)若不等式2x2+ax+b<0的解集是B,求a,b的值. [解析] A={x|x2<4}={x|-2 B= = ={x|-3 (1)A∩B={x|-2 (2)∵2x2+ax+b<0的解集为B={x|-3 ∴-3和1为方程2x2+ax+b=0的两根, ∴ ∴a=4,b=-6. (理)已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|x2-3x≤10}. (1)若a=3,求(∁RP)∩Q; (2)若P⊆Q,求实数a的取值范围. [解析] (1)因为a=3,所以P={x|4≤x≤7}, ∁RP={x|x<4或x>7}. 又Q={x|x2-3x-10≤0}={x|-2≤x≤5}, 所以(∁RP)∩Q={x|x<4或x>7}∩{x|-2≤x≤5} ={x|-2≤x<4}. (2)若P≠∅,由P⊆Q, 得 解得0≤a≤2;
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- 集合 概念 及其 运算