三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质.docx
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三角形重心外心垂心内心的向量表示及其性质
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1.0是AABC的重心OOA+OB+OC=0
=AAOe=AAOB
若0是AABC的重心,则“gaax一故OA+OB+OC=0;
PC=4-(戸N+RS+OG为A4BC的心.
ABoe
△ABC
2.0是AABC的垂心oOAOB=OBOC=OC・OA;
若0是AABC(非宜角三角形)的垂心,则^aboc:
Smo"S
DB=tanA:
taiiB:
taiiC
故tanAOA+tanBOB+tanCOC=0
3.0是AABC的外心olOAimOBITOCI(或dX?
=OB^=OC^)
若0是AABC的外心则'aboc:
S^ob=sinZBOCtsinZAOC:
slnZAOB=$ln2A;sIn2B:
sln2C
故sInZAOA+slnlBOB+sInZCOC=0
CA
ICAIICBI
4.0是内心AABC的充要条件是6^"珞-篦川页务-壬
引进单位向量,使条件变得更简洁。
如果记而,,不的单位向量为引,则刚才0是
IBCI
AABC内心的充要条件可以写成OA.(Cj+63)=OB.(e,+€2)=00.(62+63)=0
AABC内心的充要条件也可以是aOA+bOB+cOC=0。
若o是AABC的内心,则
Sqm;S4WB=3:
bjc
故aOA+b而+cOC=OsSsInAOA+sInBOT+sInCOC=0
I丽1疙+|5?
1莎+1乙5lP5=6oP是AABC的内心;
向助鴿+所在直线过WC的内心(是ZBAC的角平
广
n
分线所在直线);
(一)将平面向量与三角形内心结合考査
例1.0是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
OP=OA+2(
ABAC—+
),A€[0,4-3)JOOP点的轨迹一定通过M3C的()
ACl
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
4R
解析:
因为A"
_是向量廳的单位向量设廳与疋方向上的单位向量分别为勺和又
AB"
OP-OA=AP,则原式可化为川>=久2|+勺),由菱形的基本性质知AP平分Z3AC,那么在MBC中,AP平分ZBAC,则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考査“垂心定理”
例2.〃是△磁所在平面内任一点,haHb^hbhc^hchaO点〃是△磁的垂心.
由蔽帀=帀汞0帀蔽-丽=00市益-oo丽丄衣,
同理花丄而,HA±^•故〃是△磁的垂心•(反之亦然(证略))
例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若PA・PB=PB、PC=PCPA,则P是ZkABC的(D)
D.垂心
A.外心B.内心C.重心
解析:
由莎•而=而•尢得莎而一而药=0.即PB・(PA—PC)=(X即PB・C4=0
则PB丄(X同理PA丄BUPC丄AB所以P为MBC的垂心•故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考査“重心定理”
例4.G是△磁所在平面内一点,刃+而+云=0o点G是△磁的重
心.
线.
证明作图如右,图中^+GC=GE
连结朋和⑦则d包,庞曲70磁F为平行四边形=>e是%的中点,Q为%边上的中
将而+云=52代入方+而+炭=0,
得^+^=0=>^=-GE=-2GD,故G是△磁的重心•(反之亦然(证略))
例5.P是△磁所在平面内任FG是△磁的重心。
花冷河+而+阳.
证明尢=莎+农■而+丽=疋+左=>3局.(73+站+左)+冋+而+阳
TG是△ac的重心aS+g5+^=o=>H+茹+花=0,即3?
5=莎+衍+无
由此可得p5=i(S+^+Pc).(反之亦然(证略))
例6若0为A4BC内一点,刃+西+况=6,则0是A4BC的(
A.内心
B・外心
D・重
解析:
由丽+面+况=0得面+况=-页,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则西+亦莎,由平行四边形性质知迅齐『1创=2|吗同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。
(四)将平面向量与三角形外心结合考査
例7若O为AABC内一点,OA=OB=OC,则0是AAbC的(
例&
求证
解析:
由向fi模的定义知0到WC的三顶点距离相等。
故0是A4BC的外心,选B。
(五)将平面向量与三角形四心结合考査己知向量函,oK,函满足条件两+函+两=0,I函1=1函1=1函1=1,△AAA是正三角形.(《数学》第一册(下人复习参考题五方组第6题)
•••I丽1=1丽1=1丽从而是正三角形•
反之,若点0是正三角形的中心,则显然有函+函+函=0且I两1=1函1=1函I.
即0是△磁所在平面内一点,
两+陌+两=0且I西1=1陌1=1西|o点0是正△AAR的中心•
例9.在^ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。
求证:
Q、G.H三点共
线,且QG:
GH=l:
2o
【证明】:
以A为原点,AB所在的直线为X轴,建立如图所示的直角坐标系。
设A(0,0).B
(xuO).eg,%),D>E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:
D(牛0)、£(卫尹卑)、F(学¥)由题设可设2(牛儿)、丹口儿),乙厶厶厶厶厶
专).•.丽=(心宀)a=(守—今号—丹)
••
BC=(尤2一兀|*2)
•••AH丄BC
••AH•BC=尤2(尤27])+y=0
…,_心仗2一心)
••)4
•疋=;v2(y-y)+y垮-儿)=0
」2(七一“).y:
■—+空
••顾=02一y,儿一儿)=(筈空
.苑込」土空2X2-小占丿站2一小)_乌
323632y.2
_2^2-小3心(心一心)儿、_1/女2-X,3兀2(欠2一心)儿、
66%6322y.2
即QH=3^,故aR〃三点共线,且血砂1:
2
例10.若0.〃分别是△磁的外心和垂心•求证
丽=示+丽+灰.
证明若△磁的垂心为虧外心为0,如图•
连方0并延长交外接圆于0,连结働CD.
.••AD丄AB,CD丄BC•又垂心为H,AH丄BC,CW丄
:
.AH//CD.CH//AD.
化四边形如为平行四边形,
•••乔.反-而+龙,故577■鬲+而=可+方+5?
・
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一外心.重心、垂心的位置关系:
(1)三角形的外心、重心.垂心三点共线一“欧拉线”;
(2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外一一垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距
离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向fi形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.
例U-设0、G、〃分别是锐角△磁的外心.重心.垂心•
按垂心定理OH=OA-^OB-hOC
证明按重心定理G是△磁的重心OOG=^(dA+OB+OC)由此可得OG=ioW.
3
“重心”的向量风釆
⑴.
【命题3】
【解析】
OP=OA+A(AB+AC),/l€(0,+8),则P的轨迹一定通过的重心.
【解析】由题意丽=几(丽+走),当人€(0,+s)时,由于A(AB+AC)表示BC边上的中线所在
直线的向量,所以动点P的轨迹一定通过ajjc的重心,如图⑵.
“垂心”的向量风采
P是△ABC所在平面上一点,若鬲而=而元二疋芮,则P是△ABC的垂心•
由丙•丽=PBPC,得Pj(顾-花)=0,即丙&=0,所以丙丄刁.同理可证
【命题4】已知0是平面上一定点,AB,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
AC、
由于
\
AB.
、
AC
AB
\
T
COSj?
AC
cosC
/
AB
T
COSJ?
AC
cosC
z
反=0,
【解析】由题意AP=/l
垂直于3C的直线上,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心,如图⑷.
“内心”的向S风采
【命题5】已知/为△A3C所在平面上的一点,且=
贝II由题意得("+"+c}lA+hAB+cAC=0,
hAB+cAC=ACAB+ABAC=ACAB
•••A/与ZBAC平分线共线,即A/平分ZBAC.
同理可证:
B/平分ZABC,C7平分ZACB.从而/是AABC的内心,如图⑸•
【命题6]已知O是平面上一定点,AB,C是平面上不共线的三个点,动点P满足
线方向的向量,故动点P的轨迹一定通过的内心,如图⑹•
0、“外心”的向量风采
外心,如图(7)。
BC的向量(注意:
理由见二、4条解释所以P在BC垂直平分线上,动点P的轨迹一定通过
AABC的外心,如图(8)。
补充练习1.已知人C是平面上不共线的三点,0是三角形磁的重心,动点尸满足
OP=-(-OA+-OB+2OC),则点尸一定为三角形磁的
fcj厶厶
1.B取妙边的中点虧则页+丽=2页乙由丽=-+丄而+2龙)可得
—-—-322
3OP=3OM+2MC..•.a7p=2a7c>即点F为三角形中曲边上的中线的一个三等分点,且3
点P不过重心,故选B.
2.在同一个平面上有AABC及一点0满足关系式:
荫+BC'=OB'+CA'=OC'+
AB’,则O为AABC的
且侖•語则
3,
已知0是平面上一定点,AxB.C是平面上不共线的三个点,动点P满足:
OP=OA+A{AB+AC},则P的轨迹一定通过△ABC的
A外心B内心C重心D垂心
4.已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足:
PA・PC+PA“B+PB"C=0,则P点为三角形的
A外心B内心C重心D垂心5,已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P满足:
«M+h-PB+c*PC=0,则P点
A
外心
B
内心
C
重心
D垂心
■2■2•■
6.
在=角形
ABC
中,动点
P
满足:
CA=CB-2AB^CP,则P点轨迹一定通过△ABC的:
(
B)
A
外心
B
内心
C
重心
D垂心
为三角形的
B
7®非零向量砧住满足禽臂
CZ蛊語令'"r所以△磁为等边三角形,选/8.MBC的外接圆的圆心为0,两条边上的高的交点为H,亦=妝(刃+丽+龙),则实数m=
9•点0是MBC所在平面内的一点,满足OAOB=OBOC=OCOA>则点0是的(B)
10,如图1,已知点G是AABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,
AJV=yAC,则-+一=3。
XV
证点G是A4BC的重心,^GA+GB+GC=a
得-走+(丽一走)+(疋-疋)=0,<AG=-(;4B+AC)o又M,N,G三点共线(A不在直线MN上),
于是存在5使得=丽+“丽(且兄+“=1),
有AG=2%AB+pyAC=-{AB+AC),
兄+“=1
得,I,于是得-+-=3o
AX=ay=一Xy
I3
已知0是ZkABC内的一点,若丟2=丽2=龙1则0是△ABC的()
在△ABC中,有命题①乔一^?
=荒;@^+^+^=0:
(3)^^+AC)>^-Xc)=0r
则△ABC为等腰三角形;④若初"CaO,则△ABC为锐角三角形,上述命题中正确的是()
练习1、已知△ABC中,而=荒=匚B是ZiABC中的最大角,若方"<0,试判断△ABC
的形状。
4.运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
=OC+AB,则
例2、已知0是△ABC所在平面内的一点,满足OA+BC=OB+AC
0是ZiABC的()
5.
运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
则动点P—定过△ABC的()
B、垂心
练习2、已知0为平面内一点,A、C平面上不共线的三点,动点P满足
已知0是△ABC所在平面内的一点,动点P满足
f_
以€(0,+8),则动点P—定过△ABC的()
ABAC
ACcosC
.h
ABcosB
例5、已知点G是的重心,过G作直线与AB.AC分别相交于N两点,且
AM=x^AB.AN=v*AC,求证:
一+—=37.作业
lx已知0是△ABC内的一点,若OA+OB+OC=Q,则0是△ABC的()
As重心
C、外心
2、若ZiABC的外接圆的圆心为6半径为1,且方+丽+龙=0,则页•丽等于()
u・OA+b・OB+c・OC=0,贝||0是ZkABC的()
4、S知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点,满足AB+AC=3A几则P是△ABC的(
5、平面上的三个向量页.OB、龙满足鬲+丽+龙=0,鬲=而=龙=1,求证:
△ABC为正三角形。
6.在△ABC中,0为中线AM上的一个动点,若AM=2,求页(而+龙)
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