求回归直线方程的三种方法.doc
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求回归直线方程的三种方法
在求具有线性相关关系的两个变量之间的回归方程时,由于所给两个变量的数据较多并且量大,致使运算量大且繁杂,常常使我们望而生“畏”,望而生“烦”.如何尽快的求出回归直线方程呢?
下面例析求回归直线方程的几种方法,以供参考.
例:
测得某地10对父子身高(单位:
英寸)如下:
父亲身高()60626465666768707274
儿子身高()63.6 65.26665.566.967.167.468.370.170
如果与之间具有线性相关关系,求回归直线方程;如果父亲的身高为78英寸,试估计儿子的身高.
分析一:
对于两个变量,在确定具有线性相关关系后,可以利用“最小二乘法”来求回归方程.用“最小二乘法”求回归直线方程的关键在于正确地利用回归方程中系数公式,求出系数,这样回归方程也就建立起来了.
为了使计算更加有条理,我们通过制作表格来先计算出、、、和;再计算出,;最后利用公式,,列式计算,再利用公式计算;最后写出回归直线方程:
.
解法一:
先将两个变量的数字在表中计算出来,如下表所示:
由上表可计算,,,,,,代入公式
∴
因而所求得回归直线方程为:
.
当时,
所以当父亲的身高为78英寸时,估计儿子的身高约为72.2138英寸.
序号
1
60
63.6
3600
4044.96
3816
2
62
65.2
3844
4251.04
4042.4
3
64
66
4096
4356
4224
4
65
65.5
4225
4290.25
4257.5
5
66
66.9
4356
4475.61
4415.4
6
64
67.1
4489
4502.41
4495.7
7
68
67.4
4624
4542.76
4583.2
8
70
68.3
4900
4664.89
4781
9
72
70.1
5184
4914.01
5047.2
10
74
70
5476
4900
5180
668
670.1
44794
44941.93
44842.4
评注:
“最小二乘法”是求回归直线方程常用的方法,在回归直线方程中,是回归直线方程中的系数,其中是回归直线的斜率,表示自变量变化1个单位时因变量的平均变化值.在数值计算的过程中可以用计算器来帮助完成复杂的计算结果.
分析二:
在求回归直线方程时,所给的数据一般较多,运算量大,我们可以借助函数型计算器来代替人工完成这复杂的数字计算,以提高运算速度.
解法二:
用计算器求这个回归直线方程:
所以所求回归直线方程为:
当时,
所以当父亲的身高为78英寸时,估计儿子的身高约为72.2158英寸.
评注:
用函数型计算器求回归直线方程,避免了繁琐的计算,节省了时间,因而大大的提高了解题的速度.
分析三:
在直角坐标系中描出数据的散点图,直观判断散点图在一条直线附近;用线性回归方程拟合二者的关系,这一过程还可以用Excel软件来帮助我们完成,实现上机操作.
解法三:
运用计算机中的Excel软件:
1.输入数据
60 62 64 65 6667 68 70 72 74
63.665.2 6665.5 66.967.167.4 68.370.170
2.选择数据,生成散点图
在菜单中选定“插入”中的“图表”,选择“散点图”,连续点击“下一步”,可得到如下所示的散点图:
3.建立回归直线
选中“图表”中的“添加趋势线”,点击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”,得到回归直线.
4.求得回归直线方程
双击回归直线,弹出“趋势线格式”,单击“选项”,选定“显示公式”,最后单击“确定”就得到回归直线方程.如下图示:
所求回归直线方程为:
;
当时,,
所以当父亲的身高为78英寸时,估计儿子的身高约为72.2158英寸
评注:
在运用计算机中的Excel软件求回归直线方程时,只要严格按照运算程序一步步进行下去,最终总能求出回归直线方程并且得到如上图的图象.
总之,求回归直线方程的方法是较多的,既有最常用的“最小二乘法”,又有简便易行的计算器法,还有用计算机软件来完成的方法,这些方法在以后的学习中同学们要逐步体会.
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