计算方法复习题与答案.doc
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复习题与答案
复习题一
复习题一答案
复习题二
复习题二答案
复习题三
复习题三答案
复习题四
复习题四答案
自测题
复习题
(一)
一、填空题:
1、求方程的根,要求结果至少具有6位有效数字。
已知,则两个根为,.(要有计算过程和结果)
2、,则A的LU分解为。
3、,则,.
4、已知,则用抛物线(辛卜生)公式计算求得,用三点式求得.
5、,则过这三点的二次插值多项式中的系数为,拉格朗日插值多项式为.
二、单项选择题:
1、 Jacobi迭代法解方程组的必要条件是().
A.A的各阶顺序主子式不为零B.
C.D.
2、设,均差=().
A.3B.-3C.5D.0
3、设,则为().
A.2B.5C.7D.3
4、三点的高斯求积公式的代数精度为().
A.2B.5C.3D.4
5、幂法的收敛速度与特征值的分布()。
A.有关B.不一定C.无关
三、计算题:
1、用高斯-塞德尔方法解方程组,取,迭代四次(要求按五位有效数字计算).
2、求A、B使求积公式的代数精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求(保留四位小数)。
3、已知
1
3
4
5
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求的三次插值多项式,并求的近似值(保留四位小数).
4、取步长,用预估-校正法解常微分方程初值问题
5、已知
-2
-1
0
1
2
4
2
1
3
5
求的二次拟合曲线,并求的近似值。
6、证明方程=0在区间(0,1)内只有一个根,并用迭代法(要求收敛)求根的近似值,五位小数稳定。
复习题
(一)参考答案
一、一、1、,
2、
3、,8
4、2.3670.25
5、-1,
二、
三、1、迭代格式
k
0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019
2、是精确成立,即
得
求积公式为
当时,公式显然精确成立;当时,左=,右=。
所以代数精度为3。
3、
差商表为
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
4、解:
即
n
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.82
5.8796
10.7137
19.4224
35.0279
5、解:
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
0
15
10
0
34
3
41
正规方程组为
复习题
(二)
一、填空题:
1、近似值关于真值有()位有效数字;
2、的相对误差为的相对误差的()倍;
3、设可微,求方程的牛顿迭代格式是();
4、对,差商(),();
5、计算方法主要研究()误差和()误差;
6、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为();
7、求解一阶常微分方程初值问题=f(x,y),y(x0)=y0的改进的欧拉公式为();
8、已知f
(1)=2,f
(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为();
9、两点式高斯型求积公式≈(),代数精度为();
10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为()。
二、单项选择题:
1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是()。
A.对称阵B.正定矩阵
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
2、舍入误差是()产生的误差。
A.A. 只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是π的有()位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
4、幂法是用来求矩阵()特征值及特征向量的迭代法。
A.按模最大B.按模最小C.所有的D.任意一个
5、用1+x近似表示ex所产生的误差是()误差。
A.模型B.观测C.截断D.舍入
6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是()。
A.控制舍入误差B.减小方法误差
C.防止计算时溢出D.简化计算
7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是()。
A.B.C.D.
三、计算题:
1、为了使的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字?
2、已知区间[0.4,0.8]的函数表
0.40.50.60.70.8
0.389420.479430.564640.644220.71736
如用二次插值求的近似值,如何选择节点才能使误差最小?
并求该近似值。
3、构造求解方程的根的迭代格式,讨论其收敛性,并将根求出来,。
4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组。
5﹑对方程组
(1) 试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由;
(2) 取初值,利用
(1)中建立的迭代公式求解,要求。
6﹑用复合梯形求积公式计算,则至少应将[0,1]分为多少等份才能保证所得积分的近似值有5位有效数字?
复习题
(二)参考答案
一、1、2;2、倍;3、;
4、;5、截断,舍入;
6、;7、;
8、0.15;9、;
10、A的各阶顺序主子式均不为零。
二、1、B2、A3、B4、A、5、C6、A7、D
三、1、解:
设有n位有效数字,由 ,知
令,
取,
故
1、1、解:
应选三个节点,使误差
尽量小,即应使尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点最好,实际计算结果
,
且
3、解:
令.
且,故在(0,1)内有唯一实根.将方程变形为
则当时
,
故迭代格式
收敛。
取,计算结果列表如下:
n
0
1
2
3
0.5
0.035127872
0.096424785
0.089877325
n
4
5
6
7
0.090595993
0.090517340
0.090525950
0.090525008
且满足.所以.
4、解:
令得,得.
5、解:
调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为
取,经7步迭代可得:
.
6、解:
当0 要求近似值有5位有效数字,只须误差. 由,只要 即可,解得 所以,因此至少需将[0,1]68等份。 复习题(三) 一、填空题: 1、为了使计算的乘除法次数尽量地少,应将该表达式改写为,为了减少舍入误差,应将表达式改写为。 2、用二分法求方程在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为,进行两步后根的所在区间为. 3、设,,则,, . 4、计算积分,取4位有效数字。 用梯形公式计算求得的近似值为,用辛卜生公式计算求得的近似值为,梯形公式的代数精度为,辛卜生公式的代数精度为。 5、求解方程组的高斯—塞德尔迭代格式为,该迭代格式的迭代矩阵的谱半径=。 二、计算题: 1、已知下列实验数据 xi 1.36 1.95 2.16 f(xi) 16.844 17.378 18.435 试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据. 2、用列主元素消元法求解方程组. 3、取节点,求函数在区间[0,1]上的二次插值多项式,并估计误差。 4、用幂法求矩阵按模最大的特征值及相应的特征向量,取,精确至7位有效数字。 5、用欧拉方法求 在点处的近似值。 6、给定方程 1)分析该方程存在几个根; 2)用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字; 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 复习题(三)参考答案 一、一、 1﹑,; 2﹑[0.5,1],[0.5,0.75]; 3﹑,,,; 4﹑0.4268,0.4309,1,3; 5﹑,,收敛的; 二、1、解: 列表如下 0 1.36 16.844 1.8496 22.90784 1 1.95 17.378 3.8025 33.8871 2 2.16 18.435 4.6656 39.8196 5.47 52.657 10.3177 96.61454 设所求一次拟合多项式为,则 解得, 因而所求的一次拟合多项式为 . 2、解: 回代得。 3、解: 又 故截断误差。 4、解: 幂法公式为, 取x0=(1,1)T,列表如下: k yT mk xT 1 (102,33.9) 102 (1,0.332353) 2 (99.997059,33.2991174) 99.997059 (1,0.3330009675) 3 (99.9990029,33.29970087) 99.9990029 (1,0.333000329) 4 (99.99900098,33.29970029) 99.99900098 (1,0.333000330) 因为,所以 5、解: 等价于 () 记,取,. 则由欧拉公式 可得, 6、解: 1)将方程 (1) 改写为 (2) 作函数,的图形(略)知 (2)有唯一根。 2)将方程 (2)改写为 构造迭代格式 计算结果列表如下: k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 xk 1.22313 1.29431 1.27409 1.27969 1.27812 1.27856 1.27844 1.27847 1.27846 3), 当时,,且 所以迭代格式对任意均收敛。 复习题(四) 一、填空题: 1、设,则,的二次牛顿插值多项式为。 2、分别作为p的近似值有,,位有效数字。 3、求积公式的代数精度以()求积公式为最高,具有()次代数精度。 ; 4、解线性方程组的主元素消元法中,选择主元的目的是(); 5、已知f (1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用抛物线求积公式求≈()。 6、设f (1)=1,f (2)=2,f(3)=0,用三点式求()。 二、单项选择题: 1、用1+近似表示所产生的误差是()误差。 A.舍入B.观测C.模型D.截断 2、-324.7500是舍入得到的近似值,它有()位有效数字。 A.5B.6C.7D.8 3、反幂法是用来求矩阵()特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。 A.按模最大B.按模最小C.全部D.任意一个 4、()是解方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的一个充分条件; A.<1B.<1C.<1D.<1 5、用s*=gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式(g为重力加速度), st是在时间t内的实际距离,则st-s*是()误差。 A.舍入B.观测C.模型D.截断 6、设f(-1)=1,f(0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(); A.–0.5B.0.5C.2D.-2 7、三点的高斯型求积公式的代数精度为()。 A.3B.4C.5D.2 8、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是()。 A.A. 对称阵B.各阶顺序主子式均大于零 C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零 三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打Ö,否则打´) 1、1、已知观察值,用最小二乘法求n次拟合多项式时,的次数n可以任意取。 () 2、2、用1-近似表示cosx产生舍入误差。 () 3、3、表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。 () 4、任给实数及向量,则。 () 5、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。 () 6、-23.1250有六位有效数字,误差限£。 () 7、矩阵A=具有严格对角占优。 () 8、数据拟合的步骤是: 1)作散点图;2)解正规方程组;3)确定函数类型() 9、LLT分解可用于求系数矩阵为实对称的线性方程组。 () 10、幂法的收敛速度与特征值的分布无关。 () 四、计算题: (每小题7分,共42分) 2、1、用牛顿(切线)法求的近似值。 取x0=1.7,计算三次,保留五位小数。 2、已知A=,求,,。 4、4、已知f(-1)=2,f (1)=3,f (2)=-4,求拉格朗日插值多项式及f(1.5)的近似值,取五位小数。 4、n=3,用复合梯形公式求的近似值(取四位小数),并求误差估计。 5、用幂法求矩阵A=按模最大特征值及相应特征向量,列表 计算三次,取x0=(1,1,1)T,保留两位小数。 6、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组=, 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次,保留三位小数。 7、用预估—校正法求解(0£x£1),h=0.2,取两位小数。 复习题(四)参考答案 一、1、,;2、4,3,3; 3、高斯型,;4、减少舍入误差;5、12;6、 二、1D,2C,3B,4A,5C,6A,7C,8B 三、1、´,2、´,3、Ö4、´,5、Ö,6、´,7、´,8、´,9、´,10、´ 四、1、解: 是的正根,,牛顿迭代公式为 ,即 取x0=1.7,列表如下: 1 2 3 1.73235 1.73205 1.73205 2、解: , , 得,所以。 3、解: 4、解: ,时, 至少有两位有效数字。 5、幂法公式为, 取x0=(1,1,1)T,列表如下: k yT mk xT 1 (4,0,1) 4.00 (1,0,0.25) 2 (4,-1.25,0.5) 4.00 (1,-0.31,0.13) 3 (4,-1.75,0.57) 4.00 (1,-0.44,0.14) 6、解: Gauss-Seidel迭代格式为: 系数矩阵严格对角占优,故Gauss-Seidel迭代收敛. 取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下: 1 1.667 0.889 -2.195 2 2.398 0.867 -2.383 3 2.461 0.359 -2.526 7、解: 预估—校正公式为 其中,,h=0.2,,代入上式得: 1 2 3 4 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.24 1.58 2.04 2.64 3.42 自测题 一、填空题(15分): 1、-43.578是舍入得到的近似值,它有()位有效数字,相对误差限为()。 2、二分法求非线性方程在区间(1,3)内的根时,二分9次后的误差限为()。 3、f (1)=1,f(3)=3.6,f(4)=5.2,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为(),插值基函数l1(x)=(),二次插值多项式P2(x)=()。 4、已知f (1)=1,f(3)=2,f(5)=4,用复合梯形求积公式求得≈()。 5、 (xi,yi)i=1,2,…,15的线性拟合曲线的正规方程组为()。 6、 幂法的迭代公式为()。 7、 已知f (1)=1,f(3)=2,则()。 二、单项选择题: (5分) 1. 截断误差是()产生的误差。 A.A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值 C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值 2. 用x近似表示sinx所产生的误差是()误差。 A.模型B.观测C.截断D.舍入 3. 解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是()。 A.<1B.<1C.<1D.<1 4. 设为n维向量x的范数,则()。 A.‖x‖<1B.‖x‖>1C.‖x‖>0D.‖x‖≥0 5. 幂法是求矩阵( )特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。 A.按模最小B.所有C.按模最大D.任意一个 三、计算题: (50分) 1. 证明方程x2-x-3=0在区间(2,3)内有且仅有一个根,并用迭代法求方程在区间(2,3)内的根,精确到小数点后4位。 2. 设f (1)=2,f(3)=4,f(4)=6,用拉格朗日插值法求f(x)的二次插值多项式P2(x),并求f (2)的近似值。 3. 用预估—校正公式求初值问题=2x-3y,y(0)=1(0£x£1)在区间[0,1]上的数值解,步长h=0.2(保留3位小数)。 4. 用LU分解方法求方程组=的解。 5. 用简单(Jacobi)迭代法解上题,取x(0)=(0,0,0)T,列表计算四次,保留三位小数(要求判断迭代收敛)。 6. 求一次数£3的多项式,使得,. 7. 求线性方程组的最小二乘解。
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