间接平差原理.docx
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§4-1 间接平差原理
2学时
间接平差法(参数平差法)是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数,建立函数模型,按最小二乘原理,用求自由极值的方法解出参数的最或然值,从而求得各观测值的平差值。
例如,在一个三角形中,等精度独立观测了三个角,观测值分别为L1、L2和L3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数、,则可以建立参数与观测值之间的函数关系式
(4-1-1)
可得
(4-1-2)
为了计算方便和计算数值的稳定性,通常引入未知参数的近似值,这一点在实际计算中是非常重要的,令,则(4-1-2)式可写成如下形式:
(4-1-3)
式(4-1-2)叫做误差方程,也可以称为某种意义上的条件方程(包含改正数、观测值和参数,“条件个数=观测值个数”),每个条件方程中仅只含有一个观测值,且系数为1。
单纯为消除矛盾,、、可有多组解,为此引入最小二乘原则:
可求得唯一解。
因此,间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数,建立参数与观测值之间的函数关系,按最小二乘原则,求解未知参数的最或然值,再根据观测值与参数间的函数关系,求出观测值的最或然值,故又称为参数平差。
对上述三角形,引入最小二乘原则,要求:
,设观测值为等精度独立观测,则有:
按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零,可得
代入误差方程式,得到观测值的最或然值
此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致,说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同,平差结果与具体平差方法无关。
一般地,间接平差的函数模型为
(4-1-4)
平差时,为了计算方便和计算的数值稳定性,一般对参数都取近似值,令
(4-1-5)
代入(4-1-4)式,并令
(4-1-6)
由此可得误差方程
(4-1-7)
式中为误差方程的自由项,对于经典间接平差,将未知参数视为非随机参数,不考虑其先验统计性质,根据(4-1-5)式,可得平差后,由(4-1-6)式可得。
间接平差的随机模型为
(4-1-8)
平差准则为
(4-1-9)
间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数,在数学中是求多元函数的自由极值问题。
一、间接平差一般原理
设平差问题中有n个观测值L,已知其协因数阵,必要观测数为t,选定t个独立参数,其近似值为,观测值L与改正数V之和,称为观测量的平差值。
按具体平差问题,可列出n个平差值方程为
(i=1,2,3,…,n) (4-1-10)
令
则平差值方程的矩阵形式为
(4-1-11)
令
(4-1-12)
式中为参数的充分近似值,于是可得误差方程式为
(4-1-13)
按最小二乘原理,上式的必须满足的要求,因为t个参数为独立量,故可按数学上求函数自由极值的方法,得
转置后得
(4-1-14)
以上所得的(4-1-13)和(4-1-14)式中的待求量是个和个,而方程个数也是个,有唯一解,称此两式为间接平差的基础方程。
解此基础方程,一般是将(4-1-13)式代入(4-1-14)式,以便先消去,得
(4-1-15)
令
上式可简写成
(4-1-16)
式中系数阵为满秩矩阵,即,有唯一解,上式称为间接平差的法方程。
解之,得
(4-1-17)
或
(4-1-18)
将求出的代入误差方程(4-1-13),即可求得改正数V,从而平差结果为
(4-1-19)
特别地,当P为对角阵时,即观测值之间相互独立,则法方程(4-1-16)的纯量形式为
(4-1-20)
二、按间接平差法求平差值的计算步骤
1.根据平差问题的性质,选择t个独立量作为参数;
2.将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数,若函数非线性要将其线性化,列出误差方程(4-1-13);
3.由误差方程系数B和自由项组成法方程(4-1-16),法方程个数等于参数的个数t;
4.解算法方程,求出参数,计算参数的平差值;
5.由误差方程计算V,求出观测量平差值;
6.评定精度。
例[4-1]在图4-1所示的水准网中,A、B、C为已知水准点,高差观测值及路线长度如下:
=+1.003m,=+0.501m,=+0.503m,=+0.505m;=1km,=2km,=2km,=1km。
已知=11.000m,=11.500m,=12.008m,试用间接平差法求及点的高程平差值。
图4-1
解:
1.按题意知必要观测数=2,选取、两点高程、为参数,取未知参数的近似值为、,令2km观测为单位权观测,则。
2.根据图形列平差值条件方程式,计算误差方程式如下
代入具体数值,并将改正数以(mm)为单位,则有
可得、和矩阵如下
、、
3.由误差方程系数和自由项组成法方程得
解得
4.解算法方程,求出参数,计算参数的平差值;
5.由误差方程计算,求出观测量平差值;
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- 间接 原理