阿基米德折弦定理的四种常规证法.doc
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阿基米德折弦定理的四种常见证法
Justin●深圳
平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位,无论是中考还是平时阶段检测,往往会在几何题目的设置上体现选拔性。
更有人说:
“初中数学学得好不好,关键看几何好不好”。
这些虽然仅仅是一些说法而已,但也不无它的道理。
平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面,几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。
而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的,需要长时间的积累,总结,并应用才能较好掌握。
在整个初中范围内,圆作为一个独立的章节更显现它的重要,并以综合难度大,辅助线的作法较多著称。
下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。
问题:
已知M为的中点,B为 上任意一点,且于.求证:
证法一:
(补短法)
如图:
延长DB至F,使BF=BA∵M为的中点∴AM=MC,
∴∠MAC=∠MCA---①又∵,∴MC=MA∴∠MBC=∠MAC---②
又∵∠MBC+∠MBF=180---③由M,B,A,C四点共圆∴∠MCA+∠MBA=180---④
由①②③④可得:
∠MBA=∠MBF
在△MBF与△MBA中:
∴△MBF△MBA(SAS)∴MF=MA,又∵MC=MA∴MF=MC
又∵MD⊥CF∴DF=DC∴FB+BD=DC又∵BF=BA
∴AB+BD=DC(证毕)
证法二:
(截长法)
如图:
在CD上截取DB=DG∵MD⊥BG∴MB=MG∴∠MBG=∠MGB---①
又∵,∴∠MBG=∠MAC又∵∠MAC=∠MCA(已证),
∴∠MBG=∠MCA---②由①②可得∠MGB=∠MCA=∠BCA+∠MCG
而∠MGB=∠GMC+∠MCG∴∠GMC=∠BCA又∵,∴∠BMA=∠BCA
∴∠BMA=∠GMC,在△MBA与△MGC中∴△BMA△GMC(SAS)
∴AB=GC,∴AB+BD=GC+BD=GC+DG=DC(证毕)
证法三:
(翻折)
如图:
连接MB,MC,MA,AC,将△BAM沿BM翻折,使点A落至点E,连接ME,BE
∵△MBA与△MBE关于BM对称,所以△MBE≌MBA∴MA=ME,∠MBA=∠MBE-①
又∵MA=MC,∴ME=MC,又∵M,B,A,C四点共圆,
∴∠MBA+∠MCA=180---②又∵MA=MC(已证)∴∠MAC=∠MCA
又∵,∴∠MBC=∠MAC∴∠MBC=∠MCA---③
由①②③得:
∠MBC+∠MBE=180∴E,B,C三点共线。
又∵ME=MC,MD⊥CE
∴DE=DC,∴EB+BD=DC,又∵△MBE≌MBA∴AB=EB
∴AB+BD=DC(证毕)
证法四:
如图,连接MB,MA,MC,AC,延长AB,过点M作MH⊥AB于点H,
∵M为的中点∴AM=MC,又∵,∴∠HAM=∠DCM
又∵∠MHA=∠MDC=90∴在△MHA与△MDC中
∴△MHA≌△MDC(AAS)∴CD=AH---①MD=MH在RT△MHB与RT△MDB中
∴△MDB≌△MHB(HL)∴BD=BH又∵AH=AB+BH,∴AH=AB+BD-②
由①②可得DC=AB+BD(证毕)
反思:
在平时数学教学活动中,尤其是几何学的教学,它可以让觉得数学课枯燥无味的学生顿时感兴趣,更是师生互动的一个很好的媒体。
老师与学生一起想办法,也是一种数学情感的体现。
在圆这一章节,很多学生反映难学,难在辅助线多,方法多,同一个问题灵活多变,不同的出发点会得到不同的解题方法。
本题就是一个很好的例子。
对于一个著名的平面几何定理,我们的证明也仅仅是使用了非常常见的“截长补短”,“对称变换”等方法。
在以后的几何教学过程中多总结出一些通用,常见的解题方法这会让学生受益匪浅的,万变不离其宗,才是数学的特点。
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