计算方法复习题与答案.docx
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计算方法复习题与答案.docx
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计算方法复习题与答案
复习题与答案
复习题一复习题一答案
复习题二
复习题二答案
复习题三
复习题三答案
复习题四
复习题四答案
自测题
复习题
(一)
一、填空题:
1、求方程0.5x2101x10的根,要求结果至少具有6位有效数字。
已知
10203101.0099,则两个根为x1,
x2(.要有计算过程和结果)
A12
3、35,则(A)
4、已知f
(1)1.0,f
(2)1.2,f(3)1.3,则用抛物线(辛卜生)公式计算求
3
得1f(x)dx,用三点式求得f
(1).
5、f
(1)1,f
(2)2,f(3)1,则过这三点的二次插值多项式中x2的系数
为,拉格朗日插值多项式为、单项选择题:
1、Jacobi迭代法解方程组Axb的必要条件是()
A.A的各阶顺序主子式不为零B.(A)1
C.aii0,i1,2,,nD.A1
99299
2、设f(x)3x995x7,均差f[1,2,22,,299]=().
4、三点的高斯求积公式的代数精度为().
A.2B.5C.3D.4
5、幂法的收敛速度与特征值的分布()
A.有关B.不一定C.无关
三、计算题:
4x12x2x311
x14x22x318
2x1x25x322,取
代四次(要求按五位有效数字计算).
I21dx
精度尽量高,并求其代数精度;利用此公式求
1x(保留四位小数)。
2、求A、B使求积公式
11f(x)dxA[f
(1)f
(1)]B[f
(1)f
(1)]
122的代数
3、已知
xi
1
3
4
5
f(xi)
2
6
5
4
分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x),并求f
(2)的近似值(保留四位小数).
4、取步长h0.2,用预估-校正法解常微分方程初值问题
y2x3y
y(0)1(0x1)
5、已知
xi
-2
-1
0
1
2
f(xi)
4
2
1
3
5
求f(x)的二次拟合曲线p2(x),并求f(0)的近似值。
3
6、证明方程f(x)x34x2=0在区间(0,1)内只有一个根,并用迭代法(要求收敛)求根的近似值,五位小数稳定。
复习题
(一)参考答案
1、x110210406204.010,x22(10210406)0.00980345
2、
1
41
0
14
1
154
1
0
4151
5615
3、310,8
4、2.3670.25
11L2(x)(x2)(x3)2(x1)(x3)(x1)(x2)
5、-1,222二、1C,2B,3C,4B,5A
三、1、迭代格式
x1(k1)1(112x2(k)x3(k))
4
x2(k1)1(18x1(k1)2x3(k))
4
1(k1)(222x1(k1)
5
k
x1(k)
x2(k)
x3(k)
0
0
0
0
1
2.7500
3.8125
2.5375
2
0.20938
3.1789
3.6805
3
0.24043
2.5997
3.1839
4
0.50420
2.4820
3.7019
(k1)
x3
(k1)
x2
)
2、f(x)1,x,x是精确成立,即
2A2B2
1218
2ABA,B
23得99
求积公式为
11
1f(x)dx9[f
(1)f
(1)]
11
9[f(21)f(12)]
当f(x)x3时,公式显然精确成立;当f(x)x4时,左
所以代数精度为3。
21
5,右=3
21t2x311
1xdx1t13dt
97
140
0.69286
3、
L3(x)2(x3)(x4)(x5)6(x1)(x4)(x5)
3(13)(14)(15)(31)(34)(35)
5(x1)(x3)(x5)4(x1)(x3)(x4)
5(41)(43)(45)4(51)(53)(54)差商表为
xi
yi
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1
2
3
6
2
4
5
-1
-1
5
4
-1
0
14
P3(x)N3(x)22(x1)(x1)(x3)1(x1)(x3)(x4)
4
f
(2)P3
(2)5.5y(n0)1yn0.2(2xn3yn)
4、解:
yn1yn0.1[(2xn3yn)(2xn13yn(0)1)]
即yn10.52xn1.78yn0.04
n
0
1
2
3
4
5
xn
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
yn
1
1.82
5.8796
10.7137
19.4224
35.0279
5、解:
i
xi
yi
2
xi2
3
xi3
4
xi4
xiyi
2
xi2yi
0
-2
4
4
-8
16
-8
16
1
-1
2
1
-1
1
-2
2
2
0
1
0
0
0
0
0
3
1
3
1
1
1
3
3
4
2
5
4
8
16
10
20
0
15
10
0
34
3
41
5a010a215
10a13
3
f(0)p2(0)130
复习题
(二)
一、填空题:
1、近似值x*0.231关于真值x0.229有()位有效数字;
2、3x*的相对误差为x*的相对误差的()倍;
3、设f(x)可微,求方程xf(x)的牛顿迭代格式是();
4、对f(x)x3x1,差商f[0,1,2,3](),f[0,1,2,3,4]();
5、计算方法主要研究()误差和()误差;
6、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时,二分n次后的误差限为();
7、求解一阶常微分方程初值问题y=f(x,y),y(x0)=y0的改进的欧拉公式为
();
8、已知f
(1)=2,f
(2)=3,f(4)=5.9,则二次Newton插值多项式中x2系数为();
1f(x)dx
9、两点式高斯型求积公式0f(x)dx≈(),代数精度为();
10、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为()。
、单项选择题:
1、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是()
A.对称阵B.正定矩阵
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零
2、舍入误差是()产生的误差。
A.A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值
C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值
3、3.141580是π的有()位有效数字的近似值。
A.6B.5C.4D.7
4、幂法是用来求矩阵()特征值及特征向量的迭代法。
A.按模最大B.按模最小C.所有的D.任意一个
5、用1+x近似表示ex所产生的误差是()误差。
A.模型B.观测C.截断D.舍入
6、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是()。
A.控制舍入误差B.减小方法误差
C.防止计算时溢出D.简化计算
7、解线性方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的充要条件是()
A.M1B.(A)1C.(M)1D.(M)1三、计算题:
1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字?
2、已知sinx区间[0.4,0.8]的函数表
xi
0.4
0.5
0.60.7
0.8
yi
0.38942
0.47943
0.56464
0.644220.71736
如用二次插值求sin0.63891的近似值,如何选择节点才能使误差最小?
并
求该近似值。
3、构造求解方程ex10x20的根的迭代格式xn1(xn),n0,1,2,,讨论
4
其收敛性,并将根求出来,|xn1xn|10
x12x23x314
2x15x22x318
4﹑利用矩阵的LU分解法解方程组
3x1x25x320
3x12x210x315
10x14x2x355﹑对方程组2x110x24x38
1)
试建立一种收敛的Seidel迭代公式,说明理由;
2)取初值x(0)(0,0,0)T,利用
(1)中建立的迭代公式求解,要求
||x(k1)x(k)||103
得积分的近似值有5位有效数字?
复习题
(二)参考答案
4、f[0,1,2,3]1,f[0,1,2,3,4]0;5、截断,舍入;
三、1、解:
设20有n位有效数字,由204.4,知a14r*(20)110(n1)110(n1)0.1%
令2a18,
取n4,r*(20)0.1251030.1%
故204.472
1、1、解:
应选三个节点,使误差
M3
|R2(x)|3!
3|3(x)|
尽量小,即应使|3(x)|尽量小,最靠近插值点的三个节点满足上述要求。
即取节点{0.5,0.6,0.7}最好,实际计算结果
sin0.638910.596274,
且
sin0.638910.596274
1
(0.638910.5)(0.6389190.6)(0.638910.7)
0.55032104
f
(1)10e0
f(x)0在(0,1)内有唯一实根.将
3、解:
令f(x)ex10x2,f(0)20,且f(x)ex100对x(,),故方程f(x)0变形为
x110(2ex)
则当x(0,1)时
故迭代格式
xn1110(2exn)收敛。
取x00.5,计算结果列表如下:
n
0
1
2
3
xn
0.5
0.035127872
0.096424785
0.089877325
n
4
5
6
7
xn
0.090595993
0.090517340
0.090525950
0.090525008
ALU
4、解:
且满足|x7x6|0.00000095106.所以x*0.090525008
5、解:
调整方程组的位置,使系数矩阵严格对角占优
10x14x2x35
2x110x24x38
3x12x210x315
取x(0)(0,0,0)T,经7步迭代可得:
x*x(7)(0.999991459,0.999950326,1.000010)T
即可,解得
所以n68,因此至少需将[0,1]68等份。
复习题(三)
一、填空题:
该表达式改写为,为了减少舍入误差,应将表达式
20011999改写为。
2、用二分法求方程f(x)x3x10在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所
在区间为,进行两步后根的所在区间为.
322
Ax
3、设21,3,则||A||,||A||2
用辛卜生公式计算求得的近似值为,梯形公式的代数精度为,辛卜
生公式的代数精度为。
3x15x21
5、求解方程组0.2x14x20的高斯—塞德尔迭代格式为,该迭代格
式的迭代矩阵的谱半径(M)=。
、计算题:
1、已知下列实验数据
xi
1.36
1.95
2.16
f(xi)
16.844
17.378
18.435
试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据
3、取节点x00,x10.5,x21,求函数f(x)e在区间[0,1]上的二次插值多项
式P2(x),并估计误差
993
4、用幂法求矩阵
330.9按模最大的特征值及相应的特征向量,取
x0(1,1)T,精确至7位有效数字5、用欧拉方法求
xt2y(x)0etdt
在点x0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。
x
6、给定方程f(x)(x1)ex10
1)分析该方程存在几个根;
2)用迭代法求出这些根,精确到5位有效数字;
3)说明所用的迭代格式是收敛的。
复习题(三)参考答案
2﹑[0.5,1],[0.5,0.75];
3﹑||A||5,||A||29213,||x||15,||Ax||17;
4﹑0.4268,0.4309,1,3;
x1(k1)(15x2(k))/3
1
x(k1)x(k1)/20
5﹑x2x1/20,12,收敛的;
二、1、解:
列表如下
i
xi
yi
2xi
xiyi
0
1.36
16.844
1.8496
22.90784
1
1.95
17.378
3.8025
33.8871
2
2.16
18.435
4.6656
39.8196
5.47
52.657
10.3177
96.61454
设所求一次拟合多项式为ya0a1x,则
35.47a052.657
5.4710.3177a196.61454
因而所求的一次拟合多项式为
y14.3551.7534x
3、解:
e1(x0)(x0.5)
e(10)(10.5)
2(x0.5)(x1)4e0.5x(x1)2e1x(x0.5)
|R2(x)||exP2(x)|1|x(x0.5)(x1)|故截断误差3!
。
4、解:
幂法公式为
取x0=(1,1)T,列表如下:
k
Ty
mk
Tx
1
(102,33.9)
102
(1,0.332353)
2
(99.997059,33.2991174)
99.997059
(1,0.3330009675)
3
(99.9990029,33.29970087)
99.9990029
(1,0.333000329)
4
(99.99900098,33.29970029)
99.99900098
(1,0.333000330)
1
yex2
0.5,x21.0,x31.5,x42.0
x2
记f(x,y)ex,取h0.5,x00,x1
则由欧拉公式
yn1ynhf(xn,yn)
y00,n0,1,2,3
可得y(0.5)y10.5,y(1.0)y20.88940,
x
6、解:
1)将方程(x1)e10
(1)
改写为
作函数f1(x)x1
x1ex
(2)
f2(x)ex的图形(略)知
(2)有唯一根x*(1,2)
2)将方程
(2)改写为x1ex
xk11exk
构造迭代格式
x01.5(k0,1,2,)
计算结果列表如下:
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xk
1.22313
1.29431
1.27409
1.2796
91.2781
21.2785
61.278
41.278
471.278
3)(x)1ex,(x)ex
|(x)|e11
所以迭代格式xk1(xk)(k0,1,2,)对任意x0[1,2]均收敛。
复习题(四)
、填空题:
1、设f(0)0,f
(1)16,f
(2)46,则l1(x),f(x)的二次牛顿插
值多项式为。
22
3.142,3.141,
2、7分别作为的近似值有,,位有效数字
()次代数精度
4、解线性方程组的主元素消元法中,选择主元的目的是();
5
5、已知f
(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用抛物线求积公式求1f(x)dx≈()
6、设f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=0,用三点式求f
(1)()。
、单项选择题:
x
1、用1+3近似表示31x所产生的误差是()误差
A.舍入B.观测C.模型D.截断
2、-324.7500是舍入得到的近似值,它有()位有效数字。
A.5B.6C.7D.8
3、反幂法是用来求矩阵()特征值及相应特征向量的一种向量迭代法。
A.按模最大B.按模最小C.全部D.任意一个
4、()是解方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的一个充分条件;
A.M<1B.(A)<1C.A<1D.(M)<1
1
5、用s*=2gt2表示自由落体运动距离与时间的关系式(g为重力加速度),st是在时间t内的实际距离,则st-s是()误差。
A.舍入B.观测C.模型D.截断
2
6、设f(-1)=1,f(0)=3,f
(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为();
A.–0.5B.0.5C.2D.-2
7、三点的高斯型求积公式的代数精度为()。
A.3B.4C.5D.2
8、求解线性方程组Ax=b的LLT分解法中,A须满足的条件是()
A.A.对称阵B.各阶顺序主子式均大于零
C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零三、是非题(认为正确的在后面的括弧中打,否则打)
1、1、已知观察值(xi,yi)(i0,1,2,,m),用最小二乘法求n次拟合多项式Pn(x)时,Pn(x)的次数n可以任意取。
()
2
x
2、2、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。
()
(xx0)(xx2)
3、3、(x1x0)(x1x2)表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。
()
4、任给实数a及向量x,则||ax||a||x||。
()
5、牛顿插值多项式的优点是在计算时,高一级的插值多项式可利用前一次插
值的结果。
()
14
104
6、-23.1250有六位有效数字,误差限2。
()
400
011
2、已知A=010,求A1,A,||A||2。
4、4、已知f(-1)=2,f
(1)=3,f
(2)=-4,求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1.5)
的近似值,取五位小数。
dx
dx的近似值(取四位小数),并求误差估计。
0
1
2按模最大特征值及相应特征向量,列表
1,1)T,保留两位小数。
301
x1
5
131
x2
1
114
x3
8
6、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组取x(0)=(0,0,0)T,列表计算三次,保留三位小数。
复习题(四)参考答案
、1、l1(x)x(x2),N2(x)16x7x(x1);2、4,3,3;
3、高斯型,2n1;4、减少舍入误差;5、12;6、2.5
、1D,2C,3B,4A,5C,6A,7C,8B
三、1、,2、,3、4、,5、,6、,7、,8、,9、,10、四、1、解:
3是f(x)x230的正根,f(x)2x,牛顿迭代公式为
xn1xn3(n0,1,2,)
22xn
取x0=1.7,列表如下:
n
1
2
3
xn
1.73235
1.73205
1.73205
至少有两位有效数字。
ykAxk1
mkmax(yk)
5、幂法公式为xkyk/mk
取x0=(1,1,1)T,列表如下:
k
Ty
mk
Tx
1
(4,0,
1)
4.00
(1,0,0.25)
2
(4,-1.25,
0.5)
4.00
(1,-0.31,0.13)
3
(4,-1.75,
0.57)
4.00
(1,-0.44,0.14)
14.00,v1(1,0.44,0.14)T
6、解:
Gauss-Seidel迭代格式为:
(k1)
1(k)
5)
x1
(x3
3
x(2k1)
1(x1(k1)x(3k)
3
1)
(k1)
x3
1(k1)(k1)(x1x2
8)
4
301
131
系数矩阵114严格对角占优,故Gauss-Seidel迭代收敛.取x(0)=(0,0,0)T,列表计算如下:
k
(k)x1
x2(k)
x3(k)
1
1.667
0.889
-2.195
2
2.398
0.867
-2.383
3
2.461
0.359
-2.526
7、解:
预估—校正公式为
1
yn1yn2(k1k2)
k1hf(xn,yn)
k2hf(xnh,ynk1)
n0,1,2,
其中f(x,y)xy,y01,h=0.2,n0,1,2,3,4,代入上式得:
n
1
2
3
4
5
xn
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
yn
1.24
1.58
2.04
2.64
3.42
自测题
一、填
- 配套讲稿:
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- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 计算方法 复习题 答案