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混沌及其应用
混沌及其应用
混沌及其应用 作者 殷春雷 指导教师 高斌 摘要:
阐述了混沌的概念、混沌的识别、混沌的特征和研究方法,综述了混沌理论在 工程科学、计算机通信、生物医学、社会经济学等领域的应用。
关键词:
混沌;识别;特征;研究方法;混沌应用 引言 在混沌理论出现之前,人们普遍认为世界上只存在两种系统,他们的行为模式要么受到严格规律控制,就像钟表一样具有严格的周期性;要么就像我们掷色子一样纯粹的随机行为。
后来人们逐渐认识到还有很多系统用这两种行为模式都无法解释,如天文学上的三体问题,天文学家发现太阳系并非按照牛顿定律精确地运转,尤其是土星的卫星以及位于金星和木星之间小行星带上的小行星,几个世纪以来天文学家一直把它们看作是一种精确运动,但实际上,天文学家们从来都没能精确预知他们的具体运动状态,两个星体之间的相对运动很好理解,也能确定他们的运动状态,三个星体或更多星体的时候,人们就很难精确计算他们的运动状态了,这就是著名的三体问题,根据牛顿经典力学根本无法解释[1]。
随着认识的不断深入,人们逐渐认识到介于两者之间还存在一种貌似随机的确定性系统,即混沌系统。
混沌,这个举世瞩目的学术热点,正受到世界的广泛关注。
最早出现的混沌概念,是美国马里兰大学应用数学家约克在1975年的一篇论文中,混沌是指在决定论物理规律下出现的随机行为[2]。
自20世纪70年代以来,混沌已经发展成为一门新兴学科,它是非线性科学最重要的成就之一,它揭示的有序与无序的统一,确定性与随机性的统一,是20世纪继相对论和量子力学问世以来物理学的第三次革命[3]。
随着研究的深化,混沌正超越原来数理学科的狭窄环境,走进更加广阔的科学世界,混沌不仅是理论而且变成了方法。
如今混沌这个科学名词已经渗透到各个领域中,成为一门新的学科,并且在各个领域中已得到广泛应用。
以下将介绍混沌的概念、混沌的识别、混沌的特征、混沌的研究方法和研究混沌现象的意义,探讨混沌在工程科学、计算机通信、生物医学、社会经济学等领域的应用。
1.混沌 混沌的概念 1 非线性混沌理论的基本思想起源于20世纪初,形成于20世纪60年代后,发 展壮大于20世纪80年代。
混沌最初进入科学领域是与精确著称的数理科学无缘的,混沌主要是一个天文学中与宇宙起源有关的概念,它神话传说与哲学思辨,混沌系统的最大特点,就在于系统的演化对初始条件十分敏感,因此从长期意义上看,系统的未来行为是不可预测的。
混沌一词李天岩和约克1975年首先提出,并给出了一种数学定义[4]:
设I=[a,b],f(?
)是I到I的连续自映射,P(f)表示f的周期点,PP(f)表示周期点的周期构成的集合,?
(f)表示f的?
极限点构成的集合,即 PP(f)?
{n?
1|f有n周期点}, ?
(f)?
{X|X?
I且存在x?
I,X?
?
(x,f)}。
定义:
设f是线段I到自身的连续映射,若满足下列条件则称f在I中是混沌的。
PP无上界; 存在I中不可数子集,使得:
limfn(?
)?
fn(y)?
0,?
?
y?
S, n?
?
n?
?
limfn(?
)?
fn(y)?
0,?
?
y?
S,limfn(?
)?
fn(P)?
0,?
?
?
S,?
P?
P(f), n?
?
其中?
?
y,f0(?
)?
?
f1(?
)?
f(?
),?
fn?
1(?
)?
f(f(?
)),n?
N,n不可数子集S 称为f的混沌集,不满足B3的点?
称为f的渐进周期点。
定义:
设f是线段I到自身的连续自映射,若满足下列条件,则称f在I中是混沌的:
存在I中不可数子集S,使得:
limfn(?
)?
fn(y)?
0,?
?
y?
S; n?
?
n?
?
limfn(?
)?
fn(y)?
0,?
?
y?
S;其中?
?
y,fo(?
)?
?
f1(?
)?
f(?
),?
fS称为f的混沌集。
在现代,混沌被赋予了新的涵义,混沌是指在确定性系统中出现的类似随机的过程,其来自非线性[5]。
另一种定义则为:
在一个非线性动力学系统中,随着非线性的增强,系统出现的不规则的有序现象[6]。
n?
1(?
)?
f(f(?
)),n?
N,不可数子集 混沌的识别 无论是寻找混沌现象,还是制造混沌系统都必须确定是否发生了混沌现象。
判断是否出现混沌现象,通常是通过实验来确定是否观察到混沌轨迹。
但实验无法弄清这一轨迹是有很长周期解,还是非周期解,于是就有了建立模型。
建立了模型后我们是如何确定系统是混沌的?
那我们就要知道如何识别混沌。
下面我们 2 来介绍如何识别混沌,混沌识别有定性分析和定量分析两种[7]。
定性分析是用相图、功率谱、自相关做定性分析来识别混沌。
混沌相图有奇怪吸引子,相图的纵坐标变量为横坐标变量的导数或时延变量,相图按周期采样后得到的相点图,称为Poincare图。
相图最终收缩(称为吸引)形成的形态奇异的相轨或相点集,称为奇怪吸引子。
它具有全局与局部的自相似结构,即所谓分形结构。
混沌功率谱为连续谱,功率谱是指单位频率上的能量,它反映其能量在频率上的分布。
是分析时间序列的常用方法,它可以直观地揭示离散数据系列的周期性,通常,不同的时间序列的功率谱是不同的。
周期性序列的功率谱具有明显的周期性,而非周期混沌运动的功率谱则像噪声过程一样是连续的,并且混沌时间序列的频率当超过某一定值后,功率谱随频率指数衰减,时间序列的周期表现为稠密。
功率谱的横坐标是频率(Hz),纵坐标可以是均方值、均方根值或对数值(dB),混沌功率谱具有连续谱线。
混沌时具有衰减的相关系数并趋于零。
定量识别是混沌时最大Lyapunov指数为正。
Lyapunov指数谱是用以表征奇怪吸引子中相轨间指数分离快慢的指标,其中最大的一个称为最大Lyapunov指数。
它若为正,则为混沌。
混沌吸引子有分(数)维,分数维即分维是奇怪吸引子的特征之一,相空间被轨道充满的程度用维数加以度量。
混沌时Melnikow函数有简单零点,Me1nikow函数为Poincare图中稳定流形(相点经过的曲线)与不稳定流形之间距离的度量,一旦为零,即有混沌。
混沌的特征 随着科学技术的发展,人们对混沌的认识也逐渐加深。
科学家们在混沌的研究过程中找到了混沌的特征,普遍认为混沌具有以下几点特征[8]。
非线性。
要出现混沌现象首先保证这个系统是非线性的,如果这个系统是线性的,则不可能出现混沌现象。
但是需要值得强调的是并不是非线性系统就会产生混沌现象。
确定性。
尽管我们从混沌系统表面上看到的是随机的,下一步结果好像无法预见,其实不然,我们说混沌是随机的现象,但混沌系统在将来的某个时候的状态是确定的而不是随机的。
我们可以按照某种规则预知系统某一时刻的行为。
即我们常说的混沌是一种貌似随机的确定性行为。
对初始条件的敏感依赖性。
在混沌系统中人为的微小的改变一下初始条件,则系统的最终状态可能会出现巨大的差异。
很多学者把这个特征作为混沌的本质特征,在混沌系统中的好多混沌现象也是在这一特征中发现的。
貌似随机性。
混沌和随机是两个不同的概念,大家应该注意的是“貌似”,而不是等同于随机。
实际上混沌系统是确定的,即无序中的有序。
非线性系统里只有对初始条件敏感的依赖性并不能说明这个系统是混沌的, 3 这个系统还必须具备不规则或貌似随机的行为才能称为混沌系统。
混沌的研究方法 80年代以前人们对混沌的研究主要是集中在计算机实验(如Lorenz、Logistic和强迫Brusselor系统等)和物理实验(如Duffing振动、浅水波的强迫振动、非线性电路中的混沌等)上,模拟、观测、再现混沌行为。
而所借助分析的数学是分岔理论和突变理论。
80年代以来,人们则着重研究混沌的结构,而所借助的数学是多标度分形理论和符号动力学[9]。
分形这一概念之所以能在各个领域内得到应用,首先是它反映了与几何相关的一类新的动力学标度模型;其次它还揭示了一些看起来是毫不相关的自然现象中的某种相同构造原则,然而,分数维除了标志着该结构的自相似构造规律外,并不能完全揭示出产生相应结构的动力学特征。
为此,Grassberger、Hentschel和Procaccia提出了重构动力学系统的理论和方法[10],使混沌问题的研究跳出了理论模型研究的局限,大大缩短了混沌理论与实际应用之间的距离,使混沌理论开始步入一个实际应用阶段。
研究混沌现象的意义 混沌现象发现以来,对它的研究已经成为一个重要的物理分支。
而混沌吸引子具有分维数的分形结构。
混沌现象的发现告诉人们,即便方程是完全确定的,它的解也可能是敏感依赖初始条件而完全不确定的,确定性和随机性之间并没有不可逾越的界限。
混沌理论的研究也带来了新的研究方法。
过去人们研究问题是着眼于方程的建立、求解方程。
而非线性系统一般不能积分,无法精确求解,而且解对初值非常敏感,根本不存在确定的解,只能计算吸引子的个数、维数等,从另一更高的层次来讨论系统的性质。
混沌的发展对哲学也有深刻的意义,对于非线性系统来说,从倍周期分岔进入混沌,在进入另一种奇数周期的更快分岔,在进入分岔?
,这是一种否定之否定的过程,而且,这种非平衡态混沌在变换空间尺度上体现了不变性,含有一种自相似结构。
它在一个尺度上表现的随机现象会以同样形式在不同尺度上重复出现,每一次都会产生一些新的丰富内容,又保持分维不变等,这中间充满辩证法。
而且混沌的研究成果对我们的社会生活很有帮助[11]。
2.混沌的应用 混沌在现实世界随处可见,但直到上世纪混沌现象才被人们发现。
伴随电脑的出现和电脑技术的发展为研究混沌创造了有利条件。
到了本世纪混沌已取得很大发展,非线性问题涉及到所有领域,自然科学、人文科学、数学和哲学,几乎无所不在,现代不同学科的相互综合渗透交叉发展的特征深刻地反映在非线性科学的发展上,各种学科的非线性问题的处理在近二十多年间,己经成为学科发展 4 的主要生长点。
20年来,非线性问题的研究产生了许多分支,如混沌,分形,耗散结构,协同学,负熵论,突变论,元胞自动学等,其中混沌与分形理论具有全局性影响的。
对国际上1257种学术重要期1980午后期以来发表的论文的统计,与混沌与分形理论有关的占37.5%,涉及到的领域包括哲学、数学、物理、化学、材料科学、电了科学技术、表面科学、计算机科学、生物学、医学、农学、天文学、气象学、地震、地质学、城市规划、经济学、历史学、人口学、情报学、商品学、电影美术、思维、音乐、艺术、人文科学,无所不及。
可见各门学科的研究都十分重视这一理论的影响[6],并且已经应用到许多领域。
工程科学 混沌工程学是一门利用混沌实践及其理论基础的工程非线性科学。
混沌在工程上的应用从上世纪90年代开始兴起,1989年TomCarroll创造了第一个同步混沌电子电路,在这两个混沌的电路中混沌的电压和电流信号总是保持一致。
随后发展非常迅猛,几乎覆盖了国民经济建设的各个领域[8],如震动控制、电路稳定、化学反应、激光、流场、航空航天、车辆工程、抗震、核能、石油管道、海洋工程、地球物理学、神经网络以及模态识别等。
混沌在这方面国内外也涌现出一批优秀科研成果,日本松下电器产业株式会社在上世纪90年代中期申请了一系列利用混沌技术的专利,大多是家用电器上相关技术的改进。
1993年,Goldstar公司宣布他们生产了世界上第一个革命性的混沌产品——基于混沌原理设计的混沌洗衣机。
这款新式洗衣机的推出,让人们惊奇地发现,与常规洗衣机相比混沌洗衣机能把衣服洗得更干净,而且普通洗衣机会把衣服洗皱的问题在混沌洗衣机中也得到了很大程度上的解决。
随着这款混沌洗衣机的成功推出,混沌应用研究在许多领域中变得异常活跃,新的应用成果不断涌现,之后不久混沌洗碗机、混沌空调等产品也相继问世,到最近混沌应用进人社会领域。
英国阿伯丁大学的学者研究发现,疲劳裂纹的增长也会引发混沌现象,逐渐增长的疲劳裂纹的张开、合拢会使构件的刚度不断产生变化,研究结果表明疲劳裂纹的出现会使系统的动态响应产生混沌现象[12]。
中国农业大学的龙运佳教授发明了混沌激振器,在偏心套中安装偏心转盘以产生混沌振动,与常规激振器相比,它节省能源、效率高。
1995年,他还申请了混沌振动台的技术专利。
1998年,浙江大学王林翔、路勇祥等人发明了将流体进行混合的混沌混合器[8]。
地理学 混沌在基础科学研究方面也取得了很大的进步,地理学上的混沌研究范围很广,早在60年代,L、F、Richardson提出“大不列颠海岸线有多长的问题”,通过对海岸线长的计算人们发现:
对海岸线的长度求得越精细,海岸线的结构则会出现自组织混沌现象[13]。
到了如今混沌在降雨量、河流流量、温度、风压、日照 5
长短以及树的年轮等诸多地理学方面的研究也取得了很大进展。
如边坡位移及其失稳是自然边坡和人工边坡经常遇到的现象,特别是人工边坡,如人们在建筑水库特别是大型的水库的大坝时就要考虑到大坝的边坡位移及其失稳的现象。
对边坡何时位移及其失稳进行预测,可以对边坡工程整治和避免滑坡灾害具有重要意义[14]。
在人工边坡和大坝的安全监测上,人们通常应用向量机监测,在监测过程中通过引入混沌优化方法,充分利用混沌的遍历性特点,有效解决了人为选择支持向量机参数的随机性和盲目性,提高了支持向量机预测的精度。
并且支持向量机的预测精度明显高于统计回归方法和BP神经网络方法。
气象学 在这门学科中的应用大家最熟悉的就是蝴蝶效应。
蝴蝶效应比较明显的就“厄 耳尼诺”现象。
“厄耳尼诺[15]”现象的起因是“沃克环流”的变化。
“沃克环流”是1969年英国人沃克最初发现的,它源于西太平洋赤道地区,陆地部分主要经过印度尼西亚和马来西亚等国。
大气环流是支配大气活动的主要动力之一,其变化也是大气变化的主要原因之一。
美国气象科学家洛伦兹根据大气对流找到了吸引子(attractor),即空间每一条轨道的运动最终必须结束在一个中心点,据此提出在混沌背景下,天有不测风云,长期天气预报注定要失败,世界上最好的长于两三天的天气预报仅仅是推测,超过6天或7天的预测则毫无价值。
计算机通信 计算机领域的混沌应用主要软件设计、网络信息交换、信息加密以及机器人控制、信息压缩、信息储存、信息网络设计与管理等方面。
进人上世纪90年代以后,特别是Pecora和Carroll关于混沌系统自同步理论的提出以后,在这一领域的混沌研究迅速发展起来。
Oppenheim等人提出混沌保密通信的方法要求收发两端的模拟混沌电路完全匹配,通常的处理方法很难做到这一点。
为克服以上缺点,一些新的方法相继被提出,比如利用数字滤波器的拟混沌特性实现数字保密通信[16]、采用非自治的混沌系统实现模拟保密通信[17]等。
纪飚等人还提出了一种基于混沌参数调制的数学通信方式。
即一个非线性映射所产生的混沌序列作为载波,再经过简单的信号处理运算恢复出原来的有用信号。
生物医学 生物医学是目前混沌应用的热点之一,非线性系统研究专家正致力于用混沌理论揭示人体心脑及免疫系统的工作机理。
严格来说人体的心率、脑电波等都是混沌的,真正周期的心率或是脑电波则是致病因素。
人们在对混沌系统对初始条件扰动的敏感性使系统最终呈现不稳定性和不可预测性中知道,在心脏系统中这就可能在一定的条件下造成“致命的混沌”。
另一方面,也正是混沌系统对初始扰动的敏感性,可以在心脏系统偏离正常状态的初期,只用微小的扰动去控制心 6 脏的混沌状态,就能使偏离正常状态的心脏系统及时地从有害的无节奏状态回复到正常状态。
1982—1984年,Class等人对胚胎中的雏鸡心脏在电脉冲激励下的响应进行了实验研究,发现实验得到的许多心律与人体心电图在临床中看到的异常心律一模一样,从而证实了心电图中的心律不齐可以用人体心脏数学模型中产生的混沌振动加以力学上的解释,为人工心脏起搏器的研制提供了理论依据。
另外印第安纳波利斯普杜大学物理学家拉玛·拉特及神经外科医生罗伯特·沃思应用混沌理论模拟了癫痫发作前大脑内的变化。
依据他们应用混沌理论在这方面的研究表明,癫痫治的疗法可能不再需要做手术就能治愈[8]。
社会经济 随着混沌应用研究的兴起,现在混沌研究已进人经济和社会领域,目前在这一领域的混沌应用主要包括经济预测、经济结构调整、市场预测及干预等。
混沌研究进人经济领域以后形成了经济学的一个分支。
目前国内外在这一领域做了很多研究,也出了很多研究成果。
Cordon早在上世纪80年代就曾指出,混沌与分形将会成为预测研究的新工具。
英国皇家科学学会曾于1994年3月专门举行了“混沌与预测”研讨会,来自不同领域的与会科学家在总结混沌理论应用于预测研究所取得的成果后指出,与自然科学相比较,混沌理论应用于社会经济系统的预测研究远远不够,前景非常广阔。
刘豹把社会经济系统中的事件按其预测难易程度分为3类,分析了经济事件的可预测性,并提出提高整体系统预测准确性的基于Agent的预测支持系统;贺新时等人讨论了应用相空间重构技术来重新构造一维时间序列的条件和用于经济预测的原理;盛昭翰和马海军研究了经济时序动力系统混沌时间序列的相空间重构技术,分析了相空间嵌入维数与拟合模型阶数之间的关系[8]。
旅游业 与现代社会其它方面一样,旅游系统也是动态发展的,难于控制的,而且对内生和外生变量很敏感,因为旅游业的一些重大变化也是复杂的因素引致的,如飓风、恐怖袭击或柏林墙的拆除等等。
混沌理论是旅游业研究的一个新领域,运用混沌理论来管理是旅游业发展的必然选择。
混沌理论可以广泛地应用在描述旅游系统动荡的和非线性特征、旅游危机、灾难管理、旅游目的地演化以及各个利益相关者对旅游业的态度等方面。
人本管理、混沌决策和蝴蝶效应是混沌理论在旅游业应用的新趋势[18]。
军事 在西方民谣中就有丢失一个铁钉,坏了一只蹄铁;坏了一只蹄铁,折了一匹战马;折了一匹战马,伤了一位骑士;伤了一位骑士,输了一场战斗;输了一场战斗,亡了一个帝国。
马蹄上的一个铁钉是否会丢失,本是初始条件十分微小的 7 变化,但其长期效应却是一个帝国或存或亡的根本差别。
在现代人们开始应用混沌的理论来研究军事,在研究的过程中发现军事系统通常包含诸多变量,它们之间往往具有不对等的地位。
有的重要,有的次要;有的变化快,有的变化慢。
然而军事学家认识到技术创新是引起军事的结构、战略、战术、战争形态、作战方式等变化的原因之一。
在军事上混沌学提出了一项操作性很强的技术:
相空间的重构,即只通过一维的时间序列,选择适当的嵌入维数,重建原来的多维空间,进而寻找吸引子。
这套方法早在八十年代初就卡德、克拉奇菲尔德、法默和肖以及塔肯斯提出来了,其数学根据是惠特尼提出的拓扑嵌人定理。
这套技术的诱人之处在于,以前通常于受某些限制,人们只能观测到一个变量的时间序列,不知如何处理,而现在可以把此一维数据中隐含的多维信息几何展示出来。
这样军队的改革与调整就是要打破传统的编制体制,建立与高新科技发展相适应的编制体制,只有从传统的编制体制的束缚下解放出来,军队才能走向新生。
在技术创新上,混沌动力学作为研究非线性系统的一种新方法已引起雷达界的重视,混沌信号是一种类随机性信号,具有极强的抗干扰性和极低的截获概率,因此科学家研究了混沌在雷达中的应用,分析了混沌理论在雷达波形设计、信号检测与估计、目标识别、及杂波分析与建模等领域内的发展情况,指出在雷达应用技术中引入混沌理论是雷达技术发展的必然趋势,并预测了混沌理论与雷达技术研究发展的前景[19]。
教育 教学与学生学习中存在诸多混沌现象,而且这种现象对学生的人生历程具有极大的影响效果。
每个人的多方面的智力、情感、技能等领域的发展无时无刻不处于一种复杂的多因素动态过程中。
想找到每个人发展的线性方程是不可能的,这是一个非线性的混沌现象。
把混沌规律引入学习理论中,让我们关注一些初始条件和和学习发展过程中的诸多因素,从中可以发现学生的与学习有关的环境条件和自身条件对学生学习有利和不利因素,我们就可以根据混沌的本质及相关理论指导教与学,使学生尤其是大专层次的特殊学生群体的身、心、智都得到全面的、健康的发展[20]。
教学设计本身就充满混沌,教学活动与人的物质生命发育、精神生命成长有关,是特殊复杂的巨系统,其复杂程度远非物理化学系统和一般生命系统复杂性可比。
用何种方法去探讨,是一个巨大的问题。
教学设计与蝴蝶效应、元认知学习与分形等方面有密切的关系。
教学设计这种系统其变量复杂丰富,在数学上还不能建立一个有效的模型来分析其中的混沌现象,但相信随着信息技术、人工智能和思维科学的发展,混沌认识论的基本观点在教学设计的应用会逐步加深[21]。
交通 8 实际的交通流存在着混沌那么任何交通流理论模型都应该真实的反映这一客观现象,因此是否反映了交通流混沌可以作为评估交通流理论模型合理性的一个准则。
在这个基础上,应用混沌理论可以从崭新的角度揭示各种交通现象的形成与转化。
为完善和提高交通流理论提供了新的手段和途径,从而建立一套能够验证、解释、判别和利用交通流混沌现象的理论方法。
混沌理论在交通中的应用主要在三个方面:
混沌理论在交通系统中建立模型的应用[22]。
系统模型是现实系统的抽象或模仿集中体现了系统本质特征,要对交通系统进行有效的分析研究,必须建立相应的模型,然后借助模型对系统进行定量与定性的分析,并据此引入一些新的技术来完善交通系统。
混沌理论在交通系统预测中的应用[22]。
交通预测是交通规划和交通控制的基础,交通规划需要的是宏观的、粗略的数据,而交通控制是需要5分钟以下的短时间交通流,能否对下一段时间的交通流预测,为交通控制提供依据,对交通系统的通行能力大小有着重大的影响。
而交通流短时的预测好坏取决于预测模型方法的正确性。
基于混沌短时的预测序列分析技术则是最好的,能预测时序微小的起伏波动等精细结构。
可以极大的扩展解析交通流数学模型方法的适用性。
混沌理论在交通控制的应用[23]。
道路交通管理的目的是希望交通流尽可能持续地有效畅通状态,交通流总是出现简单有序——混沌——无序交替出现的运动形式,如果我们及时判别出交通流出现混沌,就可以及时采取交通流控制措施按照混沌控制原理使交通流从混沌到简单有序运动转化。
混沌理论在智能交通系统中的应用[24]。
智能交通系统是应用先进的信息、通信、控制等技术,对传统交通技术改造而形成的,智能化信息处理是核心部分。
交通系统中存在大量不确定信息,对这些信息的处理方法对交通能力有很大的影响。
而混沌理论与神经网络、模糊计算等正是智能信息处理的基本理论和方法。
3.结束语 主要阐述了混沌的概念、混沌的识别、混沌的特征、研究混沌现象的意义和混沌的研究方法,综述了混沌理论在工程科学、计算机通信、生物医学等领域的应用。
随着科学技术的发展,混沌这门科学会更深入各个学科和各个学科融合在一起,使得混沌在我们生活中应用更为广泛。
致谢:
我衷心的感谢高斌老师的指导,同时也感谢系上老师多年的教育和帮助过我 9 的人。
approachwithanobject-orientedimplementation[C]、UK:
ElevenScienceLtd,1993 11 Chaosanditsapplication YinChun-lei Supervisor:
GaoBin 【Abstract】Thispaperpresentstheconcept,features,recognitionandresearchmethodsofchaos.Italsogivesasummaryoftheapplicationofchaostheoryinengineeringscience,computercommunication,biomedicine,socio-economicsandotherfields。
【Keywords】Chaos;recognitio
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