届合肥一模数学答案理科高考资料高考复习资料中考资料.docx
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届合肥一模数学答案理科高考资料高考复习资料中考资料
路漫漫其修远兮
合肥市2019年高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分.
题号123456789101112
答案DCCDADDDCCBA
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
1322
13.1,614.115.
,16.
n
32n4
233
三、解答题:
17.(本小题满分12分)
3131
(I)∵
fxcos2xsin2xcos2xsin2xcos2xsin2x,
22226
∴函数fx的最小正周期为T.…………………………5分
11(II)由
f可得.
sin2
363
∵0,,∴2,.
7
2666
11
又∵
0sin
(2),∴2+,,
63262
∴
22
cos2
63
,
∴
126
cos2cos2cos2cossin2sin
6666666
………………………12分
.
18.(本小题满分12分)
(I)取CD的中点M,连结EM,BM.
由已知得BCD为等边三角形,∴BMCD.
∵ADAB2,BD23,
∴ADBABD30,
∴ADC90,∴BM//AD.
又∵BM平面PAD,AD平面PAD,
∴BM∥平面PAD.
∵E为PC的中点,M为CD中点,∴EM∥PD.
又∵EM平面PAD,PD平面PAD.
∴EM∥平面PAD.
∵EMBMM,∴平面BEM∥平面PAD,
高三数学试题(理科)答案第1页(共4页)
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
∵BE平面BEM,
∴BE∥平面PAD.…………………………5分
(II)连结AC,交BD于点O,连结PO.由对称性知,O为BD中点,且ACBD,POBD
平面PBD平面ABCD,POBD,
PO平面ABCD,POAO1,CO3.
以O为坐标原点,OC的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.
则D(0,3,0),C(3,0,0),P(0,0,1).
易知平面PBD的一个法向量为
n11,0,0
.
设平面PCD的法向量为
nxyz
,,,
2
则n2DC,nDP
2,∴
n.
0
DC
2
0
nDP
2
3x
3y
∵DC(3,3,0),DP(0,3,1),∴
3y0
z0
.
令y3,得x1,z3,∴n2(1,3,3)
∴
cos
nn1
n,n
112
2
nn13
13
12
13
13
设二面角CPDB的大小为,则cos13
.………………………12分
13
19.(本小题满分12分)
(I)x0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245;
…………………………5分
(II)由题意知,39.2,50.8,P39.2t50.80.6826,
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.2,50.8的人数约为100000.68266826(人);
…………………………12分
20.(本小题满分12分)
(I)设椭圆的半焦距为c,由椭圆的离心率为
2
2
xy
22
知,bc,a2b,则椭圆方程为221.
2bb
22
易求得A2,0,则点2,2在椭圆上,所以
1,
2bb
22
a2
2
a
解得
b
2
6
3
xy.…………………………5分
22
,所以椭圆方程为1
63
(II)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时,不妨设切线方程为x2,由
(1)知,
2222
M,,N,,
22220
OM,,ON,,OMON,∴OMON.
当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时,可设切线方程为ykxm,
高三数学试题(理科)答案第2页(共4页)
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
Mx,y,Nx,y,
1122
则
m
k
2
1
2
,即
m22k21.
联立直线和椭圆的方程得
x22kxm6,
2
0
4km
12k2x24kmx2m260,得xx∴
122
2k1
2m6
2
xx
122
2k1
∵
OMxyONxy
,,,,
1122
∴
OMONxxyyxxkxmkxm
12121212
.
2m64km
2
1kxxkmxxm1kkmm
2222
121222
2k12k1
1k22m264k2m2m22k213m26k2632k226k26
2k12k12k1
222
∴OMON.
综上所述,圆O上任意点P处的切线交椭圆C于点M,N,都有OMON.
0,
在RtOMN中,由OMP与NOP相似,可得
OP2PMPN2为定值.
…………………………12分
21.(本小题满分12分)
(I)易知x1,且
fxe
x
1
.令
hxe
x
x1
x
1
1
,
1
则
hxe
x
x
2
1
0
,∴函数x
hxe
1
x1
在x1,上单调递增,且
h0f00.
可知,当x1,0时,hxfx0,ln1
fxexx单调递减;
当x0,时,hxfx0,ln1
fxexx单调递增.
∴函数fx的单调递减区间是1,0,单调递增区间是0,.……………………5分
(II)∵gxfxaxelnx1ax,∴gxfxa.
x
由(I)知,gx在x1,上单调递增,
当x1时,gx;当x时,gx,则gx0有唯一解
x.
0
可知,当x,x时,gx0,ln1
1gxexax单调递减;
x0
当xx,时,gx0,ln1
gxexxax单调递增,0
1
∴函数gx在xx处取得极小值
gx0elnx01ax0,且x
x
x满足ea
00
00
x1
0
.
∴
gx1xelnx11
x
0
000
x
0
1
1
.
高三数学试题(理科)答案第3页(共4页)
吾将上下而求索
路漫漫其修远兮
11
令,则
x1xelnx11xxe
xx
x1
1
2
x
可知,当x1,0时,x0,x单调递增;
.
当x0,时,x0,x单调递减,∴
xmax01.
∴函数gx极小值的最大值为1.…………………………12分
22.(本小题满分10分)
(I)C1:
x2y21,2:
=2cos
C,则2=2cos,∴x2y22x.
xy122
联立方程组得
xyx
xyx
22
x
1
,解得
y
1
1
2
3
2
1
x
2
,
2
3
y
2
2
,
1313
∴所求交点的坐标为
,,,.………………………5分
2222
(II)设B,,则=2cos,
11
SOAOBsinAOB4sin4cossin
∴AOB的面积
2233
2cos23
,
623
S
∴当时,max23………………………10分
12
23.(本小题满分10分)
(I)fx2x2,即x1>22x
x10x10
或
x1>22xx1>22x
x
1
3
1
∴实数x的取值范围是,.………………………5分
3
(II)∵a1,∴
(a1)x2,x,-1
11
,
1gx(1a)xx1
,,,
aa
1
a1x2x
,,
a
易知函数gx在
1
x,时单调递减,在
a
1
x,时单调递增,则
a
11
gxg1
min
aa
.
∴
11
1,解得a2.…………………………10分
a2
高三数学试题(理科)答案第4页(共4页)
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