重力扭转平衡试验.docx
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重力扭转平衡试验
重力扭轉平衡實驗
(GravitationalTorsionBalanceExperiment)
胡裕民編寫
1.實驗目的:
1.利用HenryCavendish的實驗方法來測量重力常數(gravitationalconstant,G)。
2.原理介紹:
在1686年,IsaacNewton所發表的著作“PrincipiaMathematica”中指出:
所有物質之間存在著重力的作用,且此重力(吸引力)正比於兩作用物體的質量,並反比於兩作用物體之間距離的平方。
然而,在牛頓發表的一個世紀之後,科學家知道重力常數G以及所有天體質量的大小。
牛頓的理論不僅當時成功地解釋了自由落體以及天體運動的現象,並使得後來的數學家能以計算方式正確地預測出海王星(Neptune)的存在。
在牛頓的時代,所有的計算是利用太陽(或地球)與行星(或衛星)的質量比值來求得的,牛頓實際的方程式為
(1)
其中F為重力,m為物體的質量,D為距離,K為克卜勒常數(Kepler’sconstant,為行星軌道半徑的三次方與公轉周期平方的比值)。
著名的牛頓萬有引力定律現今可表示為:
(2)
其中F為重力,G為重力常數(=6.67×10-11Nm2/kg2),m、M為兩物體之質量,r為兩物體之間的距離。
1798年HenryCavendish(1731-1810,英國化學及物理學家,發現hydrogen、argon原子以及water、nitricacid的組成)設計了一個實驗來計算地球的質量,並首先發現重力常數G的數值大小。
大部分的基本常數,例如:
電荷e、普朗克常數h等,的測量都可精確到八、九個位數,但是重力常數G的測量較為困難,只能精確到三個位數:
(6.673±0.010)×10-11m3kg-1s-1。
當初,Cavendish的實驗裝置如圖一所示:
圖一.(左)扭擺平衡運動側面圖(右)扭擺平衡運動頂面圖。
將兩個質量為m的小鉛球固定在一支細棒的兩端,細棒中央固定一個反射鏡,然後將此系統如圖一(左)所示,以一條細石英線平衡懸掛。
將一支臂上兩個較大的鉛球位於position1或position2,如圖一(右)所示。
以一雷射光束投射到反射鏡上,觀察遠處直尺上的反射光。
兩個小球受到大球(於position1)吸引時,會使石英線受到力矩而逆時針扭轉,若鏡子轉動一個小角度θ時,反射光會偏轉到2θ的角度。
當兩個小球受到大球(於position2)吸引時,會使石英線受到力矩而順時針扭轉,若鏡子轉動一個小角度-θ時,反射光會偏轉到-2θ的角度。
若鏡子到直尺的距離為L,反射光在直尺上移動的距離為Δx,則:
(3)
兩個大球作用在兩個小球的力矩為:
,F為其中一個大球作用在一鄰近小球的作用力,d為兩個小球間距的一半。
若D為石英棒的扭力常數,則
(4)
此外,扭力常數D與震盪週期T之間的關係為:
(5)
其中I為轉動系統的轉動慣量:
(6)
因此,利用eq.(3)-(6):
(7)
將eq.(7)與eq.
(2)比較後可知
(8)
本實驗根據上述的基本原理,利用兩種方法來量測重力常數,以下分別仔細介紹各方法的原理:
1.由最後偏折的量測:
圖二
由圖二所示,當大球(質量M)在position1時,大球與小球(質量m)之間的重力F可表示為:
(9)
在此系統中,大球與小球之間的重力作用產生一淨力矩:
(10)
此重力產生的淨力矩會與扭轉的扭力線產生的力矩大小相同、方向相反:
(11)
因此
(12)
當大球旋轉到position2的位置時,系統會由平衡位置S1作阻尼震盪,一直到靜止於另一個新的平衡位置S2,如圖三所示。
圖三
此時,S1與S2之間的距離ΔS與扭轉角度θ之間的關係為(如圖四所示):
(13)
圖四
扭力常數κ可利用觀察振盪週期T來決定:
(14)
其中I為小球系統的轉動慣量:
(r為小球的半徑)
(15)
由eq.12到eq.15,我們可知
(16)
因此,實驗上量測雷射光點的總偏折距離ΔS以及振盪週期T,即可得知G。
2.由加速度的量測:
如前所述,當大球旋轉到position2的位置時,系統會由平衡位置S1作阻尼震盪,一直到靜止於另一個新的平衡位置S2。
因為小球的振盪週期很長(約十幾分鐘),因此當大球旋轉到position2位置的同時,小球並沒有明顯的運動,此時大球與小球之間的重力大小與之間約略相同,只是方向相反。
故此時剛加速小球的力量Ftotal等於原先重力作用的兩倍:
(17)
由阻尼簡諧振盪的本質可知:
在振盪週期的前十分之一時間內,初始加速度a0約為常數(變化在5%範圍內)。
因此,我們在振盪之初紀錄測量出初始加速度a0,即可約略得到重力常數G。
圖五
如圖五所示,初始加速度a0可由觀察雷射光點的位移而計算出來:
(18)
其中Δs為小球的線性位移。
利用牛頓第二運動方程式:
(19)
將ΔS與t2作圖,計算斜率即可得到初始加速度a0,亦即得到重力常數G。
3.實驗裝置:
1.裝置參考圖:
(圖六)
圖六
2.實驗儀器:
(圖七,由左到右)
a.2-56×1/8Phillipsheadscrews……………………………………………………...×4
b.replacementtorsionribbon(鈹銅製,長26cm)..………………………………….×3
c.GravitationalTorsionBalance………………………………….…………….……..×1
d.鉛球(大:
1.5kg/Φ31.9mm×2,小:
38.3g/Φ9.53mm×2)…………………….×4
e.supportbasewithlevelingfeet……………………………………………………...×1
f.plasticplate………………………………………………………………………….×1
g.Phillipsscrewdriver(notshown)……………………………………………………×1
h.He-Nelaserlightsource(notshown)……………………………………………….×1
i.Meterstick(notshown)……………………………………………………………..×1
j.碼錶…………………………………………………………………………………×1
圖七
其他裝置參數:
k.當大球貼近鋁板時,大球的質量中心至小球的質量中心的距離b為46.5mm。
l.反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。
3.基本架設:
a.先檢查實驗儀器有無數量短缺或損壞情事,有則報告實驗助教。
b.將基座置於平坦的實驗桌上,距離牆壁或屏幕至少五公尺。
實驗過程中避免碰觸實驗桌。
c.小心地將gravitationaltorsionbalance固定在基座上。
d.旋轉擺錘腔(pendulumchamber)底部的螺絲,使得lockingmechanism降至最低。
(如圖八(左)所示)
圖八
e.調整基座腳使得擺錘在鏡子上方的中央。
(如圖八(右)所示)
f.抓住torsionribbonhead,鬆開固定螺絲,調整擺錘高度,使得擺錘與擺錘腔切齊後,將固定螺絲鎖緊(如圖九所示)。
注意:
此步驟只在更換扭力線後或是誤觸扭力線固定螺絲時才需進行。
圖九
圖十
g.擺錘臂的轉動校正(zeroing):
如圖十所示,將雷射光斜打在反射鏡上,經由反射後觀察由鏡面反射的點與由玻璃視窗反射的點是否對齊,如圖十一(左)所示。
若無對齊,則鬆開零點調整螺絲,輕輕轉動zeroadjustknob,直到兩雷射光點對齊後即鎖緊零點調整螺絲,如圖十一(右)所示。
圖十一
h.精確地量測圖十中L的距離長度。
注意:
反射鏡表面到玻璃窗外部表面的距離為11.4mm。
i.將接地銅線接於擺錘腔的接地螺絲並鎖緊。
j.將大鉛球放在支臂兩端上,並轉到position1的位置,如圖十二所示。
圖十二
k.靜待擺錘停止震盪。
這可能需要數小時,實驗時可利用擺錘腔(pendulumchamber)底部的螺絲,使得lockingmechanism緩慢升起並接觸到擺錘棒,幾秒後再小心地將lockingmechanism緩慢下降,快速地使擺錘停止震盪。
4.實驗步驟:
1.方法一:
由最後偏折的量測(準確度:
5%)
a.待基本架設完成後,大球置於position1位置,並使擺錘停止振盪。
b.將雷射打開,觀察反射光點的位置幾分鐘,看看反射光點是否移動,以確定系統已達穩定。
精確紀錄position1時反射光點的位置S1,並紀錄反射光點位置S1隨時間變化的微小變化,以做為系統的起始誤差。
c.小心地將大球旋轉到position2的位置,使大球剛好接觸擺錘腔外殼,絕對避免有較大的碰撞,使得系統失去平衡狀態。
(可利用兩階段過程來減少擺錘達到平衡的時間(如圖十三所示):
先將大球旋轉到intermediateposition,等到雷射光束移動至最遠距離時,再將大球旋轉到position2的位置,使大球剛好接觸擺錘腔外殼。
圖十三
d.立刻觀察並紀錄光點位置(每十五秒紀錄一次)。
e.紀錄振盪一次的時間(為求精確,紀錄幾次的振盪周期後加以平均)。
f.一直等到振盪結束後,紀錄最後平衡的位置S2。
數據分析修正:
g.將所紀錄的數據,利用eq.16計算出G值。
h.由於系統本身的誤差,因此我們做必須以下的修正:
小球除了受到鄰近大球的重力吸引F之外,也會受到另一大球較弱的重力F0吸引,如圖十四所示。
圖十四
由圖十四的幾何關係可知
(20)
(21)
而由萬有引力定律可知
(22)
因此
(23)
此處我們定義一無單位參數
(24)
由以上可知,實際作用於小球的重力
,因此實驗計算出的重力常數
,而G0則為修正後標準的重力常數。
2.方法二:
由加速度的量測(準確度:
15%)
a.先完成方法一中的步驟a-c。
b.立刻觀察並紀錄光點位置(每十五秒紀錄一次,直到三分鐘)。
數據分析
c.將光點位移ΔS(y軸)對時間t的平方(x軸)作圖,選擇起初符合線性關係的資料點作迴歸分析,找出斜率值,利用eq.17-19即可得到初始加速度a0以及重力常數G。
d.利用方法一的數據修正方法,得到正確的重力常數G。
注意:
1.實驗進行前請助教加以確認後方可進行實驗。
2.眼睛切勿直視雷射光源!
3.請特別小心鉛球,嚴禁嘻笑玩弄。
5.實驗數據:
(請自行劃表格將數據紀錄,並將以作圖,計算出的重力常數G請與已知的標準值比較,計算本實驗的誤差,並請注意有效位數。
)
6.問題討論:
1.請計算出鈹銅製扭力線的扭力常數κ。
2.本實驗若增加大球的重量,是否會對實驗結果的準確性有所幫助?
3.請討論兩種方法所得到的實驗數據的誤差值何者為大,並討論其原因。
7.實驗心得:
8.
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- 关 键 词:
- 重力 扭转 平衡 试验