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医用高等数学题库
医用高等数学题库
第一章函数与极限
1.设,求,并作出函数
的图形。
2.设,,求,并作出这两个函数的图形。
3.设,求。
4.试证下列函数在指定区间内的单调性:
(1)
(2)
5.下列函数中哪些是是周期函数?
对于周期函数,指出其周期:
(1)
(2)
6.设。
试求下列复合函数,并指出x的取值范围。
7.已知对一切实数x均有,且f(x)为单调增函数,试证:
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8.计算下列极限:
(1)
(2)
(3)
9.
(1)设,求常数a,b。
(2)已知,求a,b。
10.计算下列极限:
(1)
(2)(x为不等于零的常数)
(3)
(4)
(5)(k为正整数)
11.计算下列极限:
--2
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(1)
(2)
(3)
(4)(k为常数)
(5)
(6)
(7)
(8)(a>0,b>0,c>0)
(9)
(10)
(11)
(12)
--3
精选文库
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
--4
精选文库
(24)
12.当时,无穷小1-x和
(1)
(2)是否同阶?
是否等价?
13.证明:
当时,有
(1)
(2)
14.利用等价无穷小的性质求下列极限:
(1)(n,m为正整数)
(2)
15.试确定常数a,使下列各函数的极限存在:
(1)
(2)
16.讨论下列函数的连续性:
(1)的连续性
--5
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(2)在x=0处的连续性
17.设函数在[0,2a]上连续,,试证方程在
[0,a]内至少存在一个实根。
18.设函数在开区间(a,b)内连续,,试证:
在开区间(a,
b)内至少有一点c,使得(其中)。
第二章导数与微分
1.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性:
(1)
(2)
2.设存在,求
3.设,问a,b为何值时,在x=0处可导?
4.已知,求及,并问:
是否存在?
5.证明:
双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等
于。
6.问当系数a为何值时,抛物线与曲线相切?
--6
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7.求下列各函数的导数:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)(a>0)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
--7
精选文库
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
8.求曲线在点处的切线方程和法线方程。
9.用对数求导法求下列函数的导数:
(1)
--8
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(2)
(3)
(4)
(5)
10.求下列隐函数的导数:
(1)
(2),求
(3)
(4)
(5)
11.求下列函数的n阶导数:
(1)
(2)
(3)
--9
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12.已知函数,求。
13.若存在,求下列函数y的二阶导数:
(1)
(2)
14.求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数:
(1)
(2)
15.求下列函数的微分:
(1)
(2)
(3)
16.计算下列各式的近似值:
(1)
(2)
17.求极限:
(1)
--10
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(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
--11
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18.确定下列函数的单调区间:
(1)
(2)
(3)(a>0)
(4)
19.求下列函数的极值:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
20.求下列函数图形的拐点及凹凸区间:
(1)
(2)
(3)
--12
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21.描绘下列函数的图形:
(1)
(2)
(3)
(4)
22.要造一圆柱形油罐,体积为V,问底半径r和高h等于多少时,才能使表面
积最小?
这时直径与高的比是多少?
23.一火车的锅炉每小时的耗煤费用与速度的立方成正比。
已知当速度为每小时
20公里时,每小时耗费的煤价为40元。
至于其他费用每小时需200元。
问当火
车行驶的速度为多少时才能使火车从甲地到乙地的总费用最省?
第三章不定积分
1.求下列不定积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
--13
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(5)
(6)
2.设有一曲线,在其上任一点处的切线斜率为,并知此
曲线通过点(3,2),求曲线的方程。
3.设有一通过原点的曲线,在其上任一点处切线斜率为
,其中a为常数,且知其拐点的横坐标为,求曲线的方程。
4.求下列不定积分:
(1)
(2)(为常数)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
--14
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(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
--15
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(20)
(21)
(22)
5.求下列各不定积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
--16
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6.证明下列各式:
(1)
(2)
(3)
(4)
7.求下列各不定积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
--17
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(8)
(9)
(10)与
8.求下列各有理函数的积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
9.设是连续函数,求。
--18
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10.如果的一个原函数是,证明:
。
11.求
12.试确定常数A,B,使下式成立:
第四章定积分及其应用
1.比较下列各对积分的大小:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.证明不等式:
3.设(x>0),求
4.
(1)设,求
--19
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(2)设,其中连续,求
5.设,求
6.设,求
7.计算下列极限:
(1)
(2)
(3)
8.利用牛顿——莱布尼茨公式计算下列各积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
--20
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(5)
(6)
(7)
(8)
9.计算下列各积分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
10.计算下列定积分:
(1)
--21
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(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
11.利用分部积分法计算下列定积分:
(1)
(2)
(3)
--22
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(4)
(5)
(6)
12.利用函数的奇偶性计算下列积分:
(1)
(2)
(3)
13.下列各广义积分如果收敛,求其值:
(1)
(2)
(3)
(4)(a>0)
(5)
--23
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(6)
14.求面积:
(1)求曲线与直线所围成的平面图形的面积。
(2)求由抛物线与直线所围成的平面图形的面积。
(3)求由曲线与直线所围成的平面图形的面积。
(4)求三次曲线与直线所围成的平面图形的面积。
(5)求抛物线与直线之间的面积。
15.已知塔高为80米,离它的顶点x米处的水平截面是边长为米
的正方形,求塔的体积。
16.一立体的底面为一半径为5的圆,已知垂直于底面的一条固定直径的截面都
是等边三角形,求立体的体积。
17.一立体的底面为由双曲线与直线所围成的平面图形。
如果垂直于x轴的立体截面分别是:
(1)正方形;
(2)等边三角形;(3)高为3的等腰三角形;求各种情况的立体体积。
18.直径为20cm,高为80cm的圆柱体内充满压强为10的蒸汽。
设温度
保持不变,要使蒸汽体积缩小一半,问需要作多少功?
--24
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第五章微分方程
1.下列等式中哪些是微分方程?
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2.说出下列微分方程的阶数:
(1)
(2)
(3)
(4)
3.求下列微分方程的通解:
(1)
(2)
--25
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(3)
4.求下列微分方程满足所给初值条件的特解:
(1)
(2)
5.用分离变量法求下列各微分方程的通解:
(1)
(2)
(3)
(4)
6.求下列齐次微分方程的通解:
(1)
(2)
(3)
7.求满足下列微分方程和初始条件的特解:
--26
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(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
8.求解下列微分方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
--27
精选文库
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
9.质量为1kg的质点受外力的作用作直线运动,该力和时间成正比,和质点运
动的速度成反比。
在t=10s时,速度为45,力为4N。
问从运动开始经过20s
后的速度为多少?
--28
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10.一桶内有100的水,现以浓度为2的盐溶液用3的速率
注入桶内,同时,被搅拌均匀的混合溶液以同样的速率流出。
(1)求任一时刻t桶内盐的含量m;
(2)何时桶内存盐100kg?
11.设汽车A从原点出发,以固定速度沿y轴正向行驶,汽车B从
以固定速度出发(),其速度方向永远指向汽车A,求
汽车B的运动轨迹。
12.在某粘性液体中,一单位质点P受一力作用沿直线运动,该力与P点到原点O的距离成正比(比例系数为10),粘性液体的阻力与运动速度成正比(比例系数为3),求该质点的运动规律(运动开始时,质点P静止,距原点kcm)。
第六章概率论初步
1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点:
(1)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,,,3,4,5,从中同时取3只球,球的最小号码为1。
(2)在1,2,3,4四个数中可重复地取两个数,一个数是另一个数的2倍。
(3)将a,b两个球随机地放到三个盒子中去,第一个盒子中至少有一个球。
(4)10件产品中有一件废品,从中任取两件得一件废品。
(5)两个口袋各装一个白球与一个黑球,从一袋中任取一球记下其颜色放入第二袋,搅匀后再从第二袋中任取一球,两次取出的球有相同的颜色。
(6)重复掷硬币,掷了偶次后才第一次得到正面。
--29
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2.在数学系学生中任选一名学生,令事件A表示被选学生是男生,事件B表示
该生是三年级学生,事件C表示该生是运动员。
(1)叙述事件的意义。
(2)在什么条件下ABC=C成立?
(3)什么时候关系式成立?
(4)什么时候成立?
3.将下列事件用A,B,C表示出来:
(1)A发生
(2)只有A发生
(3)A与B都发生而C不发生
(4)三个事件都发生
(5)三个事件中至少有一个发生
(6)三个事件中至少有两个发生
(7)三个事件中恰好发生一个
(8)三个事件中恰好发生两个
(9)三个事件都不发生
(10)三个事件中不多于二个事件发生
(11)三个事件中不多于一个事件发生
--30
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4.证明下列各式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
5.证明下列各式:
(1)
(2)
(3)
(4)
6.一部五卷文集任意地排列到书架上,问卷号自左向右或自右向左恰好为12345
的顺序的概率等于多少?
7.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体,从这些小立方体中任
取一个,求所取小立方体有k面(k=0,1,2,3)涂有颜色的概率。
--31
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8.甲从2,4,6,8,10中任取一数,乙从1,3,5,7,9中任取一数。
求甲取
的数大于乙取的数的概率。
9.在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”,求他们正好
可以互相吃掉的概率。
10.一批灯泡有40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查。
问:
(1)5只都是好的概率为多少?
(2)5只中有2只坏的概率为多少?
11.一幢10层楼中的一架电梯在底层走上7为乘客。
电梯在每一层都停,乘客从第二层起离开电梯,设没位乘客在每层离开都是等能的,求没有2为乘客在同一层离开的概率。
12.一个班级有2n个男生及2n个女生,把全班学生任意的分成人数相等的两组,
求每组中男女生人数相等的概率。
13.公共汽车每隔五分钟有一辆汽车到站,乘客到汽车站的时刻是任意的。
求一
个乘客候车时间不超过三分钟的概率。
14.平面上有两组互相垂直的平行线把平面划分为边长为a的正方形。
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