复变函数练习题习题33.docx
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复变函数练习题习题33
习题3.3
1.计算下列积分,其中积分闭路取正向.
(1)
解:
(4)
解:
(6)
解:
(8)
解:
被积函数
有6个奇点,只有
在圆
的内部,于是函数
在闭圆域
上解析,则由Cauchy积分公式得
4.用Cauchy积分公式计算函数
沿正向圆周
的积分值,然后利用圆周
的参数方程
证明下面积分
(1)解:
函数
的奇点
在积分路径
的内部,而函数
在闭区域
上解析,于是由Cauchy积分公式得
(2)证明:
圆周
的参数方程为
,在它上有
于是
比较等式两边的虚部得
又
所以
7.由下面所给调和函数求解析函数
(2)
解:
对u求偏导数有
解法1:
由Cauchy-Riemann条件得
对第一式两边对x积分得
两边对y求导,并且与上面所得
比较有
于是得
即
其中c为任意实常数.
从而
,
即
由于
代入上式得
所以
解法2:
由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得
于是
其中c为任意实常数.
由于
代入上式得
所以
(4)
解:
对v求偏导数有
解法1:
由Cauchy-Riemann条件得
对第二式两边对y积分得
两边对x求导,并且与上面所得
比较有
于是得
即
其中c为任意实常数.
从而
,
即
,
由于
代入上式得
所以
解法2:
由Cauchy-Riemann方程和解析函数的求导公式可得
于是
其中c为任意实常数.
由于
代入上式得
所以
10.设
和
在简单闭路C上及其内部解析,试证:
(1)若
在C上及其内部处处不为零,则有
(2)若在C上有
则在C的内部有
证明:
(1)因为
在简单闭路C上及其内部解析并且处处不为零,则
在简单闭路C上及其内部处处解析,于是由Cauchy积分定理得
(2)若对于C上的任意一点
有
由于
和
在简单闭路C上及其内部解析,则对于C的内部的任意一点
,由Cauchy积分公式得
所以在C的内部有
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