中学生应用数学竞赛.docx
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中学生应用数学竞赛.docx
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中学生应用数学竞赛
中学生应用数学竞赛
李正太lizhengtai@
1.中国人民银行97年10月整存整取年利率如下:
一年期
二年期
三年期
四年期
5.67%
5.94%
6.21%
6.66%
某人97年10月有1万元,选用怎样的存款方式使6年内收益最大?
(假定利率不变)
参考:
这里必须正确地理解和运用单利及复利的概念:
例如:
1万元以一年期的方式存6年,6年后的本利和为:
(万元)
1万元以二年期的方式存6年,6年后的本利和为:
1万元以一年期的方式存2年,再以存一四年期6年后的本利和为:
答案:
存两个三年期
2.一农民今年10月份承包100亩土地。
土地租费50元/年/亩,农业税10
元/年/亩。
可以种植小麦,玉米,花生。
种植周期:
冬小麦:
10月份种植,第二年6月份收割;玉米:
6月份种植,10月份收割;花生:
4月份种植,10月份收割。
收支表:
项目
作物
耕地
元/亩
播种
元/亩
浇水
元/亩
收割
元/亩
化肥
元/亩
农药
元/亩
种籽
元/亩
中耕
元/亩
亩产
斤/亩
售价
元/斤
小麦
14
10
66
45
111
2
30
0
300
1.68
玉米
14
10
0
45
81
1
9
10
400
1.23
花生
14
10
0
45
78
4
56
0
250
3.10
这位农民每年必须完成20000斤小麦公粮(卖给粮食局),每年留足全家1000斤口粮(小麦),据市场预测明年花生种植面积不宜超过20亩,后年不宜种植花生。
请制定种植计划(今年10月—后年10月)
参考:
每亩地只有两种种植方案,方案I:
冬小麦,玉米。
方案II:
花生
经计算方案II的盈利高,即应该尽量多种花生。
答案:
明年20亩种花生,后年不种花生
3.现有甲乙两个服装厂生产同一种服装,甲厂每月产成衣900套,生产上衣和裤
子的时间比是2:
1,乙厂每月产成衣1200套,生产上衣和裤子的时间比是3:
2,
若两服装厂兼并,则每月可产成衣多少套?
参考:
甲每月上衣生产能力为:
1350件,裤子生产能力为:
2700条
乙每月上衣生产能力为:
2000件,裤子生产能力为:
3000条
设甲一个月内x月生产上衣(x
1),乙一个月内y月生产上衣(y
1)
则1350x+2000y=2700(1-x)+3000(1-y)(上衣数等于裤子数)
即y=1.4-0.81x,又y
1,所以
x
1
求衣服套数1350x+2000y=2800-270x的最大值
答案:
x=
衣服套数为2667.7
4.股票交易的开盘价是这样决定的:
每天开盘前由投资者填报某种股票的意向
买价或意向卖价以及相应的意向股数.然后由计算机根据这些数据确定适当的
价格,使得在该价位上能够成交的股数最多.试根据以下数据,确定该种股票的
开盘价以及能及时成交的股数.
卖方意向价
2.10
2.20
2.30
2.35
2.40
意向股数
200
400
500
600
100
买方意向价
2.00
2.10
2.20
2.30
2.40
意向股数
800
600
300
300
100
(注:
当卖方意向价低于开盘价以及买方意向价高于开盘价时即可成交)
参考:
若开盘价为2.00,则买方意向股数为800+600+300+300+100
而卖方意向股数为0,所以成交量为0。
若开盘价为2.20,则买方意向股数为300+300+100=700
而卖方意向股数为200+400=600,所以成交量为600。
答案:
600
5.某公司根据市场情况,预计某商品今后六个月的需要量,进货单价与存储单价
如下:
月
1
2
3
4
5
6
需要量(件)
60
70
70
50
45
40
单价(元)
800
780
860
860
760
810
存储月份
1--2
2--3
3--4
4--5
5--6
存储单价
40
35
35
25
40
若当月定购当月所需商品则不附加存储费,问如何进货使总费用最少?
参考:
1月份进货,单价为800
2月份若用1月份的存货,则单价为800+40=840,不如直接进货,单价为740
3月份若用2月份的存货,则单价为780+40=820,比直接进货(单价为860)便宜
4月份若用3月份的存货,则单价为820+35=855,比直接进货(单价为860)便宜
5月份若用4月份的存货,则单价为855+35=890,不如直接进货(单价为760)
6月份若用5月份的存货,则单价为760+40=800,比直接进货(单价为810)便宜
6.假设你买了一辆新车(附有5只新轮胎),新胎安在前轮可跑29000公里,安
在后轮可跑21000公里,随时都可换胎,问5只轮胎最多可跑多少公里?
参考:
最好的方法是使得5只新轮胎全部跑尽。
设每只轮胎跑前轮x公里,跑后轮也为y公里。
,5x/2=5y/2(汽车前后轮里程相同);
里程=5x/2
答案:
3018公里
7.池塘内有一定数量的鱼,撒网捞鱼,得30条,均作上记号,放回池中,再撒网,得鱼40条,有2条是作过记号的,问池中大该有鱼多少条?
参考:
设池塘中有鱼x条,鱼被做记号的比例是
,应该等于2/40。
答案:
600
8.已知森林具有6年的生长期,我们把森林中的树木按照高度分为6类,第一类
树木的高度为[0,h1],它是树木的幼苗,其经济价值为p1=0,第k类树木的
高度为[h(k-1),h(k)],每一棵经济价值为p(k),第六类树木的高度为[h5,∞],
经济价值为p6.设每年对森林砍伐一次,且为了维持每年都有稳定的收获,只能砍伐部分树木,留下的树木和补种的幼苗,经过一年的生长期后,应该与上一次砍伐前的高度状态一致.再假设在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级,即第k类的树木可能进入k+1类(比例为g(k)),也可能停留在k类中.
设g1=0.28,g2=0.32,g3=0.25,g4=0.23,g5=0.37,p2=50元,p3=100元,p4=150元,p5=200元,p6=250元.求出对其进行最优采伐的策略.
参考:
设森林的总面积为1,6类高度树木分别为x
(1),x
(2),x(3),x(4),x(5),x(6),被砍掉的面积分别为y
(1),y
(2),y(3),y(4),y(5),y(6).幼苗无经济价值,所以y
(1)=0.y
(2)+y(3)+y(4)+y(5)+y(6)=g1×x
(1).
注意
y
(2)=g1×x
(1)-g2×x
(2)
y(3)=g2×x
(2)-g3×x(3)
y(4)=g3×x(3)-g4×x(4)
y(5)=g4×x(4)-g5×x(5)
y(6)=g5×x(5)
砍某类树木就不会砍其他类树木,且不存在高度更高的树木。
答案:
砍第三类树木
9.某车场每天有4辆汽车经过A1,A2,A3,A4,A5,A6六个点组织循环运输。
在A1点装货需6个工人,在A2点卸货需4个工人,在A3点装货需8个工人,在A4点卸货需5个工人,在A5点装货需3个工人,在A6点卸货需4个工人,几个工人跟车,各点分别安置几个工人?
参考:
我们定义函数
假设x人跟车,则总人数为:
4x+f(6-x)+f(4-x)+f(8-x)+f(5-x)+f(3-x)+f(4-x)
答案:
4人跟车
练习
10.流水线问题:
某种成批生产的产品,每件产品的装配有8道基本工序,每道工序所需时间见下表,流水线上有3个装配台,如何安排以缩短生产周期
工序
1
2
3
4
5
6
7
8
时间
3
4
2
2
2
3
5
2
各工序间的顺序如下图:
参考:
因为总时间为23分钟,所以生产周期应该不小于23/3,即8分钟。
看能否找到每个装配台的工作时间均小于8分钟的方案。
答案:
(2,3,5),(1,4,6),(7,8)
11.某城镇只有一条直的的街道,有A,B两家百货公司取得营业执照,A公司先选择了营业地点,然后轮到B,问A的营业点应选在什么地方?
分析:
假设街道顾客分布均匀,两家公司各项服务相同,街道总长为1.如图,
CD为街道:
D
假设A公司选择离C距离为x处,根据对称性x≤0.5.
公司B必选择公司A与点D之间,假设距离公司A距离为y,则公司B获得的营业区域为(1-x)-0.5y,y=0时,公司D获得营业区域最大,公司D的最佳选择必为距公司A为0处,此时公司A获得的营业区域为x,x=0.5时,公司A获得营业区域最大
12.假定购买一部汽车的费用为10000美元,在以后6年内的折价费为:
(5000;4000;2900;1700;1000;500)美元,每年运营费为:
(3000,3500;4000;4600;5200;6000)美元,求最优替换周期。
参考:
计算平均年费用如下:
(8000;6250;5867;5850;5860;5967)(如果考虑银行利率,则所有费用应折算成现值)
答案:
4年一换
13.某公司正考虑一台专用印刷机的更新。
该机器购价为10000元,根据过去的经验,对在8年期间所需维修费用的估算数字如下表:
年
1
2
3
4
5
6
7
8
维修费用(元)
290
480
925
1275
2470
4100
6000
7750
假定年利率为10%,试求印刷机的最佳更新周期。
参考:
设更新周期为T,算出各年费用的现值,再求总和平均。
答案:
6年
2.13个海盗将宝藏锁在保险箱内。
他们决定只有多方决定打开保险箱时,保险箱才能被开,温保险箱需上多少把锁,才能达到这种要求?
3.在城市A,B间的航班如下表,以城市A(B)为基地的乘务员而飞到B(A)的乘务员需乘当天的班机返回,乘务员达B(A)时间与从A(B)起飞时间相差至少为1.5小时,求所有乘务员最小逗留时间。
A→B
B→A
1
6:
00――8:
30
7:
30――9:
30
2
8:
15――10:
46
9:
15――11:
15
3
13:
30――16:
00
16:
30――18:
30
4
15:
00――17:
30
20:
00――22:
00
4.某工艺品厂一块矩形的石板中用截断的方式割出一块各边与原矩形平行的较
小的矩形石板.”截断切割”是指每次切割沿一条直线将石板切割成两块.假定切
割成本是0.2元/cm,试求成本最低的切割方法.
5.一怪兽在圆形池塘边上觅食,你正好位于池塘中央。
已知怪兽的速度是你游
泳速度的4倍,但是如果你在怪兽之前到达岸上的某一点,你将逃脱。
你能逃离
池塘吗?
6.某人在森林中迷路,地上有一路标,标明1公里外有一直路,但没指明方向。
问保证此人找到路的最短距离是多少?
7.某城镇只有一条圆形的街道,有A,B,C,D四家百货公司取得营业执照,A公司先选择了营业地点,然后轮到B,问B的营业点应选在什么地方?
8.三人过桥,A需10分钟,B需5分钟,C只需2分钟,现有一辆自行车,任何人骑自行车过桥只需1分钟。
问三人最短过桥时间为多少?
9.某部门组织了一项竞赛,有许多单位的选手参加了比赛,还聘请了数名评委。
本次竞
赛评比规则如下:
⑴为了公平性,评委对本单位选手不给分。
⑵每位评委对每位参赛选手(除本单位选手外)都必须打分,且不打相同分。
⑶评委打分方法为:
第一名记1分;第二名记2分;依次类推。
⑷比赛结束后,求出各选手的平均分,按平均分从低到高排序,依次确定本次竞赛的名次,即以平均分最低者为第一名,依次类推。
本次竞赛中,选手甲所在单位有一名评委,这位评委将不参加对选手甲的评判,其它选手没有类似情况。
比赛结束后选手甲觉得这种评比规则对他不公平。
问选手甲的抱怨是否有道理?
若不公平,能否作出修正解决选手甲的抱怨?
10.某职业中学某班有男生20名,女生28名,到劳动实践基地参加收割小麦的劳动,任务是必须在当天收割完
公顷小麦,并在尽可能大的地块面积上施肥。
已知男生一天可割麦
公顷或施肥
公顷;女生一天可割麦
公顷或施肥
公顷。
请设计分工方案,使收割任务能完成,并尽可能多的在地块上施肥。
.海上演习,军舰A,B,C同时接到命令须在最短的时间集结,已知相互间距为AB=100海里,CA=200海里,BC=220海里。
A,B,C的速度分别为15海里/小时,20海里/小时,12海里/小时求集结地点D.
11.某工厂要对一种产品制定今后四个时期的生产计划,据估计在今后四个时期内,市
场对于该产品的需求量如表所示,假定该厂生产每批产品的固定成本为3(千元),若
不生产为0;每单位产品成本为1(千元);每个时期生产能力所允许的最大生产批量
为不超过6个单位;每个时期末未售出的产品,每单位需存储费0.5(千元).还假定
在第一个时期的初始储存量为0,第四个时期之末的库存量也为0.试问如何安排各
个时期的生产与库存,才能在满足市场需要的条件下,使总成本最小.
时期
1
2
3
4
需求(单位)
2
3
2
4
.上海市出租车现行收费制度(6:
00~23:
00)为3公里起步价10元、每公里2元,并且10公里以上每公里3元。
一些精明的乘客在行驶一定里程后,利用换车或让司机重新计价的方法来节省车费。
可现在,这种乘客越来越少见了。
请问适当换车真的省钱吗?
1.有一块长为120厘米,宽为90厘米的矩形薄铁皮材料,现要剪一个长方体的展
开图,做一个长方体模型.求长方体体积的最大值.
参考:
设a,b,c分别是长方体的长,宽,高,a,b,c须满足:
2a+b
120及2a+2c
90
也可以是2a+b
90及2a+2c
120。
要保证体积最大,上述不等号可以取等号:
2a+b=120,且2a+2c=90,或2a+b=90,且2a+2c=120
abc=a(120-2a)(45-a)或a(90-2a)(60-a)
答案:
a=
2.物体p位于凸透镜焦点的外侧,求p到它的像q的距离的最小值。
参考:
由凸透镜成像公式
,由柯西不等式知:
3.已知某三角形的三边分别为:
2,3,4。
如下图所示:
求a+b+c的最小值。
参考:
图中的点为费马点
答案:
4.为使火车安全行驶,铁道转弯处的圆弧半径不得小于600米。
某段圆弧形铁路的两端相距156米,圆弧所对圆心角小于180°,求这段圆弧形铁路与两端连线所成弓形的高的范围。
参考:
设弓形高为x,圆弧半径为
答案:
不超过5.1米
.Fred养了白黄两种鸭子,非常不幸的是两种鸭子经常发生冲突。
他决定建两个大小相同的长方形鸭圈,如图示。
Fred有$400,篱笆售价为每英尺$2.00。
如何使得两鸭圈的面积和最大?
1.为使火车安全行驶,铁道转弯处的圆弧半径不得小于600米。
某段圆弧形铁路的两端相距156米,圆弧所对圆心角小于180°,求这段圆弧形铁路与两端连线所成弓形的高的范围。
答案:
不超过5.1米
2.Fred养了白黄两种鸭子,非常不幸的是两种鸭子经常发生冲突。
他决定建两个大小相同的长方形鸭圈,如图示。
Fred有$400,篱笆售价为每英尺$2.00。
如何使得两鸭圈的面积和最大?
3.中国民航的《国际旅客须知》中有关”计件免费行李额”中规定:
免费交运的行
李件数为两件,每件箱体三边之和不得超过1.58米,且两件之和不得超过2.73米.试问这两个箱子的长,宽,高各为多少可达到最大体积?
答案:
b=1.58/3
4.越江隧道内既是交通拥挤地段,又是事故易发地段,为了保证安全,交通部门规定,隧道内的车距d正比于速度(公里/小时)的平方与车身长(米)的积,且最小的车距不得少于半个车身长,假设车身长均为L(米),当车速为60(公里/小时)时,车距为1.44个车身长,在交通繁忙时,应规定怎样的车速,可是隧道的车流量最大?
答案:
v=50
5.新购某电器价值23千元,自使用之日至第n次大修共经过1800()天,
到大修之日必须大修之后才能使用。
每次大修的费用为2千元。
使用者宣布该电器报废仍可由厂家回收而售得3千元。
为了使开销与使用时间之比Q值最小,问使用者第几次大修时应宣布此电器已无大修必要而应报废售出?
答案:
n=3
6.一轮船行驶时,单位时间的燃料费与其速度的立方成正比,若轮船的速度为每小时10km 时,燃料费为每小时35元,其余费用不随速度而变化,每小时为560
元,求轮船速度为多少时,轮船行每千米的费用最少?
(20km/小时,42元/千米)
7.某汽车每小时耗油加仑数与时速(公里/小时)的关系:
1/2+v^2/1800.每加仑最多能跑多少公里?
8.大楼共有n层,现每层指派一人,共人集中到第k层开会.试问如何确定k,能使位参加会议人员上、下楼梯所走路程总和最小?
(假设相邻两层楼梯长都一样)
1.汽车位于点A,朝向垂直AB.不允许倒车,求汽车到达点B的最短路径.
参考:
假设汽车有最小的转弯半径r,汽车的大小相对于r,及A,B间的距离d可忽略不计。
如果d≥2r,如下图:
从A点出发作以r为半径的圆周运动,当该圆过汽车所在点的切线过点B时,汽车径直开向B
如果d<2r,如下图:
从A点出发径直开
然后作以r为半径的圆周运动,圆恰好过B
2.四条路形成宽为s的正方形ACDE.仓库B距离点A,C,D分别为:
5米,8米,13米.求仓库离路的最短距离.
参考:
将△ABC顺时针旋转90°,得到四边形ABCD,解四边形既可。
3.长方形钢板(厚度不计)可卷成钢管(如图),今需一个直径为1.4米,长为5
米的钢管,仓库内有两种尺寸的钢板:
2×5(m×m),2×6(m×m).问应用何种尺
寸的钢板各多少块才能焊成所要求的钢管?
说明切割及焊接方法
参考:
将其中一个“扭曲圈”展开,得到一平行四边形。
这个平行四边形的高正好是钢管的周长,另一方向的高,则是钢板的宽度。
由此可算出一圈所需钢板的长度。
4.有一截面为直角梯形的棱柱形液体容器,其尺寸如图示,内有体积为3/4La^2
的液体,现为减少液体蒸发,需将底面绕柱体的一条棱旋转一个角度θ(0<θ<π/6)使液面面积最小,试求出θ
参考:
该问题归结为截面面积一定,上水平线长度最小时的翻转角度大小。
5.帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行,试建立数学模型描述。
参考:
如图,α为风向与帆的夹角,β为船轴与帆的夹角
设帆布垂直于风时受力为F,则此时风对帆的作用力p’=Fsinα,p’在船轴方向的分力p=p’sinβ=Fsinαsinβ,这是船前进受到的推动力,假设船的航速v与p成正比例,则v=kFsinαsinβ(k为正比例系数),v在正北方向的分速度
=kFsinαsinβcos(α+β)
求
=kFsinαsinβcos(α+β)=0.5kF(cos(α-β)-cos(α+β))cos(α+β)
给定α+β=x,当α=β时
最大,
=0.5kF(1-cosx)cosx,当cosx=0.5,即
α=β=30º
.黄浦江江面宽为a,一艘艘宽度为b的轮船在江心由北向南以等速v直线行
驶,每艘轮船的船头到前一艘轮船的船尾的距离为c,一艘对江轮渡由浦东A
点出发驶向浦西岸边B点.求能以最小的等速沿直线安全到达对岸所需的时间.
(轮渡大小忽略不计)
.一台机器人的移动方式只能绕其两脚之一旋转.从绕一只脚旋转转换到另
一只脚旋转需要时间调整,调整时间相当于旋转10所需的时间.为避免调整次
数过多,规定每次绕一只脚旋转的角度必须为30,45或其整数倍.假设机器人
两脚中心距离为a,机器人标志在两脚连线的中点.现在机器人两脚处于离终点
线1.5a的起跑线上.问机器人应该如何移动可使其标志触到终点线所花的时
间最短?
并求所花的时间.(用相当于旋转的角度来表示).
.SNOOKER比赛,台面上只剩下粉球,且正好位于粉球点,母球正位于桌面正
中央,请选择最好击球角度(注:
台面长144inch宽72inch,粉球点在中线距底边34inch处)
.Topher和Sully来到一片雪林中砍圣诞树,好不容易砍到了满意的树,却迷了路,幸好找到一份地图。
地图显示他们位于一条(东西向)直线公路上某点的正北方向4英里处,而他们的家正好在该点的正东方向6英里处。
已知他们在雪地的速度为2英里每小时,在公路上的速度为3英里每小时,请设计回家路线。
.Santa需建立一水槽,如下图所示,水槽的长度为10米,截面为一等腰梯形(底长1米,腰长1米),求角度θ使得水槽体积最大。
.三个圆两两相切,半径分别为3,4,5,求中间阴影部分的面积。
.边长为1的正方形,沿经过中心的一直线对折,如下图,我们知道面积最小的折法是对折,求面积最大的折法。
.塔(高为a)AB的顶上有一长为b旗杆BC.某人位于地面上某点D,若使得角度∠BDC最大,求点D的位置。
.一幅长为b的画挂在墙上,倾角为q,画的底部离地面的高度为a,试确定观赏者的最佳位置。
.顾客买的匹萨放在2×2的方形托盘内,如果匹萨饼过大将边沿卷起,这部分重叠的匹萨将归于服务生,顾客订购多大的匹萨才能吃到最多的匹萨?
.阳光与水平面夹角为θ,求竹竿摆放的方法使得影子最长。
.屋顶倾斜角为多大时,雨水从屋顶留下的时间最短?
.给定一个三角形(顶角为60度),从顶角开始,在一边截取9厘米的线段,在另一边截取a厘米的线段,已知a比真实值长1厘米,但并没有改变两端点间的距离,求a.
.三角形底边长1米,另两边的比值为3:
2,求该三角形的最大高度。
.如图,罐头罐压扁器.求x与θ的关系.
.王子有两块长为10英尺的木板,他想用这两块木板架设简易的桥跨过护城河,城堡和护城河的形状如图示。
求护城河的最大宽度。
.三块边长为12的方布,覆盖了一方形的桌面,求桌面边长的最大值。
.某台球桌是一等边三角形,边长为1米。
一个球位于一个角,如图示。
如果击向对边的中点,球将一次弹回。
现希望球经过7次反弹正好弹回,求击球的角度。
.一块扁平的金属瓦,长1米,重2牛,长边沿着斜坡,静止放在光滑的木制屋顶上,屋顶与水平线成20度角。
瓦片与屋顶间的摩擦系数为0.5。
已知该瓦片的的膨胀系数为0.2,一昼夜温差为40度,试问瓦片的运动情况。
几何计算
.有一张长,宽分别为3a,2a的矩形硬纸,要求做一个有盖的圆柱模型.试求它的
体积,并说出它的材料利用率.
.一长方体的三棱长分别为a,b,c(a>b>c),现要由顶点A沿表面到对角顶点C’,求最短的路线。
.香烟盒的外形尺寸是:
88mm×58mm×22mm.试求10包香烟表面积最小的打包
方法.
.一根绳子均匀地绕在一圆棒上,正好四圈.圆棒截面周长为4cm,长度为12cm.
求绳长
.某厂要生产一批无盖的圆柱形桶,每个桶的容积为10立方米,用来做底的金
属每平方米30元,做侧面的金属每平方
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