高考数学理科一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案.docx
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高考数学理科一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案
高考数学(理科)一轮复习函数的奇偶性与周期性学案附答案
学案6 函数的奇偶性与周期性
导学目标:
1了解函数奇偶性、周期性的含义2会判断奇偶性,会求函数的周期3会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.自主梳理
1.函数奇偶性的定义
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有______________,则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有____________,则称f(x)为偶函数.
2.奇偶函数的性质
(1)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=____;
f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)=f(|x|)⇔f(x)-f(-x)=____
(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称;f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于________
对称.
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有________的单调性.
3.函数的周期性
(1)定义:
如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=________,则称f(x)为________函数,其中T称作f(x)的周期.若T存在一个最小的正数,则称它为f(x)的________________.
(2)性质:
①f(x+T)=f(x)常常写作f(x+T2)=f(x-T2).
②如果T是函数=f(x)的周期,则T(∈Z且≠0)也是=f(x)的周期,即f(x+T)=f(x).
③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1fx或f(x+a)=-1fx(a是常数且a≠0),则f(x)是以______为一个周期的周期函数.
自我检测
1.已知函数f(x)=(-1)x2+(-2)x+(2-7+12)为偶函数,则的值是( )
A.1B.2.3D.4
2.(2011•茂名月考)如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( )
A.增函数且最小值是-
B.增函数且最大值是-
.减函数且最大值是-
D.减函数且最小值是-
3.函数=x-1x的图象( )
A.关于原点对称
B.关于直线=-x对称
.关于轴对称
D.关于直线=x对称
4.(2009•江西改编)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=lg2(x+1),则f(-2012)+f(2011)的值为( )
A.-2B.-1.1D.2
.(2011•开封模拟)设函数f(x)=x+1x+ax为奇函数,则a=________探究点一 函数奇偶性的判定
例1 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=(x+1)1-x1+x;
(2)f(x)=x(12x-1+12);
(3)f(x)=lg2(x+x2+1);(4)f(x)=x2+x, x<0,-x2+x,x>0
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x2-x3;
(2)f(x)=x2-1+1-x2;
(3)f(x)=4-x2|x+3|-3
探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2 函数=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f
(1)=0,求不等式f[x(x-12)]<0的解集.
变式迁移2 (2011•承德模拟)已知函数f(x)=x3+x,对任意的∈[-2,2],f(x-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________.
探究点三 函数性质的综合应用
例3 (2009•东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=(>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________
变式迁移3 定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数转化与化归思想的应用
例 (12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
【答题模板】
解
(1)∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1),∴f
(1)=0[2分]
(2)令x1=x2=-1,有f
(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=12f
(1)=0[4分]
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.[6分]
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
f(16×4)=f(16)+f(4)=3,[7分]
∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,
即f((3x+1)(2x-6))≤f(64)[8分]
∵f(x)为偶函数,
∴f(|(3x+1)(2x-6|)≤f(64).[10分]
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)的定义域为D
∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64[11分]
解上式,得3<x≤或-73≤x<-13或-13<x<3
∴x的取值范围为{x|-73≤x<-13或-13<x<3或3<x≤}.[12分]
【突破思维障碍】
在(3)中,通过变换已知条,能变形出f(g(x))≤f(a)的形式,但思维障碍在于f(x)在(0,+∞)上是增函数,g(x)是否大于0不可而知,这样就无法脱掉“f”,若能结合
(2)中f(x)是偶函数的结论,则有f(g(x))=f(|g(x)|),又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0},这才能有|g(x)|>0,从而得出0<|g(x)|≤a,解之得x的范围.
【易错点剖析】
在(3)中,由f(|(3x+1)•(2x-6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中,如果思维不缜密,不能及时回顾已知条中函数的定义域中{x|x≠0},易出现0≤|(3x+1)(2x-6)|≤64,导致结果错误.1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题:
①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条;②f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.
2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式:
f(-x)=±f(x)⇔f(-x)±f(x)=0⇔f-xfx=±1(f(x)≠0).
3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性.
4.关于函数周期性常用的结论:
对于函数f(x),若有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1fx或f(x+a)=-1fx(a为常数且a≠0),则f(x)的一个周期为2a(满分:
7分)
一、选择题(每小题分,共2分)
1.(2011•吉林模拟)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值为( )
A.-13B13
12D.-12
2.(2010•银川一中高三年级第四次月考)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则fxx<0的解集为( )
A.(-3,0)∪(0,3)
B.(-∞,-3)∪(0,3)
.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,0)∪(3,+∞)
3.(2011•鞍月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=-1fx,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6)等于( )
A.4B.-4
.0D.-0
4.(2010•东)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( )
A.3B.1.-1D.-3
.设函数f(x)满足:
①=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则f(-1)与f
(2)大小关系是( )
A.f(-1)>f
(2)B.f(-1)<f
(2)
.f(-1)=f
(2)D.无法确定
题号1234
答案
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.(2010•辽宁部分重点中学月联考)若函数f(x)=x-1,x>0,a,x=0,x+b,x<0是奇函数,则a+b=________
7.(2011•咸阳月考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)满足f(x+3)=f(x),且f
(1)>1,f
(2)=2-3+1,则的取值范围是________.
8.已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f
(2)=2,则f(2010)的值为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)(2011•汕头模拟)已知f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]上是x的一次式,在[3,6]上是x的二次式,且当3≤x≤6时,f(x)≤f()=3,f(6)=2,求f(x)的表达式.
10.(12分)设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3)
(1)证明f(x)是偶函数;
(2)画出这个函数的图象;
(3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数;
(4)求函数的值域.
11.(14分)(2011•舟调研)已知函数f(x)=x2+ax(x≠0,常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.
答案自主梳理
1.f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)
2.
(1)0 0
(2) 原点 (3)相反
3.
(1)f(x) 周期 最小正周期
(2)③2a
自我检测
1.B [因为f(x)为偶函数,所以奇次项系数为0,即-2=0,=2]
2.A [奇函数的图象关于原点对称,对称区间上有相同的单调性.]
3.A [由f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称.]
4. [f(-2012)+f(2011)=f(2012)+f(2011)=f(0)+f
(1)=lg21+lg2(1+1)=1]
.-1
解析 ∵f(-1)=0,∴f
(1)=2(a+1)=0,
∴a=-1代入检验f(x)=是奇函数,故a=-1
堂活动区
例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法.
(1)定义法:
用函数奇偶性的定义判断.(先看定义域是否关于原点对称).
(2)图象法:
f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数;f(x)的图象关于轴对称,则f(x)为偶函数.
(3)基本函数法:
把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式,通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性.
解
(1)定义域要求≥0且x≠-1,
∴-1<x≤1,∴f(x)定义域不关于原点对称,
∴f(x)是非奇非偶函数.
(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
∵f(-x)=-x
=-x=
==f(x).
∴f(x)是偶函数.
(3)函数定义域为R
∵f(-x)=lg2(-x+x2+1)
=lg21x+x2+1=-lg2(x+x2+1)
=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
(4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
当x<0时,-x>0,则
f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x);
当x>0时,-x<0,则
f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x).
∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=-f(x).
故f(x)为奇函数.
变式迁移1 解
(1)由于f(-1)=2,f
(1)=0,f(-1)≠f
(1),f(-1)≠-f
(1),从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,又f(-1)=f
(1)=0,f(-1)=-f
(1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
(3)由4-x2≥0|x+3|≠3得,f(x)定义域为[-2,0)∪(0,2].
∴定义域关于原点对称,
又f(x)=4-x2x,f(-x)=-4-x2x
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式.解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”.
在关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反.
解 ∵=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,
∴=f(x)在(-∞,0)上单调递增,
且由f
(1)=0得f(-1)=0
若f[x(x-12)]<0=f
(1),
则xx-12>0xx-12<1即0<x(x-12)<1,
解得12<x<1+174或1-174<x<0
若f[x(x-12)]<0=f(-1),则xx-12<0xx-12<-1
由x(x-12)<-1,解得x∈∅
∴原不等式的解集是
{x|12<x<1+174或1-174<x<0}.
变式迁移2 (-2,23)
解析 易知f(x)在R上为单调递增函数,且f(x)为奇函数,故f(x-2)+f(x)<0,等价于f(x-2)<-f(x)=f(-x),此时应用x-2<-x,即x+x-2<0对所有∈[-2,2]恒成立,令h()=x+x-2,
此时,只需h-2<0h2<0即可,解得x∈(-2,23).
例3 解题导引 解决此类抽象函数问题,根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质,画出函数的一部分简图,使抽象问题变得直观、形象,有利于问题的解决.
-8
解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程f(x)=(>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1<x2<x3<x4由对称性知x1+x2=-12,x3+x4=4,所以x1+x2+x3+x4=-12+4=-8变式迁移3 B [∵f(x)=f(2-x),∴f(x+1)=f(1-x).
∴x=1为函数f(x)的一条对称轴.又f(x+2)=f[2-(x+2)]
=f(-x)=f(x),
∴2是函数f(x)的一个周期.
根据已知条画出函数简图的一部分,如右图:
由图象可以看出,在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.]
后练习区
1.B [依题意得a-1=-2ab=0,∴a=13b=0,
∴a+b=13]
2.D [由已知条,可得函数f(x)的图象大致为右图,故fxx<0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).]
3.D [由f(x+2)=-1fx,
得f(x+4)=-1fx+2=f(x),那么f(x)的周期是4,得f(6)=f
(2).因为f(x)是偶函数,则f
(2)=f(-2)=f
(1).而1≤x≤2时,f(x)=x-2,
∴f
(1)=-0由上知:
f(6)=-0]
4.D [因为奇函数f(x)在x=0有定义,所以f(0)=20+2×0+b=b+1=0,b=-1
∴f(x)=2x+2x-1,f
(1)=3,
从而f(-1)=-f
(1)=-3]
.A [由=f(x+1)是偶函数,得到=f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(-1)=f(3).
又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数,
∴f(3)>f
(2),即f(-1)>f
(2).]
6.1
解析 ∵f(x)是奇函数,且x∈R,∴f(0)=0,即a=0又f(-1)=-f
(1),∴b-1=-(1-1)=0,即b=1,因此a+b=1
7.-1<<23
解析 ∵f(x+3)=f(x),∴f
(2)=f(-1+3)=f(-1).
∵f(x)为奇函数,且f
(1)>1,
∴f(-1)=-f
(1)<-1,∴2-3+1<-1
解得:
-1<<23
8.2
解析 由g(x)=f(x-1),得g(-x)=f(-x-1),
又g(x)为R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x),
∴f(-x-1)=-f(x-1),
即f(x-1)=-f(-x-1),
用x+1替换x,得f(x)=-f(-x-2).
又f(x)是R上的偶函数,∴f(x)=-f(x+2).
∴f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4
∴f(2010)=f(4×02+2)=f
(2)=2
9.解 由题意,当3≤x≤6时,设f(x)=a(x-)2+3,
∵f(6)=2,∴2=a(6-)2+3∴a=-1
∴f(x)=-(x-)2+3(3≤x≤6).…………………………………………………………(3分)
∴f(3)=-(3-)2+3=-1
又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0
∴一次函数图象过(0,0),(3,-1)两点.
∴f(x)=-13x(0≤x≤3).…………………………………………………………………(6分)
当-3≤x≤0时,-x∈[0,3],
∴f(-x)=-13(-x)=13x
又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-13x
∴f(x)=-13x(-3≤x≤3).………………………………………………………………(9分)
当-6≤x≤-3时,3≤-x≤6,
∴f(-x)=-(-x-)2+3=-(x+)2+3
又f(-x)=-f(x),∴f(x)=(x+)2-3
∴f(x)=x+2-3, -6≤x≤-3,-13x-3<x<3,…………………………………………………………12分-x-2+3,3≤x≤6
10.解
(1)f(-x)=(-x)2-2|-x|-1
=x2-2|x|-1=f(x),
即f(-x)=f(x).∴f(x)是偶函数.………………………………………………………(2分)
(2)当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,
当x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,
即f(x)=x-12-2, x≥0,x+12-2,x<0
根据二次函数的作图方法,可得函数图象如下图.
……………………………………(6分)
(3)由
(2)中函数图象可知,函数f(x)的单调区间为[-3,-1],[-1,0],[0,1],[1,3].
f(x)在区间[-3,-1]和[0,1]上为减函数,在[-1,0],[1,3]上为增函数.……………(8分)
(4)当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2;
当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2;
故函数f(x)的值域为[-2,2].……………………………………………………………(12分)
11.解
(1)当a=0时,f(x)=x2对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),
有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),
∴f(x)为偶函数.…………………………………………………………………………(2分)
当a≠0时,f(x)=x2+ax(x≠0,常数a∈R),
若x=±1时,则f(-1)+f
(1)=2≠0;
∴f(-1)≠-f
(1),又f(-1)≠f
(1)
∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.……………………………………………(6分)
综上所述,当a=0时,f(x)为偶函数;
当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.………………………………………………………(7分)
(2)设2≤x1<x2,
f(x1)-f(x2)=x21+ax1-x22-ax2
=x1-x2x1x2[x1x2(x1+x2)-a],………………………………………………………………(10分)
要使f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,必须使f(x1)-f(x2)<0恒成立.
∵x1-x2<0,x1x2>4,即a<x1x2(x1+x2)恒成立.………………………………………(12分)
又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16,
∴a的取值范围为(-∞,16].…………………………………………………………(14分)
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