初二数学竞赛试题及答案一.doc
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初二数学竞赛试题及答案一.doc
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初二数学竞赛试题及答案一
(说明:
本卷可使用计算器,考试时间120分钟,满分120分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1、使成立的条件是( )
A、ab>0 B、ab>1 C、ab≤0 D、ab≤1
2、某商品的标价比成本价高p%,当该商品降价出售时,为了不亏损成本,售价的折扣(即降价的百分数)不得超过d%,则d可用p表示为( )
A、 B、p C、 D、
3、有一种足球由32块黑白相间的牛皮缝制而成,
黑皮为正五边形,白皮为正六边形,且边长都相等,
则白皮的块数是( )
A、22 B、20 C、18 D、16
4、某个班的全体学生进行短跑、跳高、铅球三个项目的测试,
有5名学生在这三个项目的测试中都没有达到优秀,
其余学生达到优秀的项目、人数如下表:
短跑
跳高
铅球
短跑、跳高
跳高、铅球
铅球、短跑
短跑、跳高、铅球
17
18
15
6
6
5
2
则这个班的学生总数是()
A、35 B、37 C、40 D、48
5、甲、乙、丙三个学生分别在A、B、C三所大学学习数学、物理、化学中的一个专业,若:
①甲不在A校学习;②乙不在B校学习;③在B校学习的学数学;④在A校学习的不学化学;⑤乙不学物理,则( )
A、甲在B校学习,丙在A校学习B、甲在B校学习,丙在C校学习
C、甲在C校学习,丙在B校学习D、甲在C校学习,丙在A校学习
6、已知:
a、b是正数,且a+b=2,则的最小值是()
A、 B、 C、 D、
二、填空题(每小题5分,共30分)
7、已知2x=a,3x=t,则24x=(用含a,t的代数式表示)
8、已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点F在BC上,
则点F到另外两边的距离和是
9、已知,则代数式的值为
10、如图,正方形ABCD的面积为256,
点F在AD上,点E在AB的延长线上,
直角△CEF的面积为200,则BE= .
11、把7本不同的书分给甲、乙两人,
甲至少要分到2本,乙至少要分到1本,
两人的本数不能只相差1,则不同的分法共有 种.
12、如果用两个1,两个2,两个3,两个4,要求排成具有以下特征的数列:
一对1之间正好有一个数字,一对2之间正好有两个数字,一对3之间正好有三个数字,一对4之间正好有四个数字,请写出一个正确答案 .
三、解答题(每小题15分,共60分)
13、某商店有A种练习本出售,每本零售为0.30元,一打(12本)售价为3.00元,买10打以上的,每打还可以按2.70元付款.
(1)初二
(1)班共57人,每人需要1本A种练习本,则该班集体去买时,最少需要付多少元?
(2)初三年级共227人,每人需要1本A种练习本,则该年级集体去买时,最少需付多少元?
14、请观察式子
1×2×3×4+1=52
2×3×4×5+1=112
3×4×5×6+1=192
……
(1)猜想20000×20001×20002×20003+1=( )2
(2)请写出一个具有普遍性的结论,并给出证明.
15、如图:
四边形ABCD中,AD=DC,∠ABC=30°,
∠ADC=60°.试探索以AB、BC、BD为边,
能否组成直角三角形,并说明理由.
16、设四位数是一个完全平方数,且,求这个四位数.
[参答]
1、C2、C3、B
4、C5、A6、A
7、a3t8、4.89、2004
10、1211、4912、41312432或23421314
13、
(1)可买5打或4打9本,前者需付款3.00×5=15.00,后者只需付款3.00×4+0.3×9=14.7元.故该班集体去买时,最少需付14.7元.
(2)227=12×18+11,可买19打或18打加11本,前者需付款2.70×19=51.3;后者需付款2.70×18+0.3×11=51.9元,比前者还要多付0.6元.故该年级集体去买,最少需付51.3元.
14、
(1)400060001
(2)对于一切自然数n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2.证略
故20000×20001×20002×20003+1=(200002+3×20000+1)2.
=4000600012
15、证明:
以BC为边作等边△BCE,连结AE、AC.
因为∠ABC=30°,∠CBE=60°,所以∠ABE=90°,
所以AB2+BE2=AE2①,AD=DC,∠ADC=60°,
所以△ADC是等边三角形.
因为在△DCB和△ACE中,DC=AC,
∠DCB=∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB=∠ACE,
而BC=CE,所以△DCB≌△ACE,所以BD=AE,
而BC=BE,由①式,得BD2=AB2+BC2
16、设,则32≤m≤99.
又设,则. 于是100(2x+1)+x=m2,201x=m2-100
即67×3x=(m+10)(m-10).
由于67是质数,故m+10与m-10中至少有一个是67的倍数.
(1)若m+10=67k(k是正整数),因为32≤m≤99,
则m+10=67,即m=57.
检验知572=3249,不合题意,舍去.
(2)若m-10=67k(k是正整数),则m-10=67,m=77.
所以,929.
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