有限元试题及答案[1].doc
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有限元试题及答案[1].doc
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一、如图所示的1D杆结构,试用取微单元体的方法建立起全部基本方程和边界条件,并求出它的所有解答。
注意它的弹性模量为E、横截面积A
解:
如图1.1所示的1D杆结构,其基本变量为
位移
应变
应力
取微单元体,其应力状态如图1.2,由泰勒展开式知
略去2阶以上的商阶微量知
由力的平衡知:
即力的平衡方程为:
①
位移由图1.3知(泰勒展开,略去商阶微量)
即几何方程为:
②
根据虎克定律知③
由①、②、③知该1D杆的基本方程为
在节点1时位移:
在节点2时应力:
即其边界条件为on
on
由①式知④
④代入③解得:
⑤
、为待定系数
结合边界条件知
解知得,
∴
二、设平面问题中的应力问题
其中(1、2、………9)为常数,令所有体积力为零,对下面特殊情况说明平衡是否满足?
为什么?
或者之间有什么关系才满足平衡。
(1)除,,外,其余为零。
(2)
(3)
(4)所有均为非零。
解:
对于此平面问题,由力的平衡方程(体积力为零):
可以得出
(1)当除,,外,其余为零时,,平衡方程成立,故此情况下平衡。
(2)当时,、并不一定为零,此情况下平衡方程并不一定成立,故此情况下不满足平衡,只有在时,才满足平衡。
(3)当时,平衡方程成立,故此情况下满足平衡。
(4)所有均为非零时,只有当,时,平衡方程才成立,才能够满足平衡,否则不平衡。
三、下列应力分布是否满足平衡条件(体积力为零),(2D平面应力问题),描述就如图所示平面结构,该应力函数所表示时得边界应力。
解:
根据力得平衡方程(体积力为零时)
知
上两个等式成立,即平衡方程成立,即此情况满足平衡条件。
其边界应力,
,
,
作图如下:
故边界下应力如图2.2所示:
其边界得剪应力如图2.3所示:
四、如图所示已知,,(平面应力问题)
求:
(1)斜面上应力,的表达式
(2)最大主应力,最小主应力及此时斜面的方向余弦。
解:
(1)由力的平衡知(设厚度为t)
..........①
..........②
又......③
由①③知........④
由②知.......⑤
④+⑤知
整理得........⑥
④-⑤整理得:
.......⑦
(2)由⑥知:
∴.........⑧
⑧式中,
为的函数,对⑧式两边进行求导,并令可得:
........⑨
对⑦式进行化简可得........⑩
⑨代入⑩中可得,即在所在斜面上确定得正应力即最大或最小主应力。
由⑧化简:
.........(11)
由⑨知
两边平面化简可得.........(12)
由⑨还知:
........(13)
(12)、(13)代入(11)可得时的:
∴最大主应力
最小主应力
由⑨式知
∴
∴
五、分别就下列情形,写出所有基本方程(分量形式,指标形式),各基本变量(分量形式、指标形式及对应关系)。
(1)1D情形
(2)2D情形
(3)3D情形
解:
1D情形
a、基本变量
分量形式:
;;
指标形式:
;;()
对应关系:
;;
b、基本方程
分量形式:
(体积力)
指标形式()
(2)2D情形
a、基本变量
分量形式
、、
、、
指标形式(1,2)
(=1,2)
(=1,2)
对应关系,
,,
b、基本方程
分量形式
几何变形方程
材料物理方程
或
指标形式:
力平衡方程
几何变形方程
材料物理方程
或
(3)3D情形
a、基本变量
分量形式
指标形式
对应关系:
,,
,,
,,,
,,
,,
b、基本方程
分量形式
力平衡方程
几何变形方程
材料的物理方程
指标形式
力平衡方程
几何变形方程
材料物理方程或()
六、分别给出平面应力平面应变状态下的前提条件及表达式,推导两种情况下的物理方程,以及它们之间转换关系。
解:
①前提条件:
1.平面应力:
设有很薄的厚度薄板,所受力在(xoy)平面且不随之变化,则在板内外表面有:
,,
由于板很薄:
可以近似认为在整个板内外有:
,=0,=0
所有力学变量都是,函数,不随变化即,,()
基本变量为、,、、,、、
2.平面应变:
设有一根无限长等截面柱形体,所承受外载不随变化,任一截面都为对称面,则有:
,=0,,
所有变量都是、的函数,不随变化。
则,,()
基本变量为:
、,、、,、、
②表达式
平面应力和平面应变的平衡方程和几何方程一样,均为:
平衡方程
几何方程
物理方程:
(a)平面应力:
由已知条件知,由3D物理方程组知
解得
(b)平面应变由已知条件已知,由3D物理方程组知
同理
即
(c)两者之间的关系
比较平面应力和平面应变的物理方程可以看出,若将平面应力问题物理方程中的换成,换成,则可得到平面应变问题的物理方程。
七、一立方块放在同样大小的刚性盒内,上面用刚性盖密封后均匀压力为q,方块与盒盖之间无摩擦力,设施力方向为z轴,盒的侧面方向为x轴和y轴,求方块的应力,,和应变。
设立方块的弹性模量为,泊松比为。
由已知条件知立方块在刚性的盒内,在x,y两方向不会产生位移。
即应变。
由物理方程知:
BC(p):
解以上关系可得
八、证明1、受纯剪单元体应变能为
证明2、指标形式下与分量形式下应变能计算公式的对用关系为
证明3、纯弯梁应变能的表达式为:
证明1:
对于受纯剪单元体情形下的应力分量如图8.1所示。
此状态的力学基本变量为:
我们首先研究一对剪应力与剪应变,如图8.2所示,设上只作用和。
同理可得
所以由与作用下,在微体上产生能量为:
证明2:
若证明等式成立,必须首先证明
又因分解后见下表。
∴
又因
证明3、如图所示纯弯梁
梁的厚度很薄,外载沿厚度方向无变化,其中性层为y层,梁长为,弹性模量为E,基本变量为:
位移(对中性层)
应力(为主应力,其方向很小,不考虑)
应变(为主要应变,中性层取微段莱推导三大方程)
如图所示8.4所示力的平衡:
几何方程:
由变形后的几何关系可知
其中y为距中性层坐标,为挠度曲率。
即
由虎克定律知物理方程为:
整理上述方程得知下基本方程组
故纯弯梁的应变能:
九、如图所示为1个1D拉压问题
(1)写出描写该问题的所有基本变量
(2)写出所有基本方程,包括BC
(3)写出应变能,外力功
(4)写出最小势能原理的一般表达式(1D问题)
(5)证明(4)(即该原理与原基本方程的关系)
解
(1)基本变量
位移
应力
应变
(2)基本方程
平衡方程
几何方程
物理方程
BC():
BC(p):
由平衡方程得知(待定)
由几何方程得知(待定)
由BC()知
由BC(p)知
∴
(3)应变能
外力功
(4)最小势能一般表达式(1D问题)
(5)证明对于拉压杆的问题,其体积力,外力
∴
将物理方程代入,将化成,的函数
…①
将几何方程代入,并利用Gauss-Green公式有
又因总的边界条件,考虑许可位移场的性质(它满足位移边界条件,其边界微分增量为0,即,所以
根据最小势能原理,对系统势能取极值,令,则
在Sp和上,其有任一性,故若使则必须
即为力的平衡方程和力的边界条件。
对①式进一步求导,则,故由确定的使势能取极值。
由以上推导可知,满足位移边界条件的试函数,在满足几何方程和物理方程前提下,当势能取最小时,其结果可精确满足剩下的平衡方程和力的边界条件。
十、就1D杆单元
节点位移(局部坐标下)
节点位移(整体坐标下)
(1)写出和之间的关系
(2)将该单元的位移场、应力场、应变场用整体坐标系下的节点位移q来表示。
(3)推导出基于整体坐标下的刚度矩阵。
解:
(1)如图所示:
∴
其中
(2)在局部坐标下,设位移场模式(有两个节点)为:
(,待定)
由边界位移知
解之,知:
,
∴
其中
∴
其中
在整体坐标系下有
(3)系统的势能为:
=
其中,K为刚度矩阵
十一、就2D纯弯梁单元,节点位移(局部),节点位移(整体),写出和之间的转换关系。
解:
由图可知
∴
其中,
十二、简述有限元分析的基本步骤和相对应的基本表达式
解:
(1)物体几何离散化
,为具有特征的单元。
(2)单元研究,(所有力学信息均用节点位移来表达)
单元节点描述单元的位移场模式(唯一确定性原则,完备性原则)
所有物理量表达(所有力学量都用节点位移来表达)
其中,
单元的平衡关系
(3)装配集成
整体平衡关系
其中,,,
(4)处理BC并解节点位移
其中,为未知节点位移,为已知节点位移,为未知节点力,为已知节点力
由上式写成两个方程:
直接求出未知节点位移
(5)求支反力
在求出后,即可求出支反力
(6)其它力学计算
计算单元&整体的应变及应力,即:
十三、就线性弹性平面问题,写出一下表达式
(1)三大类型基本方程(分量或指标形式)并指明自变量。
(2)两类边界条件(分量或指标形式)
(3)对离散单元,写出用单元节点位移表示位移场的表达式
(4)对于离散单元,写出用单元节点位移表示单元应变场的表达式
(5)对于离散单元,写出用单元节点位移表示单元应力场的表达式
(6)对于离散单元,写出用单元节点位移表示单元应变能的表达式
(7)对于离散单元,写出用单元节点位移表示单元外力功的表达式
(8)对于离散单元,写出用单元节点位移表示单元势能的表达式
(9)对于离散单元,写出用总体节点位移表示单元总势能的表达式
(10)对于离散单元,写出用总体节点位移表示的刚度矩阵
解:
(1)平衡方程
几何方程
物理方程
其中,,,,,,,为自变量
(2)位移边界条件on
力的边界条件on
外法线的方向余弦
(3)
(4)
(5)
(6)其中
(7)
(8)
(9)
(10)
其中
十四、推导杆单元的形状函数、几何矩阵、应力矩阵、及刚度矩阵
解:
如图所示的杆单元
已知其弹性模量,面积,杆长为
设有两个端点,其端点位移,节点力
由于两个节点,故设其位移场待定
由于位移边界条件知
解之知
所以:
所以,其形态函数矩阵
又因
所以几何矩阵
又
所以其应力矩阵
单元的势能为:
其刚度矩阵为:
十五、如图所示,为一由两根杆组成的结构(二杆分别沿X,Y)方向,结构参数
试写成下列FEM分析
(1)写出各单元的刚度矩阵
(2)写出总刚度矩阵
(3)求出节点2的位移
(4)求各单元应力
解:
(1)由题意知,该系统分为单元①和杆单元②,其节点为
由杆单元的刚度矩阵
可知,对于杆单元①:
,刚度矩阵为
对于单元②,
(2)总的
(3)由刚度矩阵方程
其中:
而,
,
∴
∴
∴
(4)对于单元①
对于单元②
十六、设有一弹性平面问题,厚度为,弹性模量为,泊松比,对于如图所示的三节点单元。
已知几何矩阵为
物理(弹性)矩阵为
试求出(推导)该三节点的刚度矩阵。
解:
该三节点的刚度矩阵为
十七、对于不考虑体积力的平面弹性问题,试证明由位移表达的平衡方程为:
其中分别为方向位移,为泊松比。
证明:
对于平面应力弹性问题,在不考虑体积力时,其力的平衡方程为:
几何方程为:
物理方程为:
把(3)、(4)、(5)代入(6)、(7)(8)可得:
把(9)、(11)代入
(1)中可得:
把(10)、(11)代入
(2)中可得:
即:
十八、说明单元刚度矩阵中每个元素的特殊意义。
解:
以1D节点单元为例,其刚度方程为
令,则
即表示要使单元第点产生位移(=1),而且它点固定时,需要在第点所施加的力。
如图18。
2所示
十九、在处理位移约束前,为什么整体刚度矩阵时奇异的。
解:
设一个单元在受现同外载时存在着两种刚体位移,即
()
则
(1)——
(2)可得
因,要使(3)式由非零解的条件是
所以在处理位移约束前单元刚度矩阵是奇异的。
即
二十、用最下势能原理推导弹性问题的平衡方程:
式中
证明:
对于弹性问题,其节点位移为
根据位移模式简单性、完备性、连续性和准确定性原则。
设,根据节点位移条件可知,为形状函数矩阵。
由几何方程知
其中——几何矩阵
由物理方程知
——弹性系数矩阵
所以单元的势能
——体积力矩阵,——外力矩阵
由最小势能原理知
∴
即为力的平衡方程
其中
二十一、如图所示,三角构件以坐标系表示的刚度矩阵如下:
试建立以,,及,,来表示的刚度方程。
解:
由原来刚度矩阵知;第二行与第三行变换,第二列与第三列交换:
节点位移坐标变化为:
其中变化矩阵
,
∴整个坐标下的刚度矩阵(以表示)为:
整体坐标系下的节点力
∴刚度方程为:
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