微分方程的基础知识及解析解.docx
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微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识及解析解
微分方程的基础知识与练习
(一)微分方程基本概念:
首先通过一个具体的问题来给出微分方程的基本概念。
(1)一条曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这条曲线的方程。
解设曲线方程为yy(x).由导数的几何意义可知函数yy(x)满足ddyx2x
(1)
dx
同时还满足以下条件:
x1时,y2
(2)
把
(1)式两端积分,得
y2xdx即yx2C(3)
其中C是任意常数。
把条件
(2)代入(3)式,得
C1,
由此解出C并代入(3)式,得到所求曲线方程:
yx21(4)
(2)列车在水平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度
0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?
解设列车开始制动后t秒时行驶了s米。
根据题意,反映制动阶段列车运
动规律的函数ss(t)满足:
d2s
20.4dt2
(5)
此外,还满足条件:
t
0时,s0,vds20dt
(6)
(5)式两端积分一次得:
ds0.4tC1
dt1
v
(7)
再积分一次得
s0.2t2C1tC2
8)
其中C1,C2都是任意常数
把条件“t0时v20”和“t0时s0”分别代入(7)式和(8)式,得
C120,C20
把C1,C2的值代入(7)及(8)式得
(9)
10)
v0.4t20,
s0.2t220t
在(9)式中令v0,得到列车从开始制动到完全停止所需的时间:
20
0.4
50(s)。
再把t5代入(10)式,得到列车在制动阶段行驶的路程
2
s0.25022050500(m).
上述两个例子中的关系式
(1)和(5),(6)都含有未知函数的导数,它们都是微分方程。
1.微分方程的概念
一般地,凡含有未知函数、未知函数的导数及自变量的方程,叫做微分方程。
未知函数是一元函数的方程叫做常微分方程;未知函数是多元函数的方程,叫做偏微分方程。
我们只研究常微分方程。
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫做微分方程的阶。
例如,方程
(1)是一阶微分方程;方程(5)是二阶微分方程方程。
又如,方程
y44y'''10y''12y'5ysin2x是四阶微分方程。
般地,n阶微分方程的形式是
(n)
其中F是个n2变量的函数。
这里必须指出,在方程(11)中,y(n)是必须出现的,而
x,y,y',...,y(n1)等变量则可以不出现。
例如n阶微分方程
y(n)10
中,除y(n)外,其他变量都没有出现。
由前面的例子我们看到,在研究某些实际问题时,首先要建立微分方程,然后找出满足微分方程的函数,就是说,找出这样的函数,把这函数代入微分方程能使该方程成为恒等式。
这个函数就叫做该微分方程的解。
例如,函数(3)和(4)都是微分方程
(1)的解;函数(8)和(10)都是微分方程(5)的解。
如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解。
例如,函数(3)是方程
(1)的解,它含有一个任意常数,而方程
(1)是一阶的,所以函数(3)是方程
(1)的通解。
又如,函数(8)是方程的解,它含有两个任意常数,而方程(5)是二阶的,所以函数(8)是方程(5)的通解。
由于通解中含有任意常数,所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性,必须确定这些常数的值。
为此,要根据问题的实际情况提出确定这些常数的条件。
例如,例1中的条件
(2),例2中的条件(6),便是这样的条件。
设微分方程中的未知函数为yy(x),如果微分方程是一阶的,通常用来确定任意常数的条件是
xx0时,yy0,
或写成y|xx0y0
其中x0,y0都是给定的值;如果微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是:
xx0时,yy0,y'y1
或写成y|xx0y0,y'|xx0y1其中x0,y0和y1都是给定的值。
上述条件叫做初始条件。
确定了通解中的任意常数以后,就得到了微分方程的特解。
例如(4)式是方程
(1)满足条件
(2)的特解;(10)式是方程(5)满足条件(6)的特解。
求微分方程y'f(x,y)满足初始条件y|x
x0
y0的特解这样一个问
题,叫做一阶微分方程的初值问题,记作
y'f(x,y),y|xx0y0.
13)
二阶微分方程的初值问题是
y''f(x,y,y'),y|xx0y0,y'|xx0y1
3、例题
例1验证:
函数
xC1cosktC2sinkt
14)
是微分方程
d22xk2x0
dt2
15)
的解。
求出所给函数
14)的导数dxdt
kC1sinktkC2coskt,
d2x
dt2
2
kC1coskt
22
kC2sinktk(C1cosktC2sinkt)
把ddt2x及x的表达式代入方程(
15)得
22
k2(C1cosktC2sinkt)+k2(C1cosktC2sinkt)0
14)是微
函数(14)及其导数代入方程(15)后成为一个恒等式,因此函数(
分方程(15)的解。
用程序来实现:
>>symsktC1C2;
>>x=C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t);
>>diff(x,t,2)+k^2*xans=k^2*(C1*cos(k*t)+C2*sin(k*t))-C1*k^2*cos(k*t)-C2*k^2*sin(k*t)>>simple(ans)
(二)微分方程的解一、几个会用到的函数:
1、solve函数:
Matlab中solve函数主要是用来求解线性方程组的解析解或者精确解。
solve函数的语法定义主要有以下四种:
solve(‘eq')
solve(‘eq',‘var')
solve(‘eq1','eq2',⋯eq,n'')
g=solve(‘eq1',‘eq2',⋯eq,n'',‘var1',‘var2',⋯va,rn‘')
eq代表字符串形式的方程,var代表的是变量。
例1:
解方程ax2bxc0
程序是:
symsabcx;
solve('a*x^2+b*x+c')(也可写成solve('a*x^2+b*x+c=0'))当没有指定变量的时候,matlab默认求解的是关于x的解,求解的结果为:
ans=
-(b+(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)
-(b-(b^2-4*a*c)^(1/2))/(2*a)d
当指定变量为b的时候:
solve('a*x^2+b*x+c','b')
求解的结果为:
ans=-(a*x^2+c)/xs=-(a*x^2+c)/x
例2:
对于方程组xy1的情况
x11y5
S=solve('x+y=1','x-11*y=5');
S.x
S.y
>>S=[S.x,S.y](这里或者写成x=S.xy=S.y)如果解得是一个方程组,而且采用了形如[a,b]=solve(a+b=1,2a-b=4ab)的格式,那么,在MATLABR2014a中没问题,可以保证输出的a,b就等于相应的解,但是在R2012b等早先版本中不能保证输出的顺序就是你声明变量时的顺序。
所以最好采用g=solve(a+b=1,2a-b=4ab)这种单输出格式,这样输出的是一个结构体,g.a和g.b就是对应的解。
S=[4/3,-1/3]
一、微分方程的解析解格式:
dsolve(方‘程1',方‘程2',⋯方‘程n',初‘始条件',自‘变量')记号:
在表达微分方程时,用字母D表示求微分,D2y、D3y等表示求高阶微分.
任何D后所跟的字母为因变量,自变量可以指定或由系统规则选定为确省,默认自变量是t例如,微分方程d2y0应表达为:
D2y=0.
dx2
dx
求解本问题的Matlab程序为:
symsxy%line1
y=dsolve('Dy+2*x*y=x*exp(-x^2)','x')%line2
diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)%line3
simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2))%line4
例1:
求解微分方程dy2xyxex,并加以验证.
说明:
(1)行line1是用命令定义x,y为符号变量.这里可以不写,但为确保正确性,建议写上;
(2)行line2是用命令求出的微分方程的解:
1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*C1
(3)行line3使用所求得的解.这里是将解代入原微分方程,结果应该为0,
但这里给出:
-x^3*exp(-x^2)-2*x*exp(-x^2)*C1+2*x*(1/2*exp(-x^2)*x^2+exp(-x^2)*
C1)
(4)行line4用simplify()(simple())函数对上式进行化简,结果为0,表明yy(x)的确是微分方程的解.
例2:
先求微分方程xy'yex0的通解,再求在初始条件y
(1)2e下的特解,并画出特解函数的图形.
求解本问题的Matlab程序为:
symsxy
y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','x')
结果y=
(exp(x)+C1)/x
求特解两个方法
1.y=dsolve('x*Dy+y-exp(x)=0','y
(1)=2*exp
(1)','x')
结果y=
(exp(x)+exp
(1))/x
2.C1=solve('2*exp
(1)=exp
(1)+C1','C1')
结果C1=exp
(1)
y=(exp(x)+exp(-x^2)
结果(exp(x)+exp
(1))/x
ezplot(y)
dx
例3:
求微分方程组dt
5xy
dy
dt
x3y
在初始条件x|t01,y|t00下的特解,
并画出解函数的图形.求解本问题的Matlab程序为:
symsxyt
a=dsolve('Dx+5*x+y=exp(t)','Dy-x-3*y=0','x(0)=1','y(0)=0','t');
x=a.x
y=a.ysimple(x);
simple(y);
ezplot(x,y,[0,1.3]);axisauto%坐标刻度选默认值例4先求微分方程的通解,再求微分方程的特解
d22y4dy29y0
dx2dx
y(0)0,y'(0)15
程序是:
dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')ans=(3*sin(5*x))/exp(2*x)
例5求微分方程组的通解
dx
dt
dy
dt
dz
dt
2x
3y
3z
4x
5y
3z
4x
4y
2z
程序是:
A=dsolve('Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z','t');
>>x=A.x
y=A.y
z=A.z
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- 微分方程 基础知识 解析