《高等数学》同济六教学课件★第9章多元函数微分法及其应用21.ppt
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第六节复习目录上页下页返回结束一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用第九章复习复习:
平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因机动目录上页下页返回结束一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法机动目录上页下页返回结束位置.空间光滑曲线在点M处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.点击图中任意点动画开始或暂停1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况切线方程切线方程机动目录上页下页返回结束此处要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:
称为曲线的切向量切向量.如个别为0,则理解为分子为0.机动目录上页下页返回结束不全为0,因此得法平面方程法平面方程说明说明:
若引进向量函数,则为r(t)的矢端曲线,处的导向量就是该点的切向量.例例1.求圆柱螺旋线对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解解:
由于对应的切向量为在机动目录上页下页返回结束,故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点,且有时,可表示为处的切向量为机动目录上页下页返回结束则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或机动目录上页下页返回结束也可表为法平面方程法平面方程机动目录上页下页返回结束例例2.求曲线在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.切线方程解法解法1令则即切向量机动目录上页下页返回结束法平面方程即机动目录上页下页返回结束解法解法2.方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,2,1)处有:
切向量解得切线方程即法平面方程即点M(1,2,1)处的切向量机动目录上页下页返回结束二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则在且点M的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:
此平面称为在该点的切平面切平面.机动目录上页下页返回结束上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.证:
机动目录上页下页返回结束在上,得令由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.曲面在点M的法向量法向量法线方程法线方程切平面方程切平面方程复习目录上页下页返回结束曲面时,则在点故当函数法线方程法线方程令特别特别,当光滑曲面的方程为显式在点有连续偏导数时,切平面方程切平面方程机动目录上页下页返回结束法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦:
方向余弦:
表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习目录上页下页返回结束例例3.求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:
所以球面在点(1,2,3)处有:
切平面方程切平面方程即法线方程法线方程法向量令机动目录上页下页返回结束例例4.确定正数使曲面在点解解:
二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面机动目录上页下页返回结束,因此有1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结机动目录上页下页返回结束切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2)一般式情况.机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面曲面在点法线方程法线方程1)隐式情况.的法向量法向量切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线机动目录上页下页返回结束空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量机动目录上页下页返回结束思考与练习思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示提示:
设切点为则机动目录上页下页返回结束(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:
在曲面上任意取一点则通过此2.设f(u)可微,第七节目录上页下页返回结束证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为1.证明曲面与定直线平行,证证:
曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.的所有切平面恒备用题备用题机动目录上页下页返回结束2.求曲线在点(1,1,1)的切线解解:
点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:
法平面:
即与法平面.机动目录上页下页返回结束第九章第七节第七节一、方向导数一、方向导数机动目录上页下页返回结束二、梯度二、梯度三、物理意义三、物理意义方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义:
若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数方向导数.在点处沿方向l(方向角为)存在下列极限:
机动目录上页下页返回结束记作记作定理定理:
则函数在该点沿任意方向沿任意方向l的方向导数存在,证明证明:
由函数且有在点P可微,得机动目录上页下页返回结束故机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,)的方向导数为特别特别:
当l与x轴同向当l与x轴反向向角例例1.求函数在点P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.机动目录上页下页返回结束解解:
向量l的方向余弦为例例2.求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解解:
将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为机动目录上页下页返回结束例例3.设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:
方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束二、梯度二、梯度方向导数公式令向量这说明方向:
f变化率最大的方向模:
f的最大变化率之值方向导数取最大值:
机动目录上页下页返回结束1.定义定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明说明:
函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线),机动目录上页下页返回结束称为函数f的等值线等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式机动目录上页下页返回结束例例4.证证:
试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场(数性函数)场向量场向量场(矢性函数)可微函数梯度场梯度场(势)如:
温度场,电位场等如:
力场,速度场等(向量场)注意注意:
任意一个向量场不一定是梯度场.机动目录上页下页返回结束例例5.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证证:
利用例4的结果这说明场强:
处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.方向导数方向导数三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度梯度三元函数在点处的梯度为二元函数在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l上的投影.思考与练习思考与练习1.设函数
(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;
(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度梯度与
(1)中切线方切线方向向的夹角.机动目录上页下页返回结束曲线1.
(1)在点解答提示解答提示:
机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束备用题备用题1.函数在点处的梯度解解:
则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研考研)机动目录上页下页返回结束指向B(3,2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A2.函数提示提示:
则(96考研考研)机动目录上页下页返回结束第九章第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值机动目录上页下页返回结束多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、一、多元函数的极值多元函数的极值定义定义:
若函数则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如:
在点(0,0)有极小值;在点(0,0)有极大值;在点(0,0)无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.的某邻域内有机动目录上页下页返回结束说明说明:
使偏导数都为0的点称为驻点.例如,定理定理1(必要条件)函数偏导数,证证:
据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.取得极值,取得极值取得极值但驻点不一定是极值点.有驻点(0,0),但在该点不取极值.且在该点取得极值,则有存在故机动目录上页下页返回结束时,具有极值定理定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:
1)当A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数机动目录上页下页返回结束例例1.1.求函数解解:
第一步第一步求驻点求驻点.得驻点:
(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步判别判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数机动目录上页下页返回结束在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;机动目录上页下页返回结束例例2.讨论函数及是否取得极值.解解:
显然(0,0)都是它们的驻点,在(0,0)点邻域内的取值,因此z(0,0)不是极值.因此为极小值.正正负负0在点(0,0)并且在(0,0)都有可能为机动目录上页下页返回结束二、最值应用问题二、最值应用问题函数f在闭域上连续函数f在闭域上可达到最值最值可疑点驻点边界上的最值点特别特别,当区域内部最值存在,且只有一个只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大大)(大大)依据机动目录上页下页返回结束例例33.解解:
设水箱长,宽分别为x,ym,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?
因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱所用材料最省.机动目录上页下页返回结束例例4.有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成解解:
设折起来的边长为xcm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大.为问怎样折法才能使断面面机动目录上页下页返回结束令解得:
由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求.机动目录上页下页返回结束三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:
条件极值:
条件极值的求法:
方法方法1代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如,转化机动目录上页下页返回结束方法方法2拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法1所述,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设记例如例如,故故有机动目录上页下页返回结束引入辅助函数辅助函数F称为拉格朗日(Lagrange)函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动目录上页下页返回结束推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可疑点.例如例如,求函数下的极值.在条件机动目录上页下页返回结束例例5.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解解:
设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省?
的长方体开口水箱,试问机动目录上页下页返回结束得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的2倍时,所用材料最省.因此,当高为机动目录上页下页返回结束思考思考:
1)当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何?
提示提示:
利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价最省,应如何设拉格朗日函数?
长、宽、高尺寸如何?
提示提示:
长、宽、高尺寸相等.内容小结内容小结1.函数的极值问题函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题函数的条件极值问题
(1)简单问题用代入法如对二元函数
(2)一般问题用拉格朗日乘数法机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步第二步判别判别比较驻点及边界点上函数值的大小根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题函数的最值问题在条件求驻点.机动目录上页下页返回结束已知平面上两定点A(1,3),B(4,2),试在椭圆圆周上求一点C,使ABC面积S最大.解答提示解答提示:
设C点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习则机动目录上页下页返回结束设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知,点C与E重合时,三角形面积最大.点击图中任意点动画开始或暂停机动目录上页下页返回结束备用题备用题1.求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者.解解:
设内接三角形各边所对的圆心角为x,y,z,则它们所对应的三个三角形面积分别为设拉氏函数解方程组,得故圆内接正三角形面积最大,最大面积为机动目录上页下页返回结束为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件?
提示提示:
目标函数目标函数:
约束条件约束条件:
答案答案:
即四边形内接于圆时面积最大.2.求平面上以机动目录上页下页返回结束*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明机动目录上页下页返回结束二元函数的泰勒公式第九章一、二元函数的泰勒公式一、二元函数的泰勒公式一元函数的泰勒公式:
推广多元函数泰勒公式机动目录上页下页返回结束记号记号(设下面涉及的偏导数连续):
一般地,机动目录上页下页返回结束表示表示定理定理11.的某一邻域内有直到n+1阶连续偏导数,为此邻域内任一点,则有其中称为f在点(x0,y0)的n阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.机动目录上页下页返回结束证证:
令则利用多元复合函数求导法则可得:
机动目录上页下页返回结束一般地,由的麦克劳林公式,得将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.机动目录上页下页返回结束说明说明:
(1)余项估计式.因f的各n+1阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界M,则有机动目录上页下页返回结束
(2)当n=0时,得二元函数的拉格朗日中值公式:
(3)若函数在区域D上的两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上机动目录上页下页返回结束例例1.求函数解解:
的三阶泰勒公式.因此,机动目录上页下页返回结束其中机动目录上页下页返回结束时,具有极值二、极值充分条件的证明二、极值充分条件的证明的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:
1)当A0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理定理2(充分条件)机动目录上页下页返回结束证证:
由二元函数的泰勒公式,并注意则有所以机动目录上页下页返回结束其中其中,是当h0,k0时的无穷小量,于是
(1)当ACB20时,必有A0,且A与C同号,可见,从而z0,因此机动目录上页下页返回结束从而z0,
(2)当ACB20时,若A,C不全为零,无妨设A0,则时,有异号;同号.可见z在(x0,y0)邻近有正有负,机动目录上页下页返回结束+若AC0,则必有B0,不妨设B0,此时可见z在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB20时,若A0,则若A0,则B0,为零或非零机动目录上页下页返回结束此时因此第十节目录上页下页返回结束不能断定(x0,y0)是否为极值点.第九章*第十节第十节问题的提出问题的提出:
已知一组实验数据求它们的近似函数关系yf(x).需要解决两个问题:
1.确定近似函数的类型根据数据点的分布规律根据问题的实际背景2.确定近似函数的标准实验数据有误差,不能要求机动目录上页下页返回结束最小二乘法最小二乘法偏差有正有负,值都较小且便于计算,可由偏差平方和最小为使所有偏差的绝对来确定近似函数f(x).最小二乘法原理最小二乘法原理:
设有一列实验数据分布在某条曲线上,通过偏差平方和最小求该曲线的方法称为最小二乘法最小二乘法,找出的函数关系称为经验公式经验公式.,它们大体机动目录上页下页返回结束特别,当数据点分布近似一条直线时,问题为确定a,b令满足:
使得解此线性方程组即得a,b称为法方程组机动目录上页下页返回结束例例1.为了测定刀具的磨损速度,每隔1小时测一次刀具的厚度,得实验数据如下:
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式.解解:
通过在坐标纸上描点可看出它们大致在一条直线上,列表计算:
故可设经验公式为(P67例1)27.026.826.526.326.125.725.324.80123456701234567机动目录上页下页返回结束得法方程组解得故所求经验公式为0027.0074924.8137.628140208.5717.0机动目录上页下页返回结束为衡量上述经验公式的优劣,计算各点偏差如下:
称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动目录上页下页返回结束偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.0000.1250.0180.1890.0030.0210.0860.0930.200称为均方误差,对本题均方误差它在一定程度上反映了经验函数的好坏.机动目录上页下页返回结束偏差平方和为27.026.826.526.326.125.725.324.80123456727.12526.51825.91125.30326.82126.21425.60725.0000.1250.0180.1890.0030.0210.0860.0930.200例例2.在研究某单分子化学反应速度时,得到下列数据:
57.641.931.022.716.612.28.96.5369121518212412345678其中表示从实验开始算起的时间,y表示时刻反应物的量.试根据上述数据定出经验公式(P70例2)解解:
由化学反应速度的理论知,经验公式应取其中k,m为待定常数.对其取对数得(线性函数)(书中取的是常用对数)机动目录上页下页返回结束因此a,b应满足法方程组:
经计算得解得:
所求经验公式为其均方误差为机动目录上页下页返回结束观测数据:
用最小二乘法确定a,b通过计算确定某些经验公式类型的方法通过计算确定某些经验公式类型的方法:
机动目录上页下页返回结束
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- 高等数学 同济 教学 课件 多元 函数 微分 及其 应用 21