数理金融学第7章连续时间金融初步:期权定价.ppt
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数理金融学数理金融学第第7章章连续时间金融初步:
连续时间金融初步:
期权定价期权定价7.1期权(期权(Option)期权是一种选择权,它表示在特定的时间,以特期权是一种选择权,它表示在特定的时间,以特定的价格交易某种一定金融资产的权利。
期权交定的价格交易某种一定金融资产的权利。
期权交易就是易就是“权钱交易权钱交易”。
期权交易同任何金融交易一样,都有买方和卖方,期权交易同任何金融交易一样,都有买方和卖方,但这种买卖的划分并不建立在商品和现金的流向但这种买卖的划分并不建立在商品和现金的流向基础上。
它是以权利的获得和履行为划分依据的。
基础上。
它是以权利的获得和履行为划分依据的。
期权的买方就是支付期权费(期权的买方就是支付期权费(Optionpremium)的一方,在他支付了期权费之后,即获得了能以的一方,在他支付了期权费之后,即获得了能以确定的时间、价格、数量和品种买卖合约的权利。
确定的时间、价格、数量和品种买卖合约的权利。
2/11/202427.1.1期权合约的概念期权合约的概念
(1)定义)定义期权合约(期权合约(Optioncontracts)是期货合约的一个发展,)是期货合约的一个发展,它与期货合约的区别在于期权合约的买方有权利而没它与期货合约的区别在于期权合约的买方有权利而没有义务一定要履行合约,而期货合约双方的权利和义有义务一定要履行合约,而期货合约双方的权利和义务是对等的。
务是对等的。
(2)基本术语)基本术语行权价格(行权价格(Strikeprice):
是买卖标的资产):
是买卖标的资产(Underlyingasset)的价格。
它在合约有效期内是固)的价格。
它在合约有效期内是固定不变的,而且它不一定就是资产的市价,可以高于定不变的,而且它不一定就是资产的市价,可以高于或低于市价,当然也可能恰好相等。
或低于市价,当然也可能恰好相等。
2/11/20243期权费(期权费(Optionpremium):
期权买方付的购买期权的):
期权买方付的购买期权的费用,也就是买卖权利的价格。
买入方支付期权费,既可费用,也就是买卖权利的价格。
买入方支付期权费,既可购买买权,也可购入卖权,同理,卖出方收取期权费,既购买买权,也可购入卖权,同理,卖出方收取期权费,既可出售看涨期权,也可出售看跌期权。
可出售看涨期权,也可出售看跌期权。
到期日(到期日(Maturitydate)约定的实施期权日期。
过期作废,)约定的实施期权日期。
过期作废,一般合约有效期不超过一年,以三个月较为普遍。
例外:
一般合约有效期不超过一年,以三个月较为普遍。
例外:
长期股权期权(长期股权期权(Long-termequitysecurities,LEAPS)数量(数量(Amount):
以股票为例,每份期权合约代表可交):
以股票为例,每份期权合约代表可交易易100股股票的权利,但执行价格却是按每股标出。
股股票的权利,但执行价格却是按每股标出。
2/11/20244标的资产(标的资产(Underlyingasset):
期权多方在支付期期权多方在支付期权费后有权购买或出售的合约中规定的资产。
如权费后有权购买或出售的合约中规定的资产。
如股票期权的标的资产就是股票。
股票期权的标的资产就是股票。
结算(结算(Settlement)。
期权交易是通过经纪人在市。
期权交易是通过经纪人在市场上竞价实现的,这经纪人就是期权清算公司,场上竞价实现的,这经纪人就是期权清算公司,它是每笔期权交易的中间人,是所有买方的卖方它是每笔期权交易的中间人,是所有买方的卖方和所有卖方的买方。
期权清算公司采用电脑清算和所有卖方的买方。
期权清算公司采用电脑清算每一笔合约,并为其提供担保。
如某个期权卖方每一笔合约,并为其提供担保。
如某个期权卖方不履行义务,公司则必须代为履约,因此,期权不履行义务,公司则必须代为履约,因此,期权无信用风险。
无信用风险。
2/11/202457.1.2期权合约的种类期权合约的种类
(1)按权利分类)按权利分类买权或看涨期权(买权或看涨期权(Calloption):
看涨期权的:
看涨期权的多头方有权在某一确定时间以某一确定价格购多头方有权在某一确定时间以某一确定价格购买标的资产,但无履约义务。
一旦多方决定履买标的资产,但无履约义务。
一旦多方决定履约,空头必须出售资产。
约,空头必须出售资产。
卖权或看跌期权(卖权或看跌期权(Putoption):
多头方有权:
多头方有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产,在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产,但无履约义务。
空头方只有履约义务。
但无履约义务。
空头方只有履约义务。
注意:
这里看涨和看跌是以多头的收益来命名注意:
这里看涨和看跌是以多头的收益来命名的。
的。
2/11/20246看涨期权看涨期权看跌期权看跌期权多头:
多头:
买了买了以一定价格以一定价格购买购买某种资某种资产的权利,希望标的资产价格上涨产的权利,希望标的资产价格上涨空头:
空头:
卖了卖了以一定价格以一定价格购买购买某种某种资产的权利,希望标的资产价格资产的权利,希望标的资产价格下跌。
因为下跌多方不会履约,下跌。
因为下跌多方不会履约,则空头赚取期权费。
则空头赚取期权费。
多头多头:
买了买了以一定价格以一定价格出售出售某种资某种资产的权利,希望标的资产价格下跌。
产的权利,希望标的资产价格下跌。
空头:
空头:
卖了卖了以一定价格以一定价格出售出售某种资某种资产的权利。
希望标的资产价格上升,产的权利。
希望标的资产价格上升,因为价格上升多方不会履约,则空因为价格上升多方不会履约,则空头赚取期权费。
头赚取期权费。
期期权权2/11/20247
(2)按合约是否可以提前执行()按合约是否可以提前执行(Settlement)欧式期权(欧式期权(Europeanoption):
只有在到期日那天才):
只有在到期日那天才可以实施的期权。
可以实施的期权。
美式期权(美式期权(Americanoption):
有效期内任一交易日):
有效期内任一交易日都可以实施的期权。
都可以实施的期权。
问题:
若其他条件相同,那种期权的期权费更高?
问题:
若其他条件相同,那种期权的期权费更高?
(3)按标的资产()按标的资产(Underlyingasset)分类)分类权益期权:
股票期权、股指期权。
权益期权:
股票期权、股指期权。
固定收益期权:
利率期权、货币期权。
固定收益期权:
利率期权、货币期权。
金融期货期权:
股指期货期权,将期货与期权结合在金融期货期权:
股指期货期权,将期货与期权结合在一起。
一起。
2/11/20248例例1:
清华同方股票期权(欧式):
清华同方股票期权(欧式)2001年年1月月1日,投资者日,投资者A向向B购买购买未来未来6个月内个月内交割的,以每股交割的,以每股35元的价格元的价格购买购买清华同方股票清华同方股票的的权利(看涨期权)权利(看涨期权),共,共10份合约,份合约,100股为股为标准合约单位,该期权的总价格为标准合约单位,该期权的总价格为500元,即元,即每股期权费为每股期权费为0.5元。
元。
概念辩析:
概念辩析:
2001年年1月月1日为合约生效日,这里日为合约生效日,这里35元为行权价格,每股期权费为元为行权价格,每股期权费为0.5元,元,2001年年6月月30日为到期日,也是执行日。
日为到期日,也是执行日。
A是多头,是多头,B是空头。
是空头。
2/11/20249操作步骤:
操作步骤:
1.2001年年1月月1日合约生效,投资者日合约生效,投资者A必须向必须向B付出付出500元。
元。
因此,不论未来的价格如何,因此,不论未来的价格如何,A的成本是的成本是500元。
元。
2.如果如果6月月30日股票的价格高于日股票的价格高于35元,则元,则A行权。
那么,行权。
那么,A还要再付出还要再付出35000元购买股票,由于股票价格高于其元购买股票,由于股票价格高于其成本,那么他马上将股票抛售就能获利。
成本,那么他马上将股票抛售就能获利。
问题问题1:
若:
若5月月20日清华同方宣布它的股票以日清华同方宣布它的股票以1:
10的比例进行分割,该期权合约条款是否应该调整的比例进行分割,该期权合约条款是否应该调整?
问题问题2:
如果预期清华同方在合约有效期内现金:
如果预期清华同方在合约有效期内现金分红,是否对期权价格构成影响?
分红,是否对期权价格构成影响?
2/11/202410u如果到期日股票价格为如果到期日股票价格为45元,则多方的利润元,则多方的利润是多少?
空方损失多少?
是多少?
空方损失多少?
9500u如果到期日股票价格为如果到期日股票价格为30元,则多方的损失元,则多方的损失为?
空方获利多少?
为?
空方获利多少?
5002/11/202411例例2:
投资者:
投资者A购买清华同方股票看跌期权(欧式)购买清华同方股票看跌期权(欧式)合约生效日:
合约生效日:
2001年年1月月1日日有效期:
有效期:
6个月个月期权费:
期权费:
0.5元元/股股合约数量:
合约数量:
10份份标准合约单位:
标准合约单位:
100股股执行价(行权价):
执行价(行权价):
35元元/股股问题:
问题:
如果如果6月月30日清华同方股价低于日清华同方股价低于34.8元,元,A是否行权?
是否行权?
假设假设6月月30日的价格为日的价格为33.5元,元,A将获利将获利1000元,元,A如何如何才能获得这才能获得这1000元?
元?
2/11/202412因为因为
(1)A必须持有股票必须持有股票1000股,才能在将来行权时出股,才能在将来行权时出售给售给B,因此,因此,A原先有原先有1000股。
股。
(2)假设假设6月月30日的价格为日的价格为33.5元,元,A行权,则以行权,则以35元的价格向元的价格向B出售出售1000股股票,获得股股票,获得35000元。
元。
(3)A花花33500元购买元购买1000股股票,剩余股股票,剩余1500元,元,扣除扣除500元的期权费,元的期权费,A就获得就获得1000元。
元。
(4)现在,)现在,A拥有拥有1000股股票加股股票加1000元现金的资产,元现金的资产,显然显然A获利获利1000元。
元。
2/11/202413看涨期权的风险与收益关系看涨期权的风险与收益关系STRSTR图中:
何为多方、何为空方?
图中:
何为多方、何为空方?
看跌期权的风险与收益关系看跌期权的风险与收益关系7.1.3期权的风险与收益期权的风险与收益2/11/202414看涨期权多看涨期权多头的收益头的收益STXCt,若若STXCt,若若STX其中,其中,ST是到期日是到期日T标的资产的价格;标的资产的价格;X是执行价格是执行价格,Ct和和Pt分别是分别是t时刻看涨时刻看涨期权期权和看跌期权的期权费。
和看跌期权的期权费。
看跌期权多看跌期权多头的收益头的收益XSTPt,若,若STXPt,若若STX2/11/202415总结总结看涨期权的损益(看涨期权的损益(Profit&Loss)
(1)多头方:
多头方:
Rclmax(0,ST-X)-Ct
(2)空头方:
空头方:
RcsCt-max(0,ST-X)看跌期权的损益看跌期权的损益
(1)多头方:
)多头方:
Rplmax(0,X-ST)-Pt
(2)空头方:
空头方:
RpsPt-max(0,X-ST)2/11/2024167.1.4期权的投资策略期权的投资策略
(1)保护性看跌期权()保护性看跌期权(Protectiveput)同等数量的标的资产同等数量的标的资产多头多头与看跌期权与看跌期权多头多头构成构成的组合。
的组合。
组合价值至少是组合价值至少是X-Pt,最大是,最大是ST-Pt问题:
保护性看跌期权的投资策略是否违反问题:
保护性看跌期权的投资策略是否违反“风险与收益风险与收益对等对等”原则?
原则?
STXSTX股票多头股票多头STST看跌期权多头看跌期权多头X-ST-Pt-Pt总计总计X-PtST-Pt2/11/202417保护性看跌期权的特征保护性看跌期权的特征对于该组合的多方而言,其损失是有限的,而对于该组合的多方而言,其损失是有限的,而理论收益无限理论收益无限双重目的双重目的在标的资产下跌时减少损失在标的资产下跌时减少损失不影响标的资产上升时的获利机会不影响标的资产上升时的获利机会所以,它对资产具有保护作用,因此,要所以,它对资产具有保护作用,因此,要付出保护费!
付出保护费!
2/11/202418
(2)抛补的看涨期权()抛补的看涨期权(Coveredcall):
标:
标的资产多头看涨期权空头。
的资产多头看涨期权空头。
抛补抛补期权空头方将来交割标的资产的期权空头方将来交割标的资产的义务正好被手中的资产抵消。
义务正好被手中的资产抵消。
STXSTX股票多头股票多头STST看涨期权空头看涨期权空头Ct-(ST-X)Ct总计总计STCtXCt组合的最大价值是组合的最大价值是XCt,最小为,最小为Ct。
2/11/202419抛补看涨期权的收益特征抛补看涨期权的收益特征在获得期权费的同时,放弃了标的资产价格上在获得期权费的同时,放弃了标的资产价格上涨可能带来的获利机会。
涨可能带来的获利机会。
问题:
投资者希望到问题:
投资者希望到期日标的资产市价超过期日标的资产市价超过X,还是低于,还是低于X?
(基?
(基于于“机会(沉没)成本机会(沉没)成本”的分析)的分析)若投资者手中拥有股票若投资者手中拥有股票100元,则他可以设置一个执行价元,则他可以设置一个执行价格为格为110元的看涨期权空头,期权费元的看涨期权空头,期权费3元。
若价格为到期元。
若价格为到期日资产价格为日资产价格为105元,则投资者获利元,则投资者获利8元。
反之,若股票元。
反之,若股票价格低于价格低于100元呢?
元呢?
n投资策略:
尽可能设置高的执行价格投资策略:
尽可能设置高的执行价格X。
2/11/202420(3)对敲()对敲(Straddle),又称骑墙或者跨坐组),又称骑墙或者跨坐组合:
合:
对敲多头组合:
同时对敲多头组合:
同时买进买进具有相同执行价格具有相同执行价格与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌期权。
(期权费可能不等?
)期权。
(期权费可能不等?
)STXSTX看涨期权多头看涨期权多头-CtST-X-Ct看跌期权多头看跌期权多头X-STPtPt总计总计X-ST-Ct-PtST-X-Ct-Pt2/11/202421RSTRXST00RXST02/11/2024222/11/202423对敲组合多头的收益特征对敲组合多头的收益特征损失有限:
若标的资产价格损失有限:
若标的资产价格=执行价格,则执行价格,则损失最大损失最大(理论)收益无限:
收益随标的资产价格(理论)收益无限:
收益随标的资产价格的上升或下降而增加。
的上升或下降而增加。
问题:
对敲组合多头适用于什么样的市场问题:
对敲组合多头适用于什么样的市场条件?
条件?
当投资者预期标的资产的价格会有较大的波动,当投资者预期标的资产的价格会有较大的波动,且无法判断其方向时。
且无法判断其方向时。
例如一家企业成为兼并收购的目标时。
例如一家企业成为兼并收购的目标时。
2/11/2024247.1.5期权与金融工程期权与金融工程金融工程(金融工程(Financialengineering)包括包括创创新新型金融工具与金融手段的设计、开发与型金融工具与金融手段的设计、开发与实施,以及对金融问题给予实施,以及对金融问题给予创造创造性的解决。
性的解决。
运用期权与标的股票以及无风险债券构造运用期权与标的股票以及无风险债券构造资产组合(资产组合(Portfolio),),可以得到与某些可以得到与某些金融工具有完全相同的损益特征(即金融工具有完全相同的损益特征(即模仿模仿金融工具金融工具),也可以),也可以合成金融工具合成金融工具,例如:
,例如:
可转换债券。
可转换债券。
2/11/202425实例:
模仿股票(实例:
模仿股票(themimickingstock)模仿股票是一个买权多头和一个卖权空头模仿股票是一个买权多头和一个卖权空头的组合。
的组合。
假设假设t时刻,股票买权和卖权的价格分别是时刻,股票买权和卖权的价格分别是ct和和pt,两个期权的执行价格都是两个期权的执行价格都是XSt(t时刻股票的价格),到期日股票价格为时刻股票的价格),到期日股票价格为ST。
则到期日的收益为则到期日的收益为R=max(0,ST-X)-max(0,X-ST)-(ct-pt)=ST-X-ctpt=ST-St-ctpt2/11/202426股票股票模仿股票模仿股票模仿股票与实际股模仿股票与实际股票还是有所区别!
票还是有所区别!
2/11/2024277.1.6期权的作用与本质期权的作用与本质
(1)套期保值()套期保值(Hedge)利用期权损益的不对称性可以对资产进行保值。
利用期权损益的不对称性可以对资产进行保值。
期权的多头方相当于购买了一个保险,期权费期权的多头方相当于购买了一个保险,期权费相当于保险费。
相当于保险费。
例:
假设例:
假设A公司的股票当前价格为每股公司的股票当前价格为每股60元,元,投资者投资者B估计股票估计股票A将上涨。
投资者要购买将上涨。
投资者要购买10000股的股票(股的股票(10份期权合约)。
那么,他份期权合约)。
那么,他有两个策略可以选择。
有两个策略可以选择。
2/11/202428策略策略1:
B直接购买直接购买10,000股股票,总投资股股票,总投资600,000元;元;策略策略2:
B买入执行价格为买入执行价格为60元的看涨期权,假设元的看涨期权,假设期权费为期权费为3元元/股,总投资股,总投资30000元。
元。
两种策略比较:
两种策略比较:
若若A公司的股票大幅上涨,上涨越多二者的获利越趋向公司的股票大幅上涨,上涨越多二者的获利越趋向于相同(虽然策略要付出期权费,但策略于相同(虽然策略要付出期权费,但策略1的投资额大的投资额大大多于策略大多于策略2,要付出利息),要付出利息)。
若股票大幅下跌,策略若股票大幅下跌,策略2的损失锁定为的损失锁定为30000元,策略元,策略1的损失却是无法预期的。
的损失却是无法预期的。
2/11/202429
(2)高杠杆)高杠杆(Leverage)的投资的投资例例4:
公司股票现价为:
公司股票现价为60元元/股,其未来股,其未来3个到期的看涨期权的期权费为个到期的看涨期权的期权费为2元元/股,若股,若预期到期日的股票价格为预期到期日的股票价格为63元,投资者持元,投资者持有有6000元,则两种投资策略下的损益为:
元,则两种投资策略下的损益为:
购买股票获利购买股票获利300元,利润率:
元,利润率:
5;购买;购买30份份期权合约(期权合约(100股股/份)获利份)获利3000元,利润率:
元,利润率:
50%。
若股票价格下跌到若股票价格下跌到61元,期权投资亏损元,期权投资亏损6000元,股票亏损元,股票亏损100元。
元。
期权投资是赌博?
期权投资是赌博?
2/11/202430(3)期权的本质)期权的本质时间价值时间价值期权的购买者买到的是:
降低未来不确定性的期权的购买者买到的是:
降低未来不确定性的保险。
保险。
期权空头方给予多头方一段时间,使其能够进期权空头方给予多头方一段时间,使其能够进一步利用所获得的新的信息,降低对未来预期一步利用所获得的新的信息,降低对未来预期中的不确定程度,从而做出更加合理的决策。
中的不确定程度,从而做出更加合理的决策。
投资:
时间价值的交易投资:
时间价值的交易风险的交易。
风险的交易。
引申:
由于时间的单向性,时间是最宝贵的资引申:
由于时间的单向性,时间是最宝贵的资源:
义务源:
义务=献出时间,权利献出时间,权利=得到时间。
得到时间。
2/11/202431练习题练习题1.假设有两个标的资产和到期日相同的看涨假设有两个标的资产和到期日相同的看涨期权期权1和和2,期权,期权1的执行价格和期权费分的执行价格和期权费分别是别是95元和元和7元,期权元,期权2的执行价格和期权的执行价格和期权费分别是费分别是105元和元和3元。
元。
若某投资者买入两个期权若某投资者买入两个期权1,同时卖出,同时卖出1个期权个期权2,形成一个期权投资组合,请计,形成一个期权投资组合,请计算该组合的损益算该组合的损益?
(分别用分段函数和图(分别用分段函数和图来表示)。
来表示)。
2/11/202432练习题练习题2.假设某股票当前的市场价格为假设某股票当前的市场价格为100元,以元,以该价格作为执行价格买权和卖权分别为该价格作为执行价格买权和卖权分别为7元和元和3元。
投资者选择以下两种投资策略元。
投资者选择以下两种投资策略I.通过股票市场以通过股票市场以100元价格买入该股票;元价格买入该股票;II.通过期权市场构造模仿股票。
通过期权市场构造模仿股票。
如何模仿?
请列出二者的损益,并分析如何模仿?
请列出二者的损益,并分析其投资效率(投入产出比)?
其投资效率(投入产出比)?
2/11/2024337.2Black-Scholes期权定价模型概述期权定价模型概述Black、Scholes和和Merton发现了看涨期权发现了看涨期权定价公式,定价公式,Scholes和和Merton也因此获得也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖年的诺贝尔经济学奖模型基本假设模型基本假设8个个无风险利率已知,且为一个常数,不随时间变无风险利率已知,且为一个常数,不随时间变化。
化。
标的股票不支付红利标的股票不支付红利期权为欧式期权期权为欧式期权2/11/202434无交易费用:
股票市场、期权市场、资金借贷无交易费用:
股票市场、期权市场、资金借贷市场市场投资者可以自由借贷资金,且二者利率相等,投资者可以自由借贷资金,且二者利率相等,均为无风险利率均为无风险利率股票交易无限细分,投资者可以购买任意数量股票交易无限细分,投资者可以购买任意数量的标的股票的标的股票对卖空没有任何限制对卖空没有任何限制标的资产为股票,其价格标的资产为股票,其价格S的变化为几何布朗的变化为几何布朗运动运动2/11/202435B-S模型证明思路模型证明思路ITO引理引理ITO过程过程B-S微分方程微分方程B-S买权定价公式买权定价公式2/11/2024367.3维纳过程维纳过程根据有效市场理论,股价、利率和汇率具根据有效市场理论,股价、利率和汇率具有随机游走性,这种特性可以采用有随机游走性,这种特性可以采用Wienerprocess,它是,它是Markovstochasticprocess的一种。
的一种。
对于随机变量对于随机变量w是是Wienerprocess,必须,必须具有两个条件:
具有两个条件:
1.在某一小段时间在某一小段时间t内,它的变动内,它的变动w与时段满与时段满足足t2/11/202437(7.1)2.在两个不重叠的时段在两个不重叠的时段t和和s,wt和和ws是独立的,这是独立的,这个条件也是个条件也是Markov过程的条件,即增量独立!
过程的条件,即增量独立!
(7.2)有效市场有效市场2/11/202438满足上述两个条件的随机过程,称为维纳满足上述两个条件的随机过程,称为维纳过程,其性质有过程,其性质有当时段的长度放大到当时段的长度放大到T时(从现在的时(从现在的0时刻时刻到未来的到未来的T时刻)随机变量时刻)随机变量wt的满足的满足2/11/202439证明:
证明:
2/11/202440在连续时间下,由(在连续时间下,由(7.1)和()和(7.2)得到)得到(7.3)(7.4)所以,所以,概率分布的性质概率分布的性质以上得到的随机过程,称为维纳过程。
以上得到的随机过程,称为维纳过程。
2/11/2024417.4ITO定理定理一般维纳过程一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为可表示为(7.5)显然,一般维纳过程的性质为显然,一般维纳过程的性质为2/11/202442一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。
的变动特征。
漂移率和方差率为常数不恰当漂移率和方差率为常数不恰当若把变量若把变量xt的漂移率的漂移率a和方差率和方差率b当作变量当作变量x和和时间时间t的函数,的函数,扩展后得到的即为扩展后得到的即为ITO过程过程2/11/202443B-S期权定价模型是根据期权定
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