第四章多维随机变量及其分布第二章2事件的独立性-哈工大著名老师方茹课件-概率论及数理统计-刘星斯维提整理.ppt
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多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布第四章第四章从本讲起,我们开始第四章的学习从本讲起,我们开始第四章的学习.一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,我们重点讨论二维随机变量困难,我们重点讨论二维随机变量.它是第三章内容的推广它是第三章内容的推广.第一讲第一讲多维随机变量及其多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数分布函数、边缘分布函数到现在为止,我们只讨论了一维到现在为止,我们只讨论了一维r.v及其及其分布分布.但有些随机现象用一个随机变量来描但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用几个随机变量来描述述还不够,而需要用几个随机变量来描述.在打靶时在打靶时,命中点的位置是命中点的位置是由一对由一对r.v(两个坐标两个坐标)来确定的来确定的.飞机的重心在空中的位置是由三个飞机的重心在空中的位置是由三个r.v(三三个坐标)来确定的等等个坐标)来确定的等等.若若是是定义在同一个定义在同一个样本空间样本空间S上的上的n个随机变量,个随机变量,eS,则由它们构则由它们构成的一个成的一个n维向量(维向量()称为称为n维随机变量维随机变量,或,或n维随机向量维随机向量,简记为,简记为二维随机变量用(二维随机变量用(X,Y)表示表示下面着重讨论二维下面着重讨论二维r.v(X,Y),多维随机变量可类推。
多维随机变量可类推。
二维随机变量(二维随机变量(X,Y)X和和Y的联合分布函数的联合分布函数X的分布函数的分布函数一维随机变量一维随机变量X两事件同时发生两事件同时发生类似一维类似一维r,v的分布函数,定义二维的分布函数,定义二维r,v的分布函数的分布函数如下:
如下:
定义:
定义:
设(设(X,Y)二维随机变量,二维随机变量,x,y为任意为任意实数,则二元函数实数,则二元函数称为(称为(X,Y)的分布函数,或称为的分布函数,或称为X和和Y的的联合分布函数联合分布函数。
几何意义:
几何意义:
如将如将(X,Y)看成是平面上随机点看成是平面上随机点的坐标,则的坐标,则F(x,y)就是就是(X,Y)落在落在以点以点(x,y)为顶点的左下方无穷矩形为顶点的左下方无穷矩形域内的概率。
域内的概率。
xoy(x,y)利用分布函数,对任意实数利用分布函数,对任意实数则则xoy(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y1)分布函数性质:
分布函数性质:
1.对任意实数对任意实数x,y有有0F(x,y)1;即即F(x,y)对每个自变量都是单调不减的;对每个自变量都是单调不减的;2.3对任意对任意x,y有有4即即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
对每个自变量都是右连续的。
5对任意实数对任意实数,有,有若若F(x,y)满足上述性质,则其必为某一满足上述性质,则其必为某一二维二维r.v(X,Y)的分布函数。
的分布函数。
如果二维如果二维r.v(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y)已知,已知,可以分别求可以分别求r.vX和和Y的分布函数的分布函数即:
即:
称称为分布函数为分布函数F(x,y)的边缘的边缘分布函数分布函数,或二维,或二维r.v(X,Y)关于关于X和和Y的边的边缘分布函数。
缘分布函数。
第二讲第二讲二维离散型随机变量二维离散型随机变量定义定义1:
若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)所有可能取值是所有可能取值是有限对或可列无限多对,则有限对或可列无限多对,则称称(X,Y)为为二维离散型随机变量。
二维离散型随机变量。
定义定义2:
设设(X,Y)为二维离散型随机变量,所有为二维离散型随机变量,所有可能取值为可能取值为i,j=1,2,令令则称则称为为(X,Y)的分布列的分布列,或称为或称为X和和Y的联合分布列。
的联合分布列。
二维离散型二维离散型联合分布列联合分布列i,j=1,2,随机变量(随机变量(X,Y)k=1,2,一维离散型一维离散型k=1,2,分布列分布列随机变量随机变量X分布列的性质:
分布列的性质:
分布列的表示方法:
分布列的表示方法:
公式法公式法列表法:
列表法:
1p.1p.2p.jp.Jp1.p2.pi.pi.p11p12p1jp21p22p2jpi1pi2pijx1x2XxiYy1y2yj例例1把一枚均匀硬币抛掷三次,设把一枚均匀硬币抛掷三次,设X为三为三次抛掷中正面出现的次数,而次抛掷中正面出现的次数,而Y为正面出为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值,求现次数与反面出现次数之差的绝对值,求(X,Y)的联合分布列的联合分布列.解:
解:
(X,Y)可取值可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8列表如下列表如下二维联合分布列全面地反映了二维随机二维联合分布列全面地反映了二维随机变量变量(X,Y)的取值及其概率规律的取值及其概率规律.而单个随而单个随机变量机变量X,Y也具有自己的概率分布列也具有自己的概率分布列.那么那么要问要问:
二者之间有什么关系呢二者之间有什么关系呢?
从表中不难求得从表中不难求得:
P(X=0)=1/8,P(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.注意这两个分布正好是注意这两个分布正好是表表2的行和与列和的行和与列和.如下表所示如下表所示我们常将我们常将边缘分布列边缘分布列写在联合分布列写在联合分布列表格的边缘上,由此得出边缘分布这个名表格的边缘上,由此得出边缘分布这个名词词.联合分布与边缘分布的关系联合分布与边缘分布的关系由联合分布可以确定边缘分布由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布但由边缘分布一般不能确定联合分布.一般,对离散型一般,对离散型r.v(X,Y),则则(X,Y)关于关于X的边缘分布列为的边缘分布列为(X,Y)关于关于Y的边缘分布列为的边缘分布列为X和和Y的联合分布列为的联合分布列为二维离散型随机变量二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数可的分布函数可表示如下:
表示如下:
其中和式是对所有满足其中和式是对所有满足的的i,j求和。
求和。
一维连续型随机变量一维连续型随机变量X的概率密度的概率密度二维连续型随机变量二维连续型随机变量X和和Y的联合概率密度的联合概率密度第三讲第三讲二维连续型随机变量二维连续型随机变量一.概率密度与边缘概率密度概率密度与边缘概率密度定义:
定义:
设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y),若存在非负函数若存在非负函数f(x,y),使得对任意实数使得对任意实数x,y有有则称则称(X,Y)为二维连续型随机变量,为二维连续型随机变量,称称f(x,y)为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的概率密度,或称为的概率密度,或称为X与与Y的联合概率密度。
的联合概率密度。
不难得出,对连续型不难得出,对连续型r.v(X,Y),其其概率密度与分布函数的关系如下:
概率密度与分布函数的关系如下:
在在f(x,y)的连续的连续点点概率密度性质:
概率密度性质:
3.设设G是是xOy平面上的一个区域,则点平面上的一个区域,则点(X,Y)4.落在落在G中的概率为:
中的概率为:
计算性质计算性质性质性质1:
表示表示Z=f(x,y)在在xOy平面上方的曲面;平面上方的曲面;性质性质2:
表示表示Z=f(x,y)与与xOy平面所夹空间区域平面所夹空间区域的体积为的体积为1。
性质性质3:
表示表示P(X,Y)G的值等于以曲面的值等于以曲面Z=f(x,y)为顶,以平面区域为顶,以平面区域G为底的曲为底的曲顶柱体的体积。
顶柱体的体积。
几何意义:
几何意义:
对连续型对连续型r.v(X,Y),X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为则则(X,Y)关于关于X的边缘概率密度为的边缘概率密度为(X,Y)关于关于Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为例例2设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是求求
(1)c的值;的值;
(2)两个边缘概率密度。
)两个边缘概率密度。
=5c/24=1,c=24/5
(1)由由确定确定C解:
解:
例例2设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解:
(2)求求
(1)c的值的值;
(2)两个边缘概率密度两个边缘概率密度.注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x例例2设设(X,Y)的概率密度是的概率密度是解解:
(2)求求
(1)c的值的值;
(2)两个边缘概率密度两个边缘概率密度.注意积分限注意积分限注意取值范围注意取值范围xy01y=x即即在在求求连连续续型型r.v的的边边缘缘密密度度时时,往往往往要要求求联联合合密密度度在在某某区区域域上上的的积积分分.当当联联合合密密度度函函数数是是分分片片表表示示的的时时候候,在在计计算算积积分分时时应应特特别注意积分限别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布下面我们介绍两个常见的二维分布.设设G是是平平面面上上的的有有界界区区域域,其其面面积积为为A.若二维随机变量(若二维随机变量(X,Y)具有概率密度具有概率密度则称则称(X,Y)在)在G上服从均匀分布上服从均匀分布.向向平平面面上上有有界界区区域域G上上任任投投一一质质点点,若若质质点点落落在在G内内任任一一小小区区域域B的的概概率率与与小小区区域域的的面面积积成成正正比比,而而与与B的的形形状状及及位位置置无无关关.则则质点的坐标(质点的坐标(X,Y)在在G上服从均匀分布上服从均匀分布.例例均匀分布均匀分布随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件两事件A,B独立的定义是:
独立的定义是:
若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立.设设X,Y是两个是两个r.v,若对任意的若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互相互独立独立.两随机变量独立的定义是:
两随机变量独立的定义是:
第四讲第四讲随机变量的独立性随机变量的独立性用分布函数表示用分布函数表示,即即设设X,Y是两个是两个r.v,若对任意的若对任意的x,y,有有则则称称X,Y相互相互独立独立.它表明,两个它表明,两个r.v相互相互独立时,它们的联合独立时,它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.其中其中是是X,Y的联合密度,的联合密度,则称则称X,Y相互相互独立独立.对任意的对任意的x,y,有有若若(X,Y)是连续型是连续型r.v,则上述独立性则上述独立性的定义等价于:
的定义等价于:
分别是分别是X的的边缘密度和边缘密度和Y的边缘密度的边缘密度.若若(X,Y)是离散型是离散型r.v,则上述独立性的则上述独立性的定义等价于:
定义等价于:
则称则称X和和Y相互相互独立独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有即即例例1设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为问问X和和Y是否独立?
是否独立?
解:
解:
x0即:
即:
对一切对一切x,y,均有:
均有:
故故X,Y独立独立y0若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为情况又怎样?
情况又怎样?
解:
解:
0x10y1由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域,的区域,故故X和和Y不独立不独立.例例2甲甲乙乙两两人人约约定定中中午午12时时30分分在在某某地地会会面面.如如果果甲甲来来到到的的时时间间在在12:
15到到12:
45之之间间是是均均匀匀分分布布.乙乙独独立立地地到到达达,而而且且到到达达时时间间在在12:
00到到13:
00之之间间是是均均匀匀分分布布.试试求求先先到到的的人人等等待待另另一一人人到到达达的的时时间间不不超超过过5分分钟钟的的概概率率.又又甲甲先先到到的概率是多少?
的概率是多少?
设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,XU(15,45),YU(0,60)解解:
所求为所求为P(|X-Y|5)及及P(XY)解解:
设设X为甲到达时刻,为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点,以分为单位,依题意,时为起点,以分为单位,依题意,XU(15,45),YU(0,60)甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率解一:
解一:
P(|X-Y|5)=P(-5X-Y5)=1/6=1/2P(XY)解二:
解二:
P(XY)P(|X-Y|5)类似的问题如:
类似的问题如:
甲、乙两船同日欲靠同一码头,设两船甲、乙两船同日欲靠同一码头,设两船各自独立地到达,并且每艘船在一昼夜间到各自独立地到达,并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时,乙船需小时,乙船需停泊停泊2小时,而该码头只能停泊一艘船,试求小时,而该码头只能停泊一艘船,试求其中一艘船要等待码头空出的概率其中一艘船要等待码头空出的概率.在在某某一一分分钟钟的的任任何何时时刻刻,信信号号进进入入收收音音机机是是等等可可能能的的.若若收收到到两两个个互互相相独独立立的的这这种种信信号号的的时时间间间间隔隔小小于于0.5秒秒,则则信信号号将将产产生生互互相相干扰干扰.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断的线段在任意两点折断成为三线段,求它们可以构成三角形的成为三线段,求它们可以构成三角形的概率概率.长度为长度为a随随机机变变量量独独立立性性的的概概念念不不难难推推广广到到两个以上两个以上r.v的情形的情形.1.分布函数分布函数设设为为n维随机变量,维随机变量,为任意实数,则为任意实数,则n元函数元函数称为称为的分布函数。
的分布函数。
2.概率密度概率密度设设为为n维随机变量维随机变量的分布函数,若存在非负函数的分布函数,若存在非负函数对对任意实数任意实数有有则称则称为连续型随机变量,为连续型随机变量,称为称为n维随机变量的概率密度。
维随机变量的概率密度。
3.n个随机变量的独立性个随机变量的独立性设设为为n维随机变量维随机变量的分布函数,的分布函数,的分布函数(一维边缘分布函数),若对任意实数的分布函数(一维边缘分布函数),若对任意实数有有则称则称是相互独立的。
是相互独立的。
对连续型随机变量,设对连续型随机变量,设的概率的概率密度分别为密度分别为,则,则相互独立的充要条件是:
相互独立的充要条件是:
定定理理1若若连连续续型型随随机机向向量量(X1,Xn)的的概概率率密密度度函函数数f(x1,xn)可可表表示示为为n个个函函数数g1,gn之积,其中之积,其中gi只依赖于只依赖于xi,即即f(x1,xn)=g1(x1)gn(xn)则则X1,Xn相相互互独独立立,且且Xi的的边边缘缘密密度度fi(xi)与与gi(xi)只相差一个常数因子只相差一个常数因子.最后我们给出有关独立性的两个结果:
最后我们给出有关独立性的两个结果:
第五讲第五讲二维随机变量二维随机变量函数的分布函数的分布在第三章中,我们讨论了一维随机变量函数在第三章中,我们讨论了一维随机变量函数Y=g(X)的分布,现在我们进一步讨论二维随机变的分布,现在我们进一步讨论二维随机变量函数量函数Z=g(X,Y)的分布。
的分布。
具体说,已知具体说,已知(X,Y)的分布,求的分布,求Z=g(X,Y)的分布。
的分布。
例例1若若X、Y独立,独立,P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的分布列的分布列.解解:
=a0br+a1br-1+arb0由独立性由独立性此即离散此即离散卷积公式卷积公式r=0,1,2,一.离散型随机变量和的分布离散型随机变量和的分布Z=X+Y依题意依题意例例2若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,解:
解:
由卷积公式由卷积公式即即Z服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布.r=0,1,例例3设设X和和Y相互独立,相互独立,XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y的分布的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释:
我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:
同样,同样,Y是在是在n2次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若XB(n1,p),则则X是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现出现的概率都为的概率都为p.故故Z=X+Y是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数,每次试验中出现的次数,每次试验中A出现出现的概率为的概率为p,于是于是Z是以(是以(n1+n2,p)为参为参数的二项随机变量,即数的二项随机变量,即ZB(n1+n2,p).例例4设设X和和Y的联合密度为的联合密度为f(x,y),求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:
Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:
FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)这里积分区域这里积分区域D=(x,y):
x+yz是直线是直线x+y=z左下方的半平面左下方的半平面.二二.连续性随机变量和的分布连续性随机变量和的分布Z=X+Y化成累次积分化成累次积分,得得固定固定z和和y,对对方括号内的积分作变量代换方括号内的积分作变量代换,令令x=u-y,得得变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y的概率密度为的概率密度为:
由由X和和Y的对称性的对称性,fZ(z)又可写成又可写成以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.特别,特别,当当X和和Y独立独立,设,设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:
这两个公式称为这两个公式称为卷积公式卷积公式.下面我们用下面我们用卷积公式来求卷积公式来求Z=X+Y的概率密度的概率密度为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域例例5若若X和和Y独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.解解:
由卷积公式由卷积公式也即也即为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域如图示如图示:
也即也即于是于是教材上例教材上例4请自已看请自已看.注意此例的结论:
注意此例的结论:
此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之个独立随机变量之和的情形和的情形,请自行写出结论请自行写出结论.若若X和和Y独立独立,则则有限个独立正态变量的线性组合仍然有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布服从正态分布.更一般地更一般地,可以证明可以证明:
下面介绍求下面介绍求Z=g(X,Y)概率密度的通用方法概率密度的通用方法分布函数法:
分布函数法:
设设(X,Y)是二维随机变量,其概率是二维随机变量,其概率密度为密度为f(x,y),Z=g(X,Y)。
为求为求Z的的密度密度,设,设Z的分布函数的分布函数为,则为,则例例7.设设XN(0,2),),YN(0,2),),且且相互独立,求相互独立,求的分布函数。
的分布函数。
解:
解:
此分布称为此分布称为瑞利分布瑞利分布。
三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布设设X,Y是两个相互独立的随机变量,它是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y),我们我们来求来求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函的分布函数数.又由于又由于X和和Y相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为:
即有即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等价于等价于X和和Y都都不大于不大于z,故有故有分析:
分析:
P(Mz)=P(Xz,Yz)类似地,可得类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广:
即有即有FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为我们来求我们来求M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布函数的分布函数.(i=0,1,,n)用与二维时完全类似的方法,可得用与二维时完全类似的方法,可得特别,当特别,当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时,有时,有N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:
FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n若若X1,Xn是连续型随机变量,在求是连续型随机变量,在求得得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的的分布函数后,不难求得分布函数后,不难求得M和和N的密度函数的密度函数.留作课下练习留作课下练习.当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函相互独立且具有相同分布函数数F(x)时,有时,有FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n需要指出的是,当需要指出的是,当X1,Xn相互独立相互独立且具有相同分布函数且具有相同分布函数F(x)时时,常常称称M=max(X1,Xn),N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象,如地震、由于一些灾害性的自然现象,如地震、洪水等等都是极值,研究极值分布具有重要洪水等等都是极值,研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值.下面我们再举一例,说明当下面我们再举一例,说明当X1,X2为离散为离散型型r.v时,如何求时,如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布.那么要问,若我们需要求那么要问,若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布,应如何分析?
的分布,应如何分析?
留作课下思考留作课下思考这一讲,我们介绍了如何求这一讲,我们介绍了如何求r.v函数的分布函数的分布.但有时我们无法精确求出此分布但有时我们无法精确求出此分布.当这个积分无法精确求出时,一个可取的当这个积分无法精确求出时,一个可取的方法是采用计算机模拟方法是采用计算机模拟.例如,想求两个独立连续型例如,想求两个独立连续型r.v之和之和X+Y的的分布函数分布函数.X的分布函数为的分布函数为F,Y的分布函数为的分布函数为G,在理论上,可以求得:
在理论上,可以求得:
其中其中f(x)是是X的密度函数的密度函数.这一讲,我们介绍了求随机向量函数这一讲,我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法,需重点掌握的是:
的分布的原理和方法,需重点掌握的是:
请通过练习熟练掌握请通过练习熟练掌握.1、已知两个随机变量的联合概率分布,会求、已知两个随机变量的联合概率分布,会求其函数的概率分布其函数的概率分布;2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布函数的概率分布在第二章中,我们介绍了条件概率的概念在第二章中,我们介绍了条件概率的概念.在
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