黄克智版张量分析第一章习题解析.ppt
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黄克智版张量分析第一章习题解析.ppt
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1.1求证:
u(vw)=(uw)v(uv)w并问:
u(vw)与(uv)w是否相等?
u,v,w为矢量。
证明:
1.2求证:
(AB)(CD)=B(ACD)A(BCD)=C(ABD)D(ABC),证明:
1.3求证矢量的非退化性。
即:
若矢量v与它所属的矢量空间中的任意矢量u都正交,即:
uv=0,则矢量v=0。
证明:
因为u为任意,所以可取u1,u2,u3,使得,由uv=0得,因为detU0,所以vx=vy=vz=0是唯一零解,即:
v=0。
1.4已知:
矢量u,v,求证:
证明:
1.5求证:
a,b线性相关。
证明:
即,或,故,即,a,b线性相关。
1.6求证:
a,b,c线性相关。
证明:
即,或a,b,c共面。
三维空间中共面的三矢量线性相关。
1.7已知:
矢量b=2i+j-2k,c=i+2j+3k,i,j,k为笛卡儿基;若将c分解为与b平行的矢量及垂直于b的矢量a之和,即c=a+mb。
求a;m(其中ba=0),解:
1.8利用证明gij是对称正定的。
证明:
即gij是对称正定的。
1.9求证:
对于一组非共面的gi,存在唯一的gj,gj也是非共面的。
证明:
参见:
1.2.2.4由协变基矢量求逆变基矢量式(1.2.17)及式(1.2.25)。
1.10已知:
以i,j,k表示三维空间中笛卡坐标基矢量,,
(1)按公式(1.2.17),求g1,g2,g3以i,j,k表示的式子;
(2)求grs。
解:
1.11根据上题结果验算公式:
gj=gjigi,解:
1.12已知:
u=2g1+3g2-g3,v=g1-g2+g3,基矢量同上题。
运用1.11题求得的grs计算:
(1)uv;
(2)u,v的协变分量。
解:
1.13已知:
(1)圆柱坐标系如图(a),r=x1,=x2,z=x3。
(2)球坐标系如图(b),r=x1,=x2,=x3。
求:
两种坐标系中:
(1)gi通过笛卡儿基i,j,k的表达式,画出简图。
(2)求gi,说明gi和gi的大小与方向有何关系。
(3)由gi求gij,gij,。
解:
(1),圆柱坐标系:
球坐标系:
(2),圆柱坐标系:
球坐标系:
(3),圆柱坐标系:
球坐标系:
1.14斜圆锥面上坐标系x1=,x2=z,R,H,C为已知(如图)。
求:
g,g,g(,=1,2)。
解:
动点所在圆周的半径为,圆心至z轴的距离,在xy平面上,该圆以为参数的方程为,于是,动点的矢径为,1.15二维空间为半径为R的半球面,如图,x1=,x2=。
用两种方法求g,g,g,g(,=1,2)。
解:
1.16已知:
圆柱坐标系中、球坐标系中矢量的逆变分量vi。
利用题1.13结果分别求两个坐标系中的协变分量vi。
解:
(1)圆柱坐标系,
(2)球坐标系,1.17求:
题1.13所示圆柱坐标和球坐标xi,与笛卡儿坐标xj的转换系数,解:
圆柱坐标系:
球坐标系:
1.18
(1)已知:
笛卡儿坐标系中v的分量为v1,v2,v3;求:
圆柱坐标中v的分量v1,v2,v3。
(2)已知:
笛卡儿坐标系中v的分量为v1,v2,v3;求:
球坐标中v的分量v1,v2,v3。
解:
(1),
(2),1.19试求线元dxk的长度dsk。
解:
1.20试求线元dxk与dxl的夹角kl。
解:
1.27设一动点轨迹为xi(t)(t0,标量),定义,求证:
vi为矢量分量。
1.28由应变ij的定义出发,求证:
ij是对称二阶张量的分量。
式中dxi是介质的拉格朗日坐标的微分。
1.38在笛卡儿坐标系中,各向同性材料的弹性关系为,
(1)利用商法则证明此式必定可以表示为一个张量的代数运算等式,写出其实体形式,说明等式中各阶张量的阶数。
(2)将上式表示为可运用于任意坐标系的张量分量形式。
(3)写出任意坐标系中的协变分量Dijkl用E,及度量张量分量表达的形式,以及D的并矢表达式。
解:
(1),
(2),(3),1.39已知:
矩阵A,B,C=AB,a=detA,b=detB,c=detC。
求:
利用置换符号证明:
c=ab。
证明:
或,证明:
1.41质量为m,绕定点O以角速度转动的质点(如图),其动量矩矢量的定义为L=mrv,其中,r为定点O至质点的矢径,v为质点的线速度。
求证:
L=I,式中I为惯性矩张量,I=m(rr)Grr,证明:
1.42求图1.11所示球坐标系中的面元矢量da1,da2,da3。
解:
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- 黄克智版 张量分析 第一章 习题 解析