分类加法计数原理与分步计数乘法原理.ppt
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1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(3),复习回顾:
两个计数原理的内容是什么?
解决两个计数原理问题需要注意什么问题?
有哪些技巧?
例1一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字号码?
N1010101010000(种),例2要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班,有多少种不同的选法?
第一步:
选1人上日班;,第二步:
选1人上晚班.,有3种方法,有2种方法,N326(种),例3某班有5人会唱歌,另有4人会跳舞,还有2人能歌善舞,从中任选1人表演一个节目,共可表演多少个节目?
N542213(种),第1类:
从会唱歌者中选1人唱歌;,第2类:
从会跳舞者中选1人跳舞;,第3类:
从能歌善舞者中选1人唱歌或跳舞;,例4从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛,其中数学2人,理、化各1人,求共有多少种不同的选法?
5种,4种,3种,N54360(种),例4有架楼梯共6级,每次只允许上一级或两级,求上完这架楼梯共有多少种不同的走法?
第1类:
走3步第2类:
走4步第3类:
走5步第4类:
走6步,N165113(种),例6由数字0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的三位数?
5种,4种,5种,N554100(种),例7在1,2,3,200这些自然数中,各个数位上都不含数字8的自然数共有多少个?
不含8的一位数不含8的二位数不含8的三位数,N87282162(个),N5433180(种),5,4,3,3,例9将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端点颜色不同,如果只有5种颜色可供使用,求共有多少种不同的染色方法?
涂S点涂A点涂D点涂B、C点,N5437420(种),例10从3,2,1,0,1,2,3中任取三个不同的数作为抛物线y=ax2+bx+c(a0)的系数,如果抛物线过原点,且顶点在第一象限,问这样的抛物线共有多少条?
c取值a取值b取值,N3319(种),c1a0b0,例11某4名田径运动员报名参加100m,200m和400m三项短跑比赛.
(1)每人限报1个项目,共有多少种不同的报名方法?
(2)每人至少报1个项目,且每个项目限报1人,共有多少种不同的报名方法?
(1)3481种;,
(2)4396种.,例12630的正约数(包括1和630)共有多少个?
63023257,正约数:
2a3b5c7d,232224(个),例13将20个大小相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,要求每个盒子内的球数不小于该盒子的编号数,求共有多少种不同的放法?
151421120(种),例14某电视节目中有A、B两个信箱,分别存放着先后两次竞猜中入围的观众来信,其中A信箱中有30封来信,B信箱中有20封来信.现由主持人从A信箱或B信箱中抽取1名幸运观众,再由该幸运观众从A、B两个信箱中各抽取1名幸运伙伴,求共有多少种不同的可能结果?
302920201930174001140028800(种),练习:
三个比赛项目,六人报名参加。
)每人参加一项有多少种不同的方法?
)每项人,且每人至多参加一项,有多少种不同的方法?
)每项人,每人参加的项数不限,有多少种不同的方法?
例1用0,1,2,3,4,5这六个数字,
(1)可以组成多少个各位数字不允许重复的三位的奇数?
(2)可以组成多少个各位数字不重复的小于1000的自然数?
(3)可以组成多少个大于3000,小于5421且各位数字不允许重复的四位数?
升华发展,一、排数字问题,1、将数字1,2,3,4,填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数字,则每个格子的标号与所填的数字均不同的填法有_种,引申:
号方格里可填,三个数字,有种填法。
号方格填好后,再填与号方格内数字相同的号的方格,又有种填法,其余两个方格只有种填法。
所以共有3*3*1=9种不同的方法。
二、映射个数问题:
例2设A=a,b,c,d,e,f,B=x,y,z,从A到B共有多少种不同的映射?
三、染色问题:
例3有n种不同颜色为下列两块广告牌着色,要求在四个区域中相邻(有公共边界)区域中不用同一种颜色.
(1)若n=6,为
(1)着色时共有多少种方法?
(2)若为
(2)着色时共有120种不同方法,求n
(1)
(2),、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
解:
按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,第一步,m1=3种,第二步,m2=2种,第三步,m3=1种,第四步,m4=1种,所以根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3211=6种。
、如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?
若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?
答:
它们的涂色方案种数分别是0、4322=48、5433=180种等。
思考:
分析:
如图,A、B、C三个区域两两相邻,A与D不相邻,因此A、B、C三个区域的颜色两两不同,A、D两个区域可以同色,也可以不同色,但D与B、C不同色。
由此可见我们需根据A与D同色与不同色分成两大类。
解:
先分成两类:
第一类,D与A不同色,可分成四步完成。
第一步涂A有5种方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法;第四步涂D有2种方法。
根据分步计数原理,共有5432120种方法。
根据分类计数原理,共有120+60180种方法。
第二类,A、D同色,分三步完成,第一步涂A和D有5种方法,第二步涂B有4种方法;第三步涂C有3种方法。
根据分步计数原理,共有54360种方法。
、某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如右图)现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_种.(以数字作答),
(1)与同色,则也同色或也同色,所以共有N1=43221=48种;,所以,共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.,
(2)与同色,则或同色,所以共有N2=43221=48种;,(3)与且与同色,则共N3=4321=24种,解法一:
从题意来看6部分种4种颜色的花,又从图形看知必有2组同颜色的花,从同颜色的花入手分类求,6、将种作物种植在如图所示的块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有种(以数字作答),42,5、如图,是5个相同的正方形,用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些正方形,使每个正方形涂一种颜色,且相邻的正方形涂不同的颜色。
如果颜色可反复使用,那么共有多少种涂色方法?
四、子集问题,规律:
n元集合的不同子集有个。
例:
集合A=a,b,c,d,e,它的子集个数为,真子集个数为,非空子集个数为,非空真子集个数为。
五、综合问题:
例4若直线方程ax+by=0中的a,b可以从0,1,2,3,4这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同的直线共有多少条?
、75600有多少个正约数?
有多少个奇约数?
解:
由于75600=2433527,75600的每个约数都可以写成的形式,其中,于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5432=120个.,解:
从总体上看,如,蚂蚁从顶点A爬到顶点C1有三类方法,从局部上看每类又需两步完成,所以,第一类,m1=12=2条第二类,m2=12=2条第三类,m3=12=2条所以,根据加法原理,从顶点A到顶点C1最近路线共有N=2+2+2=6条。
3.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条?
4、如果把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线共有()对A.12B.24C.36D.48,B,
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- 分类 加法 计数 原理 分步 乘法